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均值不等式教案


§ 3.2

均值不等式

本节内容是选自人教版高中数学 B 版必修五第三章第二节—— 均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位,在不等式的 证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能:均值不等式的基本表达式;均值不等式所表达的几 何意 义;能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法:掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观:数

学来源于生活,善于从生活中去探索数学的 奥秘 二、重难点 重点:均值不等式的证明与应用; “=”成立的条件 难点:均值不等式的几何意义;在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 (一)情境引入 某一届国际数学家大会的会标,我们将其中的几 何图形抽象出来得到这样一个图形:已知的是直角三 角形的两直角边分别为 a,b,那我们能否从其中找出 一些不等关系? 解答:图中四个直角三角形的面积总和为: 4 ? ab
1 2

大的正方形的面积为: a 2 ? b2 我们可以很直观地得出: a 2 ? b2 > 2ab 问:同学们再想一想,这个“>”可以换成“≥”吗? 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候, 也即是 a ? b 时, 这时, 正方形 EFGH 变为一点,可以得到 a 2 ? b2 ? 2ab 。 (二)得出结论并证明(基础) 一般地, a, b ? R ,则 a2 ? b2 ? 2ab . 证明:? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2
2 当 a ? b 时, ? a ? b ? ? 0 ;当 a ? b 时, (a ? b)2 ? 0 .

综上所述,可得 a2 ? b2 ? 2ab . (三)均值不等式的变式(重点)
a?b ? ab (当 a ? b 时, “=”取到) 2 a?b 需明确的两个概念: 表示 a 与 b 的算术平均数 2

若 a ? 0, b ? 0, 则

; 。

ab 表示 a 与 b 的几何平均数

证明(几何意义) :
AC 是圆 O 的直径, 如图: 点 D 是 AC 上任一点, AD ? a , CD ? b ,过点 D 做 BD ? AC 交圆周于 B



连接 OB . 则 OB ?
AC a ? b ? 2 2
AD AB DB ? ? BD BC DC

又 Rt ?ADB ? Rt ?BDC ,则

所以 BD2 ? AD ? DC ? ab ,也即 BD ? ab 又 OB ? BD ,所以
a?b ? ab . 2

所以其几何意义为:半径不小于半弦 (四)巩固应用 (1)已知 a、b 都是正数,求证: ? ? 2 . 证明:? a ? 0, b ? 0, ? ? 0, ? 0 ,由均值不等式可得
a b a b ? ? 2 ? ? 2, b a b a
a b b a
a b b a

当且仅当 ?

a b

b 且 a ? 0, b ? 0 同时成立, a

即 a ? b 时,等号成立. (2)已知 a、b 都是正数,求证: ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ?? a 3 ? b3 ? ? 8a3b3 证明: ? a ? b ? 2 ab , a2 ? b2 ? 2 a2b2 , a3 ? b3 ? 2 a3b3
? ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ?? a 3 ? b3 ? ? 2 ab ? 2 a2b2 ? 2 a3 ? b3 ? 8a3b3

(五)课堂小结 本节课,我们学习了重要不等式 a2 ? b2 ? 2ab ;两正数 a、b 的算术 平均数(
a?b a?b ) ,几何平均数( ab )及它们的关系( ≥ ab ). 2 2

它们成立的条件不同,前者只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都 是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工 具(下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤ ≤(
a?b 2 ). 2

a 2 ? b2 ,ab 2

(六)板书设计 一、引入 四个直角三角形的面积总和为: 4 ? ab
1 2

大的正方形的面积为: a 2 ? b2 于是可得到 a 2 ? b2 > 2ab 当 a=b 时,也就是直角三角形变为等腰直角三 角形,中间的正方形 EFGH 变为一个点时,
a 2 ? b2 ? 2ab.

二、均值定理 1:一般地, a, b ? R ,则 a 2 ? b2 ? 2ab. 证明:? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 当 a ? b时,(a-b)2 ? 0; 当 a ? b 时, (a ? b)2 ? 0. 综上所述,可得 a 2 ? b2 ? 2ab. 均值定理 2:若 a ? 0, b ? 0, 则 证明(几何意义) : 如图:AC 是圆 O 的直径,点 D 是 AC 上任 一点,AD=a,CD=b,过点 D 做 BD ? AC 交圆周 于 B,连结 OB. 则 OB=
AC a ? b ? 2 2 AD AB DB ? ? BD BC DC

a?b ? ab (当 a ? b 时, “=”取到) 2

又 Rt? ADB ? Rt? BDC ,则

所以 BD2 ? AD ? DC ? ab ,也即 BD ? ab 又 OB ? BD ,所以
a?b ? ab 2

所以其几何意义为:半径不小于半弦 三、应用 已知 a、b 都是正数,求证: (1) ? ? 2.
a b b a

证明:? a ? 0、b ? 0,? ? 0, ? 0

a b

b a

,由均值不等式可得

a b a b a b ? ? 2 ? ? 2 ,当且仅当 ? 与a ? 0、b ? 0 同时成立, b a b a b a

即 a ? b 时,等号成立. (2) ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ?? a 3 ? b3 ? ? 8a3b3
? a ? b ? 2 ab , a2 ? b2 ? 2 a2b2 , a3 ? b3 ? 2 a3b3
? ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ?? a 3 ? b3 ? ? 2 ab ? 2 a2b2 ? 2 a3 ? b3 ? 8a3b3

1 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 x2 ? xn ? n ,对每个 xi ? 0 . n

证明:用数学归纳法. (1) 当 n ? 2 时,就是均值不等式,显然成立; (2) 设 n ? k 成立,证 n ? 2k 成立;
x1 ? ? ? xk xk ?1 ? ? ? x2 k ? x1 ? ? ? xk ? k ? xk ?1 ? ? ? x2 k ? k ? ? ? ? 2k 2k 2 2
1 1

? x1 x2 ? x2 k ? k

1

(3) 设 n 成立,证 n ? 1 成立;
1 x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? x1 x2 ? xn ? n ,对每个 xi ? 0 , n x ? ? ? xn ?1 特别地取 xn ? 1 代入上式有 n ?1

即已知

左=

x1 ? ? ? xn ?1 ?

1 ? x1 ? ? ? xn ?1 ? x1 ? ? ? xn?1 ? ? ?1 ? ? ? n ? 1 ? ? x1 ? ? ? xn ?1 n ?1 ? n n n ?1
1 n

右=

? x1 ?? ? xn?1 ?

? x1 ? ? ? xn ?1 ? n ? ? n ?1 ? ? n

1

由于左≥右,所以
? x1 ? ? ? xn?1 ? ? ? n ?1 ? ?
1? 1 n

? ? x1 ?? ? xn?1 ?
n ?1

1 n

? x ? ? ? xn?1 ? ?? 1 ? n ?1 ? ?

n ?1 n

? ? x1 ? ? ? xn?1 ? n

1

? x ? ? ? xn?1 ? ?? 1 ? n ?1 ? ?

? x1 ?? ? xn?1 ?

1 x1 ? ? ? xn?1 ? ? x1 ? ? ? xn ?1 ? n?1 n ?1


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