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高二第三讲(一)线面角A版


线面角
一、定义 和平面所成的角有三种: 面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角. (i)垂线

条直线和这个平面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角 二、取值范围 0? ? ? ? 90? 三、求解方法 ①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 ? . ②解含 ? 的三角形,求出其大小. ③最小角定理 斜线和平面所成的角, 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中 最小的角, 亦可说, 斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角. 线面角定义
【例 1】下列命题:①一条直线在平面内的射影是一条直线;②在平面内射影是直线的 图形一定是直线;③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等;④两斜线与平面所成的角 相等,则这两斜线互相平行.其中真命题的个数是________.
【答案】 :0 【解析】 :一条直线在平面内的射影可以是一个点,所以①是错的;在平面内射影是直线的 图形可能是平面,所以是②错的;③④显然也是错的,所以正确的个数为 0.

(iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是 0? 的角.

【变式】已知直线 、 与平面 A.平行 能
【答案】D

所成的角相等,则 、 的位置关系是( ) . C.异面 D.上述答案都可

B.相交

【例 2】如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面为正方形, SD ? 底面 ABCD,则下列结论中 不正 确的是 ( ) .. A. AC ? SB B. AB // 平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角
【答案】 D 【解析】 易证 AC⊥平面 SBD,因而 AC⊥SB,A 正确;AB∥DC,DC?平面 SCD,故 AB∥ 平面 SCD,B 正确;由于 SA,SC 与平面 SBD 的相对位置一样,因而所成的角相同.

【变式】两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线;②两条相交直线;③一条 直线;④两个点.上述四个结论中,可能成立的个数是( ) . A.1 个
【答案】C

B.2 个

C.3 个

D.4 个

定义法求线面角

【例 3】(摘自 2013 浙江省高考卷) 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? A B C中 D ,

PA ?





ABCD,

AB ? BC ? 2, AD ? CD ? 7 , PA ? 3, PA ? 120? , G 为线段 PC 上的点。
(1)证明: BD ? 平面 APC; (2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成角的正切值。 解: (1)证明:设点O为 AC,BD 的交点, 由 AB=BC,AD=CD,得 BD 是线段 AC 的是垂线, 所以O为 AC 的中点, BD ? AC ,又因为 PA ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BD ,因此 BD ? 平面 APC. (2)解:连接 OG,由(1)可知OD ? 平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG, 所以 ?OGD 是 DG 与平面 APC 所成的角。由题意得 OG ? 在 ?ABC

1 3 PA ? 2 2

中 ,

AC ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? c o ?A s B ?C 2 3 , 所 以 ,

OC ?

1 AC ? 3 在 直 角 ?O C D 中 , OD ? CD2 ? OC 2 ? 2 , 在 直 角 ?OGD 中 , 2

tan ?OGD ?

OD 4 3 4 3 ,所以 DG 与平面 APC 所成角的正切值为 。 ? 3 OG 3

【变式】 已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 则直线 BM 与 AA1 ? 2 AB , M 为 CC1 的中点, 平面 AA 1B 1B 所成角的正弦值是 。

P

G B

A

D C

【例 4】 【2014 高考福建理第 17 题】在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 ,

AB ? BD, CD ? BD .将 ?ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图.
(1)求证: AB ? CD ; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

, BE? 平 面 (2) 过 点 B 在 平 面 B C D 内 作 B E ? B D, 如 图 . 由 (1) 知 AB ? 平 面 BCD

??? ? ??? ? ??? ? BCD , BD ? 平面 BCD, 所以 AB ? BE, AB ? BD .以 B 为坐标原点,分别以 BE, BD, BA
的 方 向 为

x



,

y



,

z









【变式】 【2014 高考上海卷文第 7 题】 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底 面所成角的大小的余弦值为

等体积法求线面角
【例 5】【2014 高考北京理第 17 题】 如图, 正方体 MADE 的边长为 2,B ,C 分别为 AM ,

MD 的中点,在五棱锥 P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD , PC 分
别交于 G , H . (1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 PA ? AE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求 线段 PH 的长.

【变式】 ( 如图 2)

长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , AB ? 3, BC ? 2, A1 A ? 4 ,求 AB 与面

AB1C1 D 所成的角。
解:设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h, ∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1/3 S△AB1C1· h= 1/3 S△BB1C1· AB,易得 h=12/5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ
D A 3 2 B C

,则sinθ

=h/AB=4/5

4 D1 A1

H C1 B1

图2

三余弦定理的应用 【 例 6 】 在 Rt ?A B C中 , ?A ? 线, ?PAB
? ?PAC ?

