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四川省自贡市2013届高三第三次诊断性考试(数学文)


自贡市普高 2013 级第三次诊断性考试数学试卷(文史类)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.设 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? CU B 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} A. y ? ? x2 ( x ? 0) 3.函数 y ? B. {x | 0 ? x

? 1} B. y ? x2 ( x ? 0) C. {x | x ? 0} C. y ? x2 ( x ? 0) D. {x | x ? 1} D. y ? ? x2 ( x ? 0) D. {x | x ? 1 且 x ? 4} D.第四象限 2.函数 y ? ? x ( x ? 0) 的反函数是

2x ? 2 ? ( x ? 4)? 的定义域为 A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 0 且 x ? 4} C. {x | x ? 1} 4.若 sin ? ? cos ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则 ? 的终边在
A.第一象限
3

B.第二象限

C.第三象限

5.过曲线 y ? x ? x ? 2 上一点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x 则点 P0 的一个坐标是 A.(0, ? 2) B.(1,1) C.(1,4) D.( ? 1, ? 4) 6.设 F 、 F2 分别是双曲线 C: 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存 a 2 b2 在一点 P,使 | OP |?| OF1 | (O 为原点) ,且 | PF |? 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为 1
A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C. 3 ? 1

D.

3 ?1 2

7.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A B1C1D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线 1 共有 A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数条

8.将函数 f ( x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,同时将纵坐标缩小到原来的 倍 , 得 到 函 数 y ? cos( x ?

?
6

1 2

) 的 图 象 , 另 一 方 面 函 数 f ( x) 的 图 象 也 可 以 由 函 数

y ? 2cos x ? 1 的图象按向量 c 平移得到,则 c 可以是 ? ? ? ? A. ( , ?1) B. ( ,1) C. ( ,1) D. ( , ?1) 6 12 6 12 9.如图 1,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i ? 1, 2,3; j ? 1, 2,3) ,从中
任取三个数,则至少有两个位于同行或同列的概率是

4 3 1 C. D. 7 7 14 10.已知有穷数列 {an } (n ? 1, 2,3, ???6) 满足 an ?{1, 2,3 ???,10} ,且当
A. B.

13 14

i ? j( i j 1 , 2? ,? ?时 ai ? a j 。若 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , , ? 6)
则符合条件的数列 {an } 的个数是 A. C10C7
3 3

B. C10C10

3

3

C. A10 A7

3

3

D. C10 A6

6

3

11.已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为 F,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交椭圆 C 于 B, 2
1

若 FA ? 3FB ,则 | AF | 等于 A.2 B. 2 C. 3 D.3 12.如图 2,有一直角墙角,两边的长度尺足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 am(o ? a ? 12) 、4m,不考虑树的粗细,现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩 形的花圃 ABCD, 设此矩形花圃的最大面积为 S, 若将这棵树围在花圃内, 则函数 S ? f (a ) (单位 m )的图象大致是
2

??? ?

??? ?

??? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。

1 n ) (n ? N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小值是 x3 ? x ? y ? 2 ? 0, x2 ? y 2 ? 14.设实数 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则 u ? 的取值范围是 xy ? y ? 2 ? 0, ?
13.若 (2 x ?
2





15.如图 3,A、B、C 是球面上三点,且 AB=2cm,BC=4cm,∠ ABC=60°,若球心 O 到截面 ABC 的距离为 2 2 cm,则该球的表面积为 16.有下列命题:① a ? b 是 a ? b 的充分不必要条件;
2 2



② OP ? OQ ?

??? ???? ?

? ? 1 ??? 2 ???? 2 ??? 2 (OP ? OQ ? PQ ) ; 2

③已知 f ( x ) 的最大值为 M,最小值是 m ,其值域是 [m, M ] ; ④有 3 种不同型号的产品 A、B、C,其数量之比依次为 2:3:4,现用分层抽样方法抽出一 个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 10 件,则 n ? 90 。 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号) 。 三、解答题:共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17.如图 4,已知△ABC 中, | AC |? 1 ,∠ ABC=120°,∠ BAC= ? ,记 f (? ) ? AB ? BC 。 (I)求 f (? ) 关于 ? 的表达式; (II)求 f (? ) 的值域。

??? ??? ? ?

