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2011年北京中考数学试卷及答案


2011 年北京市高级中等学校招生考试


学校 姓名






准考证号

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 生 须 知 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 选择题( 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 3 1.- 的绝对值是( 4 A.- 4 3 ) B. 4 3 C.- 3 4 D. 3 4

2.我国第六次全国人口普查数据显示,居住在城镇的人口总数达到 665 575 306 人.将 665 575 306 用科学记数法表示(保留三个有效数字)约为( ) 7 8 A.66.6×10 B.0.666×10 C.6.66×108 D.6.66×107 3.下列图形中,即是中心对称又是轴对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形 4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O, D A 若 AD=1,BC=3,则 A. 1 2 区县 最高气温 B. 1 3 通州 32 OA 的值为( OC C. 1 4 顺义 32 怀柔 30 ) D. 1 9 延庆 29 昌平 32 密云 30 房山 32 O B C

5.北京今年 6 月某日部分区县的高气温如下表: 大兴 32 平谷 30 门头沟 32

则这 10 个区县该日最高气温的人数和中位数分别是( ) A.32,32 B.32,30 C.30,32 D.32,31 6.一个不透明的盒子中装有 2 个白球,5 个红球和 8 个黄球,这些球除颜色外,没有任何其他区别, 现从这个盒子中随机摸出一个球,摸到红球的概率为( ) A. 5 18 B. 1 3 C. 2 15 D. 1 15 D.(-3,4) C E A D B

7.抛物线 y=x2-6x+5 的顶点坐标为( ) A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) 8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,D 是 AB 边上的一个动点(不与点 A、B 重合),过点 D 作 CD 的垂线 交射线 CA 于点 E.设 AD=x,CE=y,则下列图象中,能表示 y 与 x 的函数关系图象大致是( )
1

y 1 O 1 2 x A.

y 1 O 1 2 x B.

y 1 O 1 2 x C.

y 1 O 1 2 x D.

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 填空题 9.若分式 x―8 的值为 0,则 x 的值等于________. x

10.分解因式:a3―10a2+25a=______________. 11.若右图是某几何体的表面展开图,则这个几何体是__________. 12.在右表中,我们把第 i 行第 j 列的数记为 aij(其中 i,j 都是不大于 5 的正整数),对于表中的每个数 aij,规定如下:当 i≥j 时,aij=1;当 i<j 时,aij=0.例如:当 i=2,j=1 时,aij=a21=1.按此规定,a13 =_____;表中的 25 个数中,共有_____个 1;计算:a11·ai1+a12·ai2 +a13·ai3+a14·ai4+a15·ai5 的值为________. 解答题 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: ? ?

a11 a21 a31 a41 a51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

?1? ? 2 cos 30 o + 27 + (2 ? π ) 0 . ?2?

?1

14.解不等式:4(x-1)>5x-6.

15.已知 a2+2ab+b2=0,求代数式 a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值.

16.如图,点 A、B、C、D 在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD. E 求证:AE=FC.

F A C B D

k 17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=-2x 的图象与反比例函数 y= 的图象的一个交 x y 点为 A(-1,n). k (1)求反比例函数 y= 的解析式; x (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA=OA,直接写出点 P 的坐标. A 1 O 1 x

2

18.列方程或方程组解应用题: 列方程或方程组解应用题: 列方程或方程组解应用题 京通公交快速通道开通后,为响应市政府“绿色出行”的号召,家住通州新城的小王上班由自 驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点 18 千米.他用乘公交车的方式平均每小时行驶的 路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的 2 倍还多 9 千米, 他从家出发到达上班地点, 3 乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 .小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多 7 少千米?

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 解答题 19.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD.若 AC=2,CE=4, A 求四边形 ACEB 的周长. C D E B

20.如图,在△ABC,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E,点 F 在 AC 的延长 1 线上,且∠CBF= ∠CAB. 2 (1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线; 5 (2)若 AB=5,sin∠CBF= ,求 BC 和 BF 的长. 5 O E B F A D C

3

21.以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据,绘制统计图的一部分. 北京市 2001~2010 年 私人轿车拥有量的年增长率统计图 年增长率/% 30 25 20 15 10 5 0 22 25 21 19 年份 27 300 250 200 150 100 50 0 北京市 2001~2010 年 私人轿车拥有量统计图 轿车拥有量/万辆 276 217 121 146

2006 2007 2008 2009 2010

2006 2007 2008 2009 2010

年份

请根据以上信息解答下列问题: (1)2008 年北京市私人轿车拥有是多少万辆(结果保留三个有效数字)? (2)补全条形统计图; (3)汽车数量增多除造成交通拥堵外,还增加了碳排放量,为了了解汽车碳排放量的情况,小明 同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关.如:一辆排量为 1.6L 的轿车,如果 一年行驶 1 万千米,这一年,它碳排放量约为 2.7 吨.于是他调查了他所居住小区的 150 辆 私人轿车,不同排量的轿车数量如下表所示. 排量(L) 数量(辆) 小于 1.6 29 1.6 75 1.8 31 大于 1.8 15

如果按照小明的统计数据, 请你通过计算估计, 2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车(假 设每辆车平均一行行驶 1 万千米)的碳排放总量约为多少万吨?