?
2

, AB ? 3, AC ? 4 , PA 是 面 ABC 的 斜

?
3



(1)求 PA 与面 ABC 所成的角的大小; (2)当 PA 的长度等于多少的时候,点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上?

P

B

A C

图(1) 图(2) 图(3) 解:(1)依题意,斜线 PA 在面 ABC 上的射影必在∠BAC 的角平分线上,设垂足为 O, 连结 AO,并延长 AO∩BC=D,设 ?PAO ? θ ,则 θ 即为斜线 PA 与面 ABC 所成的角,
π 1 3 ? 2 ? 2 ,∴ θ ? π ,即斜线 PA 与面 ABC 所成的角为 π ; 因此 cosθ ? π 4 4 2 2 cos 4 2 cos

∵直角三角形 ABC 的直角平分线长 AD=

12 2 , 7

∴当延长 AP 到 p / 时,AD 成为斜线 Ap/ 的射影,垂足 D 恰好落在边 BC 上, ∴ Ap / ? 2 ?
12 2 24 ? , 7 7
24 的时候,点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上. 7

即当 PA 的长度等于

【变式】 (如图 4) 已知直线 OA, OB, OC 两两所成的角为 60° , ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。 解:∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面 OBC 内的射影在∠BOC 的平分线 OD 上,则 ∠AOD 即为 OA 与面 OBC 所成的角,可知 ∠DOC=30°,cos∠AOC=cos∠AOD· cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD· cos30° ∴ cos∠AOD= √3/3 ∴ OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值为√3/3。

A

B O C D

α

图4

线面角综合
【例 7】 . 如图, 在正方体 ABCD ? A 点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 1B 1C1D 1 中,

sin ? 的取值范围是( 上,直线 OP 与平面 A 1BD 所成的角为 ? ,则



A. [

3 ,1] 3

B. [

6 ,1] 3

C. [

6 2 2 , ] 3 3

D. [

2 2 ,1] 3

【答案】B 【解析】 试 题 分





















1





A1

? C1 2

,

A ? 1

C3

, ? 1 A

1 O? 1 2

3 O 1? C 2

?

1 ,, 2

?所 O

C 以

3 3 ? ?2 1 2 2 2 2 cos ?A1OC ? ? ,sin ?A OC ? 1 1 3 3 3 2? 2 3 1 ? ?3 3 6 . cos ?A1OC ? 2 2 ?? ,sin ?A1OC ? 3 3 3 2? 2
?

1



又直线与平面所成的角小于等于 90 ,而 ?AOC 为钝角,所以 sin ? 的范围为 [ 1

6 ,1] ,选 3

B. 【考点定位】空间直线与平面所成的角. 【例 8】 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,PA ? 底面 ABCD ,M 是棱 PC 上 一点.若 PA ? AC ? a ,则当 ?MBD的面积为最小值时,直线 AC 与平面 MBD 所成的角 为( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】B 【解析】 试题分析:如图:当 OM ? PC 时,此行 OM 是异面直线 PC 与 BD 的共垂线段,共垂线 段 是 异 面 直 线 两 点 间 距 离 的 最 小 值 , 所 以 此 时 ?MBD 的 面 积 为 最 小 值 ,

BD ? AC, BD ? PA , PA ? AC ? A 所以 BD ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC ,所以

OM 为 AC OM ? BD ? O , 所以 PC ? 平面 BDM , PC ? BD, 又因为此时 OM ? PC ,
在平面内的射影,所以直线 AC 与平面 MBD所成的角为 ?MOC ,?PAC 是等腰直角三角 形,所以 ?MOC 也是等腰直角三角形,所以 ?MOC ? 450

考点:1.线与面垂直;2.线与面所成角. 【变式】把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最 大时,直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90
?

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

【答案】C 【解析】 设正方形 ABCD 的对角线的交点为 O,则 BO ? AC , DO ? AC , ?DBO 是直线 BD 与平面 ABC 所成的角, VD ? ABC ? VA? BOD ? VC ? BOD ?

