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2015年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛


2015 年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛 香港科技大学高等研究院赞助 卷.1(共 5 题) (9:00 am - 12:00 pm, 25 February, 2015) 1.火星的逆行运动(9 分) 在天文史上,行星的逆行运动扮演了重要的角色。假设我们连续多个晚上在午夜观察火星 的位置若以远处的星体和星座为背景,我们会发现大部分时间火星是从西到东运动,但也有些 时段是逆

向 运动,如图 所示。火星 的轨道周期 是 1.88 年。 假设地球和 火星的轨道 都是圆的, 地轴的倾斜 可略。 θ (a)试求火星的轨道半径 RM。答案请以 AU 为单位。 (1AU 是太阳与地球的平均距离。 ) (1 分) (b)在 t=0 时,太阳、地球、火星成一直线。试作一草图,显示在 t>0 时,太阳、地球、火星和 星 T 的位置,以 S,E,M 和 T 表示。在图上标示地球和火星的角位移分别为θ E 和θ M(自 t=0 开始) ,和地球观察火星的角位置θ (以远处的星体和星座为背景) (2 分) (c) 试推导火星在时间 t 时的角位置θ 。答案请以 RF.RM.ω F、ω M 表示,其中ω E 和ω M 分别 为地球与火星的角速度。 (3 分) (d)试计算火星在 t=0.1 年,0.2 年和 0.3 年时的角位置θ 。答案请以度数表示。 (3 分) 2.球拍滚球(10 分) 如图所示,一个质量为 M,半径为 R 的空心园球被放置在质量为 m 的球拍上。球拍具有一个 平坦的表面,其静摩擦 系数为μ S, 动摩擦系数 为μ K, 并且被保持在水 平位置。 ( a) 球拍被周期性的力 F(t)=F0cos ω 0T 沿水平 方向驱动,园球维持在 不滑动的状态。试计算球拍与球振动时的最大速度,分别表示为 uX 和 Uy。 (质量为 M,半径 为 R 的空心球体的转动惯量为 I=2MR2/3。 ) (5 分) (b)在球拍振动至最大速度的一刻,其运动突然被外力煞停,这外力比球拍与球之间的极限摩擦 力强得多, 作用的时间也很短。 问球的最终速度是多少?若球的最终速度为 0, 其位移是多少? (5 分)

3.气球(10 分) 拉伸弹簧所做的功被转换成弹簧的内能。同样,拉伸薄膜所做的功被转换成它的表面能 E=γ S,其中γ 为薄膜的表面张力,S 是其表面面积 (a) 考虑半径 R 的气球。当半径改变为 aR 时,表面能的变化是多少?由此推导表面张力形 成的压力的表达式。 (2 分) (b) 气球 A 的表面张力为γ 。当它充满了一种双原子的理想气体,其半径是 Ro。气球 B 的表 面张力为 2γ 。当它被相同的双原子理想气体充满时,其半径是 Ro。环境的温度为 T。然后两 个气球被连接,使得气体可以在它们之间自由交流,直至达到稳定状态。最终温度与环境相同。 问两个气球最终的半径分别是什么?在分析中你可以忽略大气压力。 (4 分) (c) 在(b)部的气体交流过程中,气球 A 和 B 增加的热能分别是什么?(4 分) 4.菲涅耳双棱镜(10 分) 茌著名的杨氏双缝实验面世后不久,便产生了菲涅耳双棱镜的设计,用以确认干涉现象。 如今,它被广泛用于不同的应用。如图所示,它由一个单一的光源 S 和一对背对背的楔形棱镜 组成。我们引入以下符号: n= refractive index of the biprism 双棱镜的折射率 α = apex angle of each prism 双棱镜的顶角 b= distance between light source and biprism 光源与双棱镜的距离 c= distance between biprism and screen 双棱镜与屏幕的距离 λ = wavelength oflight 光的 波长 (a) 试推导光束经过其中一个 棱镜后偏转角的表达式。 ( 3 分) (b) 试推导屏幕上条纹距离的表 达式。 (4 分) (c)在现代,这原理己应用到电子显微镜中。在这应用中,单个光源被替换成入射的平行 波束,垂直于双棱镜的平面。试推导屏幕上条纹距离的表达式。 (3 分) 5.离子晶体 我们可以一串带正电和带负电的离子,作为离子晶体的模型。离子间的距离为 a。正离子的原 子质量为 M,处于位置 x=na,其中 n 是偶数。负离子的原子质量为 m(m<M),处于在位置 x=na, 其中 n 是奇数。相邻的离子有弹簧耦合,弹簧为离子的横向位移提供返回力。返回力正比于离 子相对于相邻离子的位移,并且弹簧常数为 k。 (a)令 un(t)为处于 x=na 的离子在时间 t 的横向位移。试推导两种类型离子的运动方程。

表明运动方程的解可以写成 (b)在极限 q=0,求ω 的所有解,并且求在每个解中 AM 与 Am 间的关系。 (2 分) (c)在极限 q =0,试计算低频模式的波速。 (1 分)

(d)在极限 q=π /2a,求ω 的所有解,并且求在每个解中 AM 与 Am 间的关系。 (2 分) (e)试绘出角频率ω 作为波数 a 的函数的草图,范围从 q= -π /2a 到 q=π /2a。 (2 分) (f)有电磁波入射到晶体。哪种频率模式会被激发?(1 分)


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