22.阅读下面材料: .阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题:如图 1,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 相交于点 O.若 梯形 ABCD 的面积为 1,试求以 AC、BD、AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积. A O B 图1 C B D A O 图2 C E D

小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形, 再计算其面积即可. 他先后尝试了翻折、 旋转、 平移的方法, 发现通过平移可以解决这个问题. 他 的方法是过点 D 作 AC 的平行线交 BC 的延长线于点 E,得到的△BDE 即是以 AC、BD、AD+ BC 的长度为三边长的三角形(如图 2). A 请你回答:图 2 中△BDE 的面积等于____________. 参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题: 参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题: 如图 3,△ABC 的三条中线分别为 AD、BE、CF. (1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以 AD、BE、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹); (2)若△ABC 的面积为 1,则以 AD、BE、CF 的长度为 三边长的三角形的面积等于_______. F E

B

D 图3

C

4

五、解答题(本题共 22 分) 解答题 23.(7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=mx2+(m―3)x―3(m>0)的图象与 x 轴交于 A、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. y 5 (1)求点 A 的坐标; (2)当∠ABC=45°时,求 m 的值; (3)已知一次函数 y=kx+b,点 P(n,0)是 x 轴上的一个动点,在(2) 的条件下, 过点 P 垂直于 x 轴的直线交这个一次函数的图象于点 M, 交二次函数 y=mx2+(m―3)x―3(m>0)的图象于 N. 若只有当-2 -3 <n<2 时,点 M 位于点 N 的上方,求这个一次函数的解析式.

O

3

x

-5

24.(7 分)在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 1 中,证明:CE=CF; (2)若∠ABC=90°,G 是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠BDG 的度数; (3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结 DB、DG(如图 3),求∠BDG 的度数. A D A D A D

B 图1

E

C F

B

E G 图2

C F

B

E G 图3

C F

25.(7 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,我把由两条射线 AE、BF 和以 AB 为直径的半圆所组成

5

的图形叫作图形 C(注:不含 AB 线段).已知 A(-1,0),B(1,0),AE∥BF,且半圆与 y 轴的 图形 交点 D 在射线 AE 的反向延长线上. (1)求两条射线 AE、BF 所在直线的距离; (2)当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时,写出 b 的取值范围; 图形 当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时,写出 b 的取值范围; 图形 (3)已知□AMPQ(四个顶点 A、M、P、Q 按顺时针方向排列)的各顶点都在图形 C 上,且不都 图形 在两条射线上,求点 M 的横坐标 x 的取值范围. y D F A O E B x

2011 年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 题号 答案 三、解答题
0 ?1? ? ? ? 2cos 30° + 27 + ( 2 ? π ) 解: ? 2 ? ?1

1 D 9 8

2 C 10

3 D

4 B 11
2

5 A

6 B 12 0

7 A

8 B

a ( a ? 5)

圆柱

15

1

= 2 ? 2×

3 + 3 3 +1 2

= 2 ? 3 + 3 3 +1 = 2 3+3.

6

解:去括号,得 4 x ? 4 > 5 x ? 6 . 移项,得 4 x ? 5 x > 4 ? 6 . 合并,得 ? x > ?2 . 解得 x < 2 . 所以原不等式的解集是 x < 2 . 解:
a ( a + 4b ) ? ( a + 2b )( a ? 2b )

= a 2 + 4ab ? ( a 2 ? 4b 2 )
= 4ab + 4b2 .
2 2 ∵ a + 2ab + b = 0 ,

∴a +b = 0. ∴原式
= 4b ( a + b ) = 0


E

证明:∵ BE ∥ DF ,

∴ ∠ABE = ∠D .
在 △ ABE 和 △FDC 中,
?∠ABE = ∠D , ? ? AB = FD , ?∠A = ∠F , ?
A C B F

D

∴ △ ABE ?△FDC . ∴ AE = FC .
解:⑴ ∵点 A ( ?1,n ) .
A

在一次函数 y = ?2 x 的图象上,

y



n = ?2 × ( ?1) = 2

∴点 A 的坐标为

( ?1,2 )
y=


k x 的图象上,

1 -1 O 1 x

∵点 A 的反比例函数 ∴ k = ?2 .