2

18. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 各位数字中, 1 ? 1 , k (k ? 2,3, 4,5) 出现 0 的概率为 a a

其中 A 的

1 2 , k (k ? 2,3, 4,5) 出现 1 的概率为 , a 3 3 记 ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 (例如:A=10001,其中 a1 ? a5 ? 1, a2 ? a3 ? a4 ? 0 ,? ? 2 ) 。 当启动仪器一次时, (I)求 ? ? 3 的概率; (II)求当 ? 为何值时,其概率最大。

19 . 如 图 5 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD , ∠ ABC= ∠ BCD=90 ° , PA=PD=DC=BC=

1 AB,E 是 BP 的中点。 2

(I)求证:EC//平面 APD; (II)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (III)求二面角 P-AB-D 的大小。

20.已知等差数列 {an } 为递增数列,前 n 项和为 Sn , n ? N ,且 S3 ? a5 , a1 与 S5 的等比
*

中项为 5。

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)数列 {bn } 满足 bm ? pn ? an ,且 {bn }

* * 的前 n 项和为 Tn , n ? N ,若对任意 n ? N 都有 Tn ? T6 ,求实数 p 的取值范围。

3

21.已知圆 C 过定点 F (?

y ? k ( x ? 1) (k ? R) 相交于 A、B 两点。 (I)求曲线 E 的方程; (II)当△OAB 的面积
等于 10 时,求 k 的值; (III)在曲线 E 上是否存在与 k 的取值无关的定点 M,使得 MA⊥MB?若存在,求出所有符合条件的定点 M;若不存在,请说明理由。

1 1 , 0) ,且与直线 x ? 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l : 4 4

22.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a (a ? R ) 。 (I)当 a ? ?3 时,求函数 f ( x) 的极值; 3 (II)若函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a 的取值范围。

4

自贡市普高 2010 级第三次诊断性考试数学试卷参考答案及评分意见
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) BADCD CCDAA BC
2

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)13、5;14、[5,20];15、48 ?cm 三、解答题: (每小题 10 分,共 60 分) 17、解: (Ⅰ) ,由正弦定理有:

16、①③④。

| AB | | BC | 1 = …………(2 分) ? sin sin ? ? 120 sin(60? ? ? ) 1 sin( 60 ? ? ? ) | BC |? sin , ? | AB |? ∴ …………(4 分) sin 20 1 ? sin 120 ? 4 1 f ()? ? ? ? (?) ∴ f0 AB sin60? BC ? sin( ?? ? ) 3 2 1 3 1 cos ? 2 ? 2 3 1 = ( cos sinsin 2 ? ) ?? ? ?= ( sin ? ) 3 2 2 3 2 2 1 ? 1 ? = sin( ? )? …………(8 分) 2 ? (0 ? ? ? ) 3 6 6 3 ? ? ? 5? 0 ?? ? ? 2? ? ? (Ⅱ) => , 3 6 6 6 1 1 ? ∴ ………(12 分) ? 2 ? )? sin( ? 1 ∴ f (? ) ? (0, ] 6 2 6 8 21 2 ( 3? 4( 2 2 ? 18、 (文)解: (Ⅰ)由题意得: P ?) C ) ( ) ? …………(3 分) 3 3 27 1 0 1 ( 1 C 4 ? (Ⅱ) P ?)? 4( ) ? …………(5 分) 3 81 1 …………(7 分) P ?) C )( ) ( ? 2? 4 13 2 ?8 ( 3 3 81 24 21 2 31 2 3 32 P ?) C ) ( ) ? P ? )? 4( )() ? ( 3? 4( 2 2 ? ( 4 C ? …………(9 分) 3 3 81 3 3 81 16 4 2 P ? )? 4( ) ? ( 5 C 4 ? …………(11 分) 3 81 32 …………(12 分) ? ? 4 的概率最大,最大值为 81
19、解:解法一(Ⅰ) 如图,取 PA 的中点为 F,连结 EF、FD。 ∵ E 是 BP 的中点, EF∥AB 且 EF=

1 AB, 又 ∵DC∥AB, 2

DC=

1 AB 2

∴ EF∥DC ,∴ 四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC∥FD. 又∵ EC ? 平面 PAD,FD ? 平面 PAD, ∴ EC∥平面 ADE (4 分) (Ⅱ) 取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 于 AD, ∴PH⊥面 ABCD ∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影,
5

∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角………(6 分) ∵四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°∴四边形 ABCD 是直角梯形, ∴DC=CB= 1 AB,
2

设 AB= 2a ,则 BD= 2 a PH= PD?DH= a ?
2 2

在? ABD 中,易得∠DBA=45°, AD= 2 a ,

1 2 2 a = a 2 2 又 ∵ BD2+AD2=4 a =AB2, ∴? ABD 是等腰直角三角形,∠ADB=90°, …(7 分) 1 2 10 2 2 a ? 2a 2 = ∴ HB= DH?DB= a 2 2 2 a PH 2 5 ∴ 在 Rt ? PHB 中, tan PBH ………(8 分) ? ? ? ? HB 10 5 a 2
2

(Ⅲ)在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,连结 PG,则 HG 是 PG 在平 面 ABCD 上的射影,故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P—AB—D 的平面角, ………(10 分) 由 AB=2 a HA= ,

1 2 ………(11 分) a ,∠HAB=45°,∴ HG= a , 2 2 2 a PH 2 ? ? ? ? 2 ∴在 Rt ? PHG 中, tan PGH HG 1 a 2 2 ∴二面角 P—AB—D 的大小为 arctan ……(12 分)

解法二(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 AB=2 a ,同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB=90°, 如图以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线 为 y轴,过 D 点且垂直于 平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系, ………(5 分) 则 B(0, 2 a ,0) ,P(

2 2 a ,0, a ) , 2 2 2 2 ∴ PB ? (- , a , 2 a ,- a ) 2 2 ? 平面 ABCD 的一个法向量为 m (0,0,1) , 2 ? a PB ? m 2 ?? 6 ? 所以, cos ? PB , m ?? 6 3a | PB || m |
可得 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

………(6 分)

………(7 分)

6 6



6

所以 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为

5 5



………(8 分)

(Ⅲ)易知 A( 2 a ,0,0) ,则 AB =(- 2 a , 2 a ,0,, ) 设平面 PAB 的一个法向量为 n =( x0, y0, z0 )则

………(9 分)

? n ? AB ? 0 ? 由? ? n ? PB ? 0 ?
令 x0 ? 1

? ? 2 0 ? 2 0 ?0 ax ay ? => ? 2 2 ? ax? 2 0 ? az ?0 ay 0 0 ? 2 ? 2
……(11 分)

=>

? y0 ? x0 ? ? z0 ? x0

可得 n =(1,1,1)

3 3 ,所以二面角 P—AB—D 的大小为 arctan ……(12 分) 3 3 3 2a ?d ? S 3 ? a5 ? 1 2 20、解:(Ⅰ)由题意 ? 可得 ? 即 a1 ? 1 a a d ? 1(5 1 ?10 ) ?25 ?25 ? a1 ? S 5 ?a1 ? 1 ? a1 ? ? 1 ∴ ? 或? ∵ ?a n ? 为递增的等差数列, ?d ? 2 ? d ? ?2 ?a1 ? 1 * ∴ d ?0,∴ ? , ∴ a?n 1 ? ) ………(6 分) ( n 2?n N d ? 2 ? ???(? ? 2 ? 2 n n (Ⅱ) b pn1p) 1 n p 22 p ? ,由 T n ≤ T6 , n ? 6时最大,知 T n 开口向下, T? n? n n 2 2 11 13 p ∴ p<2 且 5.5≤ ≤6.5 ∴ ≤ p≤ ………(12 分) 6 7 2(2 ? p )
从而 cos ? m, n ?

1

?

21、解:(Ⅰ)由题意,点 C 到定点 F(-

1 1 ,0)和直线 x = 的距离相等, 4 4 2 所以点 C 的轨迹方程为 y ? ?x ………(4 分)

(Ⅱ)由方程组 ?

? y 2 ? ?x

? y ? k ( x ? 1) 2 y k 0 整理得 ky? ? ?

消去 x 后, ………(5 分)

设 A(x1,y1) ,B( x 2 , y 2 ),由韦达定理有

y1 ? y2 = ? ??

