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湖北省稳派名校2015届高三10月联合调研考试(数学文)


湖北省稳派名校联考 2015 高三(上)10 月调研数学试 卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A.3 个 B.2 个 C.1 个 ) 中元素的个数为( D.0 个 )

2. (5 分)下列有关命题的说法中,错误的是( A.若“p 或 q”为假命题,则 p,q 均为假命题 B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件 C. “ ”是“ ”的必要不充分条件

D.若命题 p:”?实数 x0,使 x02≥0”则命题?p:“对于?x∈R,都有 x2<0” 3.如图,直线 l 和圆 c,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度 不超过 90 度)时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致 是( )

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)若 A. B.

,则 tan2α=( C.

) D.

5. (5 分)函数 y=x﹣ A.(﹣∞,1)

的值域为( B.(﹣∞,1]

) C.(0,1] D.[0,1]

6. (5 分)已知函数 则 ω 的最小值为( A. ) B.

在区间[0,1]内至少出现 2 次极值,

C.

D.

7. (5 分) (2013?青岛一模)若两个非零向量 的夹角为( A. ) B. C.

满足| + |+| ﹣ |=2| |,则向量



D.

8. (5 分)函数 f(x)= A.1 个 B.2 个 ⊥ ,|

的零点个数为( C.3 个 |=| |=1, = +

) D.4 个 ,若| |< ,则| |

9. (5 分)在平面上,已知 的取值范围是( A. ) B.

C.

D.

10. (5 分)已知 x1,x2(x1<x2)是方程 4x ﹣4kx﹣1=0(k∈R)的两个不等实根,函数 定义域为[x1,x2],g(k)=f(x)max﹣f(x)min,若对任意 k∈R,恒只有

2

成立,则实数 a 的取值范围是( A. B. C.

) D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11. (5 分)求值 = _________ .

12. (5 分) 已知函数 ( f x) =log( 的图象关于 x=2 对称, 则 a 的值为 _________ . 2 x ﹣ax+a ) 13. (5 分) 已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 , =k + , 若 ? =0.

2

2

(1)k 的值为 _________

(2)| |=

_________ .

14. (5 分)对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x) =﹣f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准奇函数,下列函数中是准奇函数的是 _________ (把所 有满足条件的序号都填上) ① f(x)= 2 ② f(x)=x ③ f(x)=tanx ④ f(x)=cos(x+1) 15. (5 分)已知函数 f(x)= lnx(x≥1) ,若将其图象绕点(1,0)逆时针旋转 θ(θ∈(0,

) )角后,所得图象仍是某函数的图象,则当角 θ 取最大值 θ0 时,tanθ0= _________ .

16. (5 分)设函数 f(θ)= sinθ+cosθ,其中 θ 的顶点与坐标原点重合,始终与 x 轴非负 半轴重合,终边经过点 P(x,y)且 0≤θ≤π. (1)若点 P 的坐标为 ,则 f(θ)的值为 _________

(2)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 小值 m,则 logMm= _________ .

内的一个动点,记 f(θ)的最大值为 M,最

17. (5 分) 设 x∈R, 若函数 f (x) 为单调递增函数, 且对任意实数 x, 都有 f[f (x) ﹣e ]=e+1, 则 f(ln2)的值为 _________ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 18. (12 分)设命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减;命 x x 题 q:3 ﹣9 <a 对一切的 x∈R 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

x

19. (12 分)在平行四边形 ABCD 中,A(1,1) , 段 CM 与 BD 交于点 P. (1)若 (2)当| =(2,5) ,求点 C 的坐标; |=| |时,求点 P 的轨迹.
2

=(6,0) ,M 是线段 AB 的中点,线

20. (13 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R) . (1)若 f(x)满足下列条件:① 当 x∈R 时,f(x)的最小值为 0,且 f(x﹣1)=f(﹣x﹣1) 恒成立;② 当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立,求 f(x)的解析式;

(2)若对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2,f(x1)≠f(x2) ,试证明:存在 x0∈(x1,x2) ,使 f(x0) = [f(x1)+f(x2)]成立.

21. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+φ) (A>0,w>0,|φ|<

)的图象在 y 轴上的截

距为 ,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+π,﹣2) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若△ ABC 中的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且锐角 A 满足 , 又已知 a=7,sinB+sinC= ,求△ ABC 的面积.