∴反比例函数的解析式为

y=?

2 x.

7

⑵ 点 P 的坐标为

( ?2 ,0 ) 或 ( 0 ,4 ) .

解:设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 x 千米. 18 3 18 = × 2x + 9 7 x . 依题意,得 解得 x = 27 . 经检验, x = 27 是原方程的解,且符合题意. 答:小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 27 千米. 四、解答题 解:∵ ∠ACB = 90°,DE ⊥ BC ,
A

∴ AC ∥ DE .
C

又∵ CE ∥ AD,

D

B

∴四边形 ACED 是平行四边形. ∴ DE = AC = 2 .
2 2 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 CD = CE ? DE = 2 3 .

E

∵ D 是 BC 的中点, ∴ BC = 2CD = 4 3 .
2 2 在 Rt△ ABC 中,由勾股定理得 AB = AC + BC = 2 13 .

∵ D 是 BC 的中点, DE ⊥ BC , ∴ EB = EC = 4 . ∴四边形 ACEB 的周长 = AC + CE + EB + BA = 10 + 2 13 . ⑴ 证明:连结 AE . ∵ AB 是 O 的直径, ∴ ∠AEB = 90° . ∴ ∠1 + ∠2 = 90° . ∵ AB = AC ,
1 ∠1 = ∠CAB 2 . ∴
B A 1 D O G 2 E F C

8

1 ∠CBF = ∠CAB , 2 ∵

∴ ∠1 = ∠CBF . ∴ ∠CBF + ∠2 = 90° . 即 ∠ABF = 90° . ∵ AB 是 O 的直径, ∴直线 BF 是 O 的切线. ⑵ 解:过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G .
sin ∠CBF = 5 ,∠1 = ∠CBF , 5





sin ∠1 =

5 5 .

∵ ∠AEB = 90° ,AB = 5 , ∴ BE = AB ? sin ∠1 = 5 . ∵ AB = AC ,∠AEB = 90° , ∴ BC = 2 BE = 2 5 .
2 2 由 Rt△ ABE 中,由勾股定理得 AE = AB ? BE = 2 5.



sin ∠2 =

2 5 5 ,cos ∠2 = 5 5 .

在 Rt△CBG 中,可求得 GC = 4 ,GB = 2 .

∴ AG = 3 . ∵ GC ∥ BF , ∴ △ AGC △ ABF .
GC AG = ∴ BF AB . GC ? AB 20 BF = = 3 . AG ∴
解:⑴
北北北2006-2010年 私私轿轿轿轿轿私私图 轿轿轿轿轿轿(万万) 300 250 200 150 100 50 121 146 174 217 276

146 × (1 + 19% )

9

0

2006 2007 2008 2009 2010 年年

= 173.74 ≈ 174 (万辆).

所以 2008 年北京市私人轿车拥有量约是 174 万辆. ⑵ 如右图. 75 × 2.7 = 372.6 276 × 150 ⑶ (万吨). 估计 2010 年北京市仅排量为 1.6L 的这类私人轿车的碳排放总量约为 372.6 万吨. 解: △BDE 的面积等于 ⑴ 如图.
以 AD 、 BE 、 CF 的长度为三边长的一个三角形是 △CFP .

1

.
F

A

P E C

3 ⑵ 以 AD 、 BE 、 CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 4 . 五、解答题
解:⑴ ∵点 A、B 是二次函数

B

D

y = mx 2 + ( m ? 3) x ? 3 ( m > 0 )

的图象与 x 轴的交点,

∴令 y = 0 , 即
解得

mx 2 + ( m ? 3) x ? 3 = 0

.

x1 = ?1,x2 =

3 m.

又∵点 A 在点 B 左侧且 m > 0 ,

∴点 A 的坐标为 (

?1,0 )

.
y

?3 ? ? ,0 ? ?. ⑵ 由⑴可知点 B 的坐标为 ? m

∵二次函数的图象与 y 轴交于点 C ,
0 ,? 3) ∴点 C 的坐标为 ( .

1 AO B x

∵ ∠ABC = 45° ,
3 =3 ∴m .

C

∴ m = 1.
2 ⑶ 由⑵得,二次函数解析式为 y = x ? 2 x ? 3 .