12t 2 , y1 y2 ?-1, ………(6 分) ? 2 2 tk ?1 t ?1

设直线 l与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0) ∵

1 1 S ? ? ? ? = |ON|| y 1 |+ |ON|| y 2 | S S ? OAB OAN OBN 2 2

7

= ∵ S?OAB? 10 ∴

1 1 1 2 |ON|· y ? y2 |= · | 1 1· ( 1? 2 ? yy = y y) 41 2 2 2 2

1 ( )2 ? 4 k

1 1 1 ( ) 2 ? 4 ,解得 k ? ? ………(8 分) k 2 6 2 (Ⅲ)∵A、B 在抛物线 y ? ?x 上, 1 2 2 2 2 所以 x x? y ? ) ? ( 2 ? 2) , x 2 ? 1 y ? , ………(9 分) ? ?1 y = ( x y 2 1 1 2 2 1 k 设点 M( x 0 , y 0 ),MA⊥MB ? 1 1 2 =0? 2x ? y?2 2 ? ?? x 0 (( y00 2y( x2x y11y ? x0 ? ? y )( ) 1 )( ) ? y0 ? ? x0 0 0 y? 0 x 0 0 k k x0 ? 0 ? ? x0 ? 0 ? y0 ? 0 ? ………(11 分) ? ? y0 ? 0 ? ? y 2 ? 2x ? x 2 ? 0 0 0 ? 0
10 =
故存在唯一的合乎题意的点 M(0,0). 22、解:(Ⅰ) 当 a ? ?3 时, f ( x) ? ………(12 分)

1 3 x ? x 2 ? 3x +3 3 2 ∴ f ' ( x) ? x ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)(x ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 x2 ? 3 当 x <-1 时, f ' ( x) >0,则 f (x) 在 ?? ?,?1? 上单调递增; 当-1< x <3 时, f ' ( x) <0,则 f (x) 在(-1,3)上单调递减; 当 x >3 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 ?3,??,? 上单调递增; 1 14 ∴ 当 x =-1 时, f (x) 取得极大值为 f (?1) ? ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 3 1 当 x =3 时,f (x) 取得极小值为 f (3) ? ? 27 ? 9 ? 9 ? 3 ? ?6 3
2

………(1 分) ………(2 分) ………(3 分) ………(4 分) ……(5 分) ……(6 分)

? ? 4 ? 4a ? 4(1 ? a) 1)若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ,∴ f ' ( x) ? 0 在 R 上恒成立,∴ f (x) 在 R 上单调递增。………(7 分) ∵ f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0 ∴当 a ≥1 时, f (x) 函数的图象与 x 轴有且只有一个交点。…(8 分) 2)若 a <1,则 ? ? 0 ∴ f ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1 、 x2 ( x1 < x2 ) ∴ x1 + x2 =2, x1 · x2 = a , 当 x 变化时, f ' ( x) f (x) 的取值情况如下表:


(Ⅱ) ∵ f ' ( x) ? x ? 2 x ? a

x
f ' ( x)

?? ?, x1 ?
+

x1
0

( x 1 , x2 )

x2
0

?x2 ,??,?
+



8

f (x)
∵ x1 ? 2 x1 + a =0, ∴
2

极大值

极小值
………(9 分)

a =- x1 2 ? 2 x1

1 3 1 3 2 2 x1 ? x1 ? ax1 ? a = x1 ? x1 ? ax1 ? x1 2 ? 2 x1 3 3 1 3 1 2 = x1 ? ( a ? 2) x1 = x1 [ x1 ? 3(a ? 2)] ………(10 分) 3 3 1 2 同理 f ( x2 ) ? x 2 [ x 2 ? 3( a ? 2)] ………(11 分) 3 1 2 2 ∴ f ( x1 ) · f ( x2 ) = x1 x 2 [ x1 ? 3( a ? 2)] · [ x2 ? 3(a ? 2)] 9 1 2 2 2 2 = ( x1 x 2 )[( x1 x 2 ) ? 3(a ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 9(a ? 2) ] 9 1 2 2 2 = a?a ?3(a ? 2)[( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ] ? 9( a ? 2) ? 9 4 2 = a ( a ? 3a ? 3) …………(12 分) 9 令 f ( x1 ) · f ( x2 ) >0,解得 a >0, 而当 0 ? a ? 1 时, f (0) =- a <0, f (3) =2 a >0, 故当 0 ? a ? 1 时,函数 f (x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点。 ………(13 分) 综上所述, a 的取值范围是 ?0,??,? ……… (14 分)
∴ f ( x1 ) ?

9


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