22. (14 分)若函数 f(x)是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F(x)=



I 上是减函数,则称 y=f(x)是 I 上的“非完美增函数”,已知 f(x)=lnx,g(x)=2x+ +alnx (a∈R) (1)判断 f(x)在(0,1]上是否是“非完美增函数”; (2)若 g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.A 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11.﹣2 . 12. 4 . 13. (1) 14. ③ ④ 15. . (2)| .

16. (1) 2 (2) 0 . 17. 3 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说、证明过程或演算步骤) 18. 解:∵ 命题 p:函数 y=loga(x+1) (a>0,a≠1)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴ x+1∈[1,+∞) ,0<a<1, ∵ 命题 q:3 ﹣9 <a 对一切的 x∈R 恒成立, x x 2 ∴ f(x)=3 ﹣(3 ) , x 2 t=3 ,y=﹣t +t,t>0, 当 t= 时,y 的最大值 , 即必须得 a> , ∵ p 且 q 为真时,可得: <a<1, ∴ 命题“p 且 q”为假命题时,实数 a 的取值范围为(0, )∪ (1,+∞) , 19. 解: (1)∵ A(1,1) , =(6,0) ,∴ B(7,1) ,
x x

∵ M 是 AB 的中点,∴ M(4,1) .

∵ =(2,5) ,∴ D(3,6) , ∵ =(6,0) ,∴ =(6,0) , ∴ C(9,6) (2)设点 P 的坐标是(x,y) ,D(a,b) ,则 C(a+b,b) , ∵ | |=| |,∴ (a﹣1) +(b﹣1) =36(*) ① , ②
2 2 2 2

由 B,D,P 共线,得 由 C,P,M 共线,得

由① ② 化简得 a=3x﹣14,b=3y﹣2,代入(*)化简得(x﹣5) +(y﹣1) =4. 20. 解: (1)∵ x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立, ∴ 1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1, ∴ f(1)=1; ∵ f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) , ∴ f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴ ﹣ =﹣1,b=2a.
2

∵ 当 x∈R 时,函数的最小值为 0, 2 ∴ a>0,f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴ f(x)min=f(﹣1)=0, ∴ a=c. ∴ f(x)=ax +2ax+a.又 f(1)=1, ∴ a=c= ,b= . ∴ f(x)= x + x+ = (x+1) ; (2)令 g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x1)﹣f(x2)], g(x2)=f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)] = [f(x2)﹣f(x1)], ∵ f(x1)≠f(x2) ∴ g(x1)g(x2)<0,所以 g(x)=0 在(x1,x2)内必有一个实根, 即存在 x0∈(x1,x2)使 f(x0)= [f(x1)+f(x2)]成立. 21. 解: (1)由最值点可得 A=2,设函数的周期为 T,
2 2 2

由三角函数的图象特点可得 T= 又图象在 y 轴上的截距为 ∴ sinφ= ,又|φ|< ,∴ φ= ) ;

=π,解得 ω=1, ,

,∴ 2sinφ= ,

∴ f(x)=2sin(x+ (2)∵ 锐角 A 满足 ∴ 2sin(A+ 解得 sinA= ﹣

, , ; = ,

)=

,∴ A= =

由正弦定理可得

变形可得 sinB= ∴ sinB+sinC=

,sinC= (b+c)=
2 2 2

, ,∴ b+c=13,

再由余弦定理可得 7 =b +c ﹣2bc× , =b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=169﹣3bc,∴ bc=40, ∴ △ ABC 的面积 S= bcsinA= ×40× 22. =10 . = ,
2 2 2

解: (1)由于 f(x)=lnx,在(0,1]上是增函数,且 F(x)= ,∴ 当 x∈(0,1]时,F′ (x)>0,F(x)为增函数,

∵ F′ (x)=

∴ f(x)在(0,1]上不是“非完美增函数”; (2)∵ g(x)=2x+ +alnx,

∴ g′ (x)=2﹣

+ =



∵ g(x)是[1,+∞)上的“非完美增函数”, ∴ g′ (x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ g′ (1)≥0,∴ a≥0, 又 G(x)= =2+ + 在[1,+∞)上是减函数,

∴ G′ (x)≤0 在[1,+∞)恒成立,即﹣

+

≤0 在[1,+∞)恒成立,

即 ax﹣axlnx﹣4≤0 在[1,+∞)恒成立, 令 p(x)=ax﹣axlnx﹣4 则 p′ (x)=﹣alnx, ∴ 解得 0≤a≤4, 综上所述 0≤a≤4.


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