1 1 S?BOD ? AO ? S ?BOD ? CO 3 3

1 1 1 ? S?BOD ? AC ? ? ? OB ? OD ? sin ?BOD ? AC ,因为 OD, OB, AC 都是定值,所以 3 3 2

当 sin ?BOD ? 1 时,三棱锥体积取得最大值,因为 OD ? OB ,所以 ?DBO ? 45? 。

已知线面角求其他

【例 9 】 .等边三角形 ABC 的边长为 3, 点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点 , 且满足

AD CE 1 ? ? (如图 1).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B DB EA 2
成直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如图 2). (1)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (2) 在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 的长,若不存在,请说明理由. 【解析】 (1) 因为等边△ ABC 的边长为 3,

? ?若存在,求出 PB 3

AD CE 1 ? ? , DB EA 2 所以 AD ? 1 , AE ? 2 .
且 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? , 由余弦定理得

DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 60? ? 3 .
因为 AD ? DE ? AE ,
2 2 2

A1

所以 AD ? DE . 折叠后有 A1 D ? DE 因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED B 又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED H P C D E

(2)由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐 标 系

D ? xyz 如 图 , 设 PB ? 2a

? 0 ? 2a ? 3 ?

,



BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a
所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0

?

? ?
????

? ?

所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 ,因为 ED ? 平面 A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,

????

?

?

?

???? ???? PA1 ?DE 3a 3 所以 sin 60? ? ???? ???? ? , ? 2 2 PA1 DE 4a ? 4a ? 5 ? 3
解得 a ?

5 5 ,即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. 4 2 5 . 2

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ? 考点:1.线面垂直.2.图形的翻折问题.3.线面角.4.空间想象力.

【 例 10 】( 15 年 天 津 理 科 ) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD - A 1B 1C1 D 1 中 , 侧 棱 , AB A1 A? 底面 A B C D ? AC , AB = 1 ,

AC = AA1 = 2, AD = CD = 5 ,且点 M 和 N 分别为 B1C和D1D 的中点.
(I)求证: MN ? 平面ABCD ; (II)设 E 为棱 A1B1 上的点, 若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 的长

1 , 求线段 A 1E 3

【答案】(I)见解析; (II) 【解析】

3 10 ; (III) 10

7 ?2.

试题分析: 以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法 向量,两个向量的乘积等于 0 即可;(II)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面 角的余弦值的大小,再求正弦值即可;(III) 设 A 1E ? ? A 1B1 ,代入线面角公式计算可解出

????

???? ?

? 的值,即可求出 A1E 的长.
试题解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得

A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1, ?2,0) ,

A1 (0,0,2), B1 (0,1,2), C1 (2,0,2), D1 (1, ?2,2) ,又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点,得
? 1 ? M ?1, ,1? , N (1, ?2,1) . ? 2 ?

(I)证明:依题意,可得 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量, MN ? ? 0, ? ,0 ? , 由此可得, MN ? n ? 0 ,又因为直线 MN ? 平面 ABCD ,所以 MN // 平面 ABCD (II) AD1 ? (1, ?2,2), AC ? (2,0,0) ,设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量,则

?

???? ?

? ?

5 2

? ?

???? ? ?

???? ?

??? ?

??

?? ???? ? ?? ? n ? AD ? x ? 2 y ? 2z ? 0 ? 1 1 ?0 ,即 ? ,不妨设 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,1,1) , ? ? ?? ??? ?2 x ? 0 ? ?n1 ? AC ? 0 ?? ? ???? ?? ? ???? ? ?n2 ? AB1 ? 0 设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 ACB1 的一个法向量,则 ? ?? ,又 AB1 ? (0,1,2) ,得 ? ??? ? ? ?n2 ? AC ? 0

?? ? ? y ? 2z ? 0 ,不妨设 z ? 1 ,可得 n2 ? (0, ?2,1) ? ?2 x ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 10 3 10 因此有 cos n1 , n2 ? ?? ?? ,于是 sin n1 , n2 ? , ? ?? 10 10 n1 ? n2
所以二面角 D1 ? AC ? B1 的正弦值为

3 10 . 10
,从而 NE ? (?1, ? ? 2,1) ,

, ? ,2) (III)依题意, 可设 A 1E ? ? A 1B1 ,其中 ? ? [0,1] ,则 E (0
又 n ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量,由已知得

????

???? ?

??? ?

?

??? ? ? ??? ? ? NE ? n 1 1 cos NE , n ? ??? ? ,整理得 ? 2 ? 4? ? 3 ? 0 , ? ? ? NE ? n ( ?1)2 ? (? ? 2)2 ? 12 3
又因为 ? ? [0,1] ,解得 ? ?

7 ? 2,

所以线段 A 1E 的长为 7 ? 2 . 考点:1.直线和平面平行和垂直的判定与性质;2.二面角、直线与平面所成的角;3.空间向 量的应用.


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