依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的 图象交点的横坐标分别为 ?2 和 2,由此可得交点坐标为 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y = kx + b 中,

( ?2 ,5) 和 ( 2 ,? 3) .

10

? ?2k + b = 5 , ? 2k + b = ?3. 得? ? k = ?2 , ? ?b = 1.

y

1 AO

P B x M

解得

∴一次函数的解析式为 y = ?2 x + 1 .

C

N

⑴ 证明:如图 1. ∵ AF 平分 ∠BAD , ∴ ∠BAF = ∠DAF .
B A D

E

C F

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥ BC ,AB ∥ CD . ∴ ∠DAF = ∠CEF ,∠BAF = ∠F . ∴ ∠CEF = ∠F . ∴ CE = CF . ⑵ ∠BDC = 45° .
B A D 图1

E
1 3 2

C F G

⑶ 解:分别连结 GB 、 GE 、 GC (如图 2). ∵ AB ∥ DC ,∠ABC = 120° , ∴ ∠ECF = ∠ABC = 120° ∵ FG ∥ CE 且 FG = CE , ∴四边形 CEGF 是平行四边形.
由⑴得 CE = CF ,
图2

∴ CEGF 是菱形.
1 EG = EC ,∠GCF = ∠GCE = ∠ECF = 60° 2 ∴ .

∴ △ECG 是等边三角形.

11

∴ EG = CG ,
∠GEC = ∠EGC = 60° .



∴ ∠GEC = ∠GCF . ∴ ∠BEG = ∠DCG . ②

由 AD ∥ BC 及 AF 平分 ∠BAD 可得 ∠BAE = ∠AEB . ∴ AB = BE .
在 ABCD 中, AB = DC .

∴ BE = DC .
由①②③得 △BEG ?△DCG .



∴ BG = DE , ∠1 = ∠2 . ∴ ∠BGD = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3 = ∠EGC = 60° .
∠BDG = 180° ? ∠BGD = 60° 2 .

∴ 解:⑴ 分别连结 AD 、 DB ,则点 D 在直线 AE 上,如图 1. ∵点 D 在以 AB 为直径的半圆上, ∴ ∠ADB = 90° . ∴ BD ⊥ AD .
2 2 在 Rt△DOB 中,由勾股定理得 BD = OD + OB = 2 .

y D F

A

O

B

x

E

∵ AE ∥ BF , ∴两条射线 AE 、 BF 所在直线的距离为 2 .

图1

⑵ 当一次函数 y = x + b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时, b 的取值是 b = 2 或 ?1 < b < 1 ; ⑶ 假设存在满足题意的 AMPQ ,根据点 M 的位置,分以
下四种情况讨论: ①当点 M 在射线 AE 上时,如图 2.
y Q D P A M E 图2 F

∵ A、M 、P、Q 四点按顺时针方向排列, ∴直线 PQ 必在直线 AM 的上方. ∴ P、Q 两点都在 AD 上,且不与点 A、D 重
合.

O

B

x

12

∴ 0 < PQ < 2 .
y

∵ AM ∥ PQ 且 AM = PQ , ∴ 0 < AM < 2 . ∴ ?2 < x < ?1 .
E

M

D

F

A

O

B

x

②当点 M 在 AD (不包括点 D )上时,如图 3. ∵ A、M 、P、Q 四点按顺针方向排列, ∴直线 PQ 必在直线 AM 的下方. 此时,不存在满足题意的平行四边形.

图3

y

③当点 M 在 DB 上时, 设 DB 的中点为 R , 则 OR ∥ BF .
A O

D M R S Q B

F P

x

当点 M 在 DR (不包括点 R )上时,如图 4.
E

过点 M 作 OR 的垂线交 DB 于点 Q, 垂足为点 S , 可得 S 是 MQ 的中点. 连结 AS 并延长交直线 BF 于点 P .

图4

∵ O 为 AB 的中点,可证 S 为 AP 的中
点.

∴四边形 AMPQ 为满足题意的平行四
边形.
y

2 0≤ x < 2 . ∴
A

D

F R M P2 B P1 x

2)当点 M 在 RB 上时,如图 5.
直线 PQ 必在直线 AM 的下方. 此时,不存在满足题意的平行四边形. ④当点 M 的射线 BF (不包括点 B )上时,如 图 6. 直线 PQ 必在直线 AM 的下方. 此时,不存在满足题意的平行四边形.
A E

O P3

图5

y D M O P3 P2 B P1 x F

13

E 图6

综上,点 M 的横坐标 x 的取值范围是
?2 < x < ?1 或

0≤ x <

2 2 .

14


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