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圆的标准方程课件[1]


4.1.1 圆的标准方程
y

O

A

x

r

目标引领

1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程。 2、能从圆的标准方程中熟练地求出圆心 坐标和半径。 3、能根据条件熟练的求出圆的方程。 【教学重点】 圆的标准方程

的理解、掌握. 【教学难点】 圆的标准方程的应用。

自学探究
问题1:平面直角坐标系中,如何确定一个 圆? 圆心:确定圆的位置 半径:确定圆的大小 问题2:圆的定义是什么? 平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合 叫做圆.

合作解疑 问题3:圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么?

设点M (x,y)为圆C上任一点,则|MC|= r。
y M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

O

(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

C

x

想一想?

问题:是否在圆上的点都适合这个方程?是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上?

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.

知识点一:圆的标准方程 y

标准方程

M(x,y)

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

O

C

x

圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x2 ? y 2 ? r 2

应用举例 1.说出下列圆的方程: (1)圆心在点C(3, -4), 半径为7. (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3).

2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径:

(1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36
(2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0

(3) (x ? a)2 + y 2 = m2

特殊位置的圆的方程:

x2+ (y ? b)2 = r2 (r≠0) 圆过原点: (x ? a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0) (x ? a)2 + y2 = a2 (a≠0) 圆心在x轴上且过原点: 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与x轴相切: (x ? a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与y轴相切: (x ? a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0) 圆与x,y轴都相切: (x ? a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)

圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上:

x2 + y2 = r2 (r≠0)

(x ? a)2 + y2 = r2 (r≠0)

精讲点拨
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是:

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

跟踪训练 已知两点M(3,8)和N(5,2). (1)求以MN为直径的圆C的方程; (2)试判断P1(2,8),P2(3,2),P3(6,7)是在圆上,在 圆内,还是在圆外? 解:(1)法一:设圆心 C(a,b),半径为 r, 3+5 8+2 则由 C 为 MN 的中点得 a= =4,b= =5, 2 2 由两点间的距离公式得 r=|CM|= ?4-3?2+?5-8?2= 10,
∴所求圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.

知识探究二:点与圆的位置关系 探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 M 系? M O
点在圆内

M

O 点在圆上

O 点在圆外

|OM|<r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2;

|OM|=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2

|OM|>r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2

知识点二:点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

待定系数 法

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

?(5 ? a) ? (1 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
2 2 2

?a ? 2, ? ?b ? ?3, ? r ? 5. ?

所求圆的方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 解2:设圆C的方程为
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 待定系数法 圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ?2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ? r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

解:∵A(1,1),B(2,-2)

3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

即:x-3y-3=0
?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

拓展运用

1.点(2a, 1 ? a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件,求圆的方程: (1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线5x-3y=8上,又与两坐标轴相 切,求圆的方程。 (3)求以C(1,3)为圆心,且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。

思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2,求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 )的切线的方程。
y 解: 如图, 设切线方程为 ? y0 ? k ( x ? x0 ) y0 半径OM的斜率为kOM ? x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )

0

X

x0 因OM垂直于圆的切线 所以k ? ? , y0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y
2 0
2 0 2 0 2

2 0

?x ? y ? r ,

?所求圆的切线方程为 0 x ? y0 y ? r 2 x

如图所示,一座圆拱桥,当水面在l位 置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面 下降1米后,水面宽多少米?
例3

【分析】

建立坐标系求解.

【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的 竖直直线为y轴,建立直角坐标系,如图所 示.

设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B, 则由已知得A(6,-2). 设圆的半径为r,则C(0,-r),

即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
将点A的坐标(6,-2)代入方程①得

36+(r-2)2=r2,
∴r=10.

∴圆的方程为 x2+(y+10)2=100.② 当水面下降 1 米后,可设点 A′的坐标为 (x0,-3)(x0>0), 将 A′的坐标(x0,-3)代入方程②得 x0= 51, ∴水面下降 1 米后,水面宽为 2x0=2 51米.
【点评】 本题是用解析法解决实际问题.

跟踪训练3 如图(1)所示是某圆拱桥的一孔圆拱的 示意图.该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m, 在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱CD 的高度(精确到0.01 m).

解:建立图(2)所示的直角坐标系,则圆心在y轴 上.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那 么圆的方程是x2 +(y-b)2 =r2.下面用待定系数 法求b和r的值.因为P、B都在圆上,所以它们 的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解.于 是得到方程组

?02+?4-b?2=r2 ? 2 ,解得 b=-10.5,r2=14.52. 10 +?0-b?2=r2 ?

所以,这个圆的方程是 x2+(y+10.5)2=14.52. 把点 C 的横坐标 x=-2 代入这个圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52. y+10.5= 14.52-4(因为 C 的纵坐标 y>0,所以 取正值), 于是 y= 14.52-4-10.5≈3.86 m. ∴支柱 CD 的高度为 3.86 m.

小结
1.圆的标准方程

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

(圆心C(a,b),半径r)

2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法 ②几何法


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