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20-2与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题20-2-斜面下滑滑块机械能守恒问题新解


与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

20-2

斜面下滑滑块机械能守恒问题新解
李学生 1,师教民 2

(1.山东大学 物理学院,山东 济南 250100; 2.石家庄广播电视大学 科学技术部,河北 石家庄 050081)
摘 要:重新解答了斜面上自由下滑滑块机械能守恒 问题,得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上 观察,自由下滑滑块机械能都守恒的新结论. 关键词:斜面下滑滑块;动能;势能;机械能守恒 中图分类号 :O 313.1 文献标识码:A

在水平地面上有一表面光滑的高为 h 的斜坡, 坡面与水平地
面的夹角为 θ.有一质量为 m 的滑块从斜坡的顶点处沿斜坡自由 滑下,有一小车相对于光滑地面以恒速量值 u 沿滑块滑线在地面 上的投影方向运动.试问在地面上和小车上观察,滑块的机械能 是否守恒,并说明理由. 滑块 A

y h y o
小 车 ○ ○
光滑水平地面

u x

θ
图1

x

斜面下滑滑块机械能守恒问题新解

解:在地面上观察时,以过坡面顶点的垂直于水平地面的向 上的直线为 y 轴,以 y 轴与水平地面的交点 o 为坐标原点,以过
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斜面下滑滑块机械能守恒问题新解

点 o 的沿小车运动方向且向右的直线为 x 轴,建立平面直角坐标 系如图 1 所示. 设在地面上观察时,滑块在 0 时刻起从斜坡的顶点处开始下 滑,t 时刻的高度、速度、加速度、动能、势能、机械能分别 为:y,v,a,Ek(t),Ep(t),E(t);在小车上观察时,t 时刻的速 度、加速度、动能、势能、机械能分别为: v1,a1,E1k(t),E1p(t),E1(t). 则在地面上观察(即以地面为静止系)时有:

dv dv ??(gsin θ) ? dt , mgsin θ?ma, ?a?gsin θ, dv?gsin θdt, ? dt 0 0

v

t

v?0?(t?0)gsin θ,v?tgsin θ.
ds ?v?tgsin θ,ds?tgsin θdt, ? ds ??(gsin θ) ? tdt , dt 0 0
1 2 2 1 (t ?0 )gsin θ,s? t2gsin θ. 2 2 1 1 h?y?ssin θ? t2gsin θsin θ? t2gsin2 θ(0≤y≤h) , 2 2
s t

s?0?

t2?

2(h ? y ) 2(h ? y ) h? y ,t? ;s? . 2 sin θ g sin θ g sin θ 2(h ? y ) gsin θ? 2 g (h ? y) ,v2?2g(h?y), g sin θ

v?tgsin θ?

v x ???? 2 g (h ? y) cos θ.
Ek(t)?
1 1 mv2? m?2g(h?y)?mg(h?y); 2 2
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

h? y ?mgh?mg(h?y). sin θ E(t)?Ek(t)?Ep(t)?mg(h?y)?mgh?mg(h?y)?mgh?常数. 所以,在地面上观察时,滑块的机械能守恒,守恒值为 mgh.

Ep(t)?mgh?(mgsin θ)?s?mgh?(mgsin θ)?

在小车上观察(即以小车为静止系)时有:
直觉判断法(这是前言里的低速力学新原理中的新解法) :

因为地面及滑块都以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向 运动,所以在小车上观察(即以小车为静止系)时,滑块的机 械能比在地面上观察时增加
察时,滑块的机械能为:

1 1 m(?u)2? mu2,所以在小车上观 2 2

E1(t)?E(t)?

1 1 mu2?mgh? mu2?常数. 2 2 1 mgh? mu2. 2

所以,在小车上观察时,滑块的机械能守恒,守恒值为

数学推导法:
2 v1x ? v x ?u, v12x ? ( v x ? u ) 2 ? v x ? u 2 ?2u? v x ;

2 2 v1 y ? v y , v1 y ? vy . 2 2 ? u 2 ?2u? v x ? v y ? v 2 ? u 2 ?2u? v x ?? v12 ? v12x ? v12y ? v x

2g(h?y)? u 2 ?2u? 2 g (h ? y) cos θ. E1k(t)?
1 1 m v12 ?mg(h?y)? m u 2 ?mu? 2 g (h ? y) cos θ. 2 2

a1x ?
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dv1 y dv y dv1x dv x ? ?0? a x ;a1 y ? ? ? a y ;a1?a?gsin θ. dt dt dt dt

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斜面下滑滑块机械能守恒问题新解

m a1x ?m a x ;m a1 y ?m a y ;ma1?ma?mgsin θ. mgh?E1p(t)?ma1?s?(?ma1cos θ)?(?u)(t?0)?
2(h ? y ) h? y ?(mgsin θcos θ)?u? ?? sin θ g sin θ

(mgsin θ)?

mg(h?y)?mu? 2 g (h ? y) cos θ.? E1p(t)?mgh?mg(h?y)?mu? 2 g (h ? y) cos θ.? E1(t)?E1k(t)?E1p(t)?? 1 mg(h?y)? mu2?mu? 2 g (h ? y) cos θ?? 2 mgh?mg(h?y)?mu? 2 g (h ? y) cos θ?? 1 mgh? mu2?常数. 2
所以,在小车上观察时,滑块的机械能守恒,守恒值为

1 mgh? mu2. 2
参考文献: [1]高炳坤. 力学中一个诡秘的错误[J]. 物理与工程, 2002, (12)2: 14?15,30. [2]赵 坚.机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题[J].物 理通报,2006,(25)6:19?21. [3]钱广东. 不同惯性系中机械能不一定都守恒——兼谈机械能守恒
定律是否服从力学相对性原理[J]. 物理教学, 2006, (28)2: 42?43.

[4]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J].大学 物理,1997,(16)3:11?14.
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[5]冯 健. 滑块的机械能还守恒吗[J]. 物理教学探讨, 2006, (24)1:
43.

[6]徐祥宝.以地面为参照系机械能不守恒 [J]. 物理教学探 讨,2006,(24)9:36?37.

New interpretation of mechanical energy conservation of a block sliding down on incline
Li Xue-sheng 1,Shi Jiao-min2
(1.School of Physics, Shandong University, Jinan 250100, China; 2. Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television University, Shijiazhuang 050081, China) Abstract:It refurbished the issue of mechanical energy conservation of a block sliding down on incline, which led to conclusion that, no matter in frame of reference of a ground or frame of reference of the cart moving at a constant speed to a ground, the mechanical energy of a block sliding down on incline is always conservative. Key words: a block sliding down on incline; kinetic energy; potential energy;conservation of mechanical energy 作者简介:

李学生(1969?),男,副教授,山东济南人.现从事普通 物理的教学与研究. Email:1922538071@qq.com 师教民(1945?),男,教授,河北晋州人.现从事数学、物 理、电工、电子的教学与研究. Email:shijm618@126.com
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