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一元一次方程行程问题


实际问题与一元一次方程
----行程问题
相向运动(相遇问题) 同向运动(追及问题)

行程问题中的基本关系量有哪些? 它们有什么关系? 路程 速度
= =

速度 × 时间
路程 ÷ 速度

时间 =

路程

÷ 时间

/> 导入

相遇问题

想一想回答下面的问题: 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发,相向而行,两车会相遇吗? A


B


2、如果两车相遇,则相遇时两车所走的路程与A、 B两地的距离有什么关系?

相等关系:总量=各分量之和 相等关系:A车路程 + B车路程 =相距路程

一、相遇问题的基本题型 1、同时出发(两段) 2、不同时出发 (三段 ) 二、相遇问题的等量关系

s先 ? s甲 ? s乙 ? s总

s甲 ? s乙 ? s总

精讲

例题


线段图分析: A




例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每

50 x

30 x

B


小时行50千米,乙车每
小时行30千米。 (1)若两车同时相向

A车路程+B车路程=相距路程
若设B车行了x小时后与A车相遇, 显然A车相遇时也行了x小时。则A车 路程为 50千米;B车路程 x 为 30 x 千米。根据相等关系可列 出方程。

而行,请问B车行了多
长时间后与A车相遇?

精讲

例题





例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每

A车路程+B车路程=相距路程

A


50 x

30 x

B


小时行50千米,乙车每
小时行30千米。 (1)若两车同时相向

解:设B车行了x小时后与A车相遇,根 据题意列方程得 50x+30x=240 解得 x=3

而行,请问B车行了多
长时间后与A车相遇?

答:设B车行了3小时后与A车相遇。

精讲

例题


线段图分析: A
甲 第一种情况:



例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每

50 x
80千米

30 x B


小时行50千米,乙车每
小时行30千米。 (2)若两车同时相向

而行,请问B车行了多
长时间后两车相距80千 米?

A车路程+B车路程+相距80千米=

相距路程

相等关系:总量=各分量之和

精讲

例题


线段图分析: A




例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地,甲车每

50 x

30 x
80千米

B


小时行50千米,乙车每
小时行30千米。 (2)若两车同时相向

而行,请问B车行了多
长时间后两车相距80千 米?

第二种情况: A车路程+B车路程-相距80千米=

相距路程

变式

练习


线段图分析: A




1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。

B


(1)若两车相向而行,
请问B车行了多长时间 后与A车相遇?

相等关系:A车路程+A车同走的路程+

B车同走的路程=相距路程

变式

练习


线段图分析:



1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。

A


B


(2)若两车相向而行,
请问B车行了多长时间 后两车相距10千米?

A


B


练习 甲乙两人同时出发,相对而行, 距离是50km,甲每小时走 3km,乙每小时走2km,
问题1: 两人多少时间后能相遇?
等量关系:

s甲 ? s乙 ? s总

甲、乙两站的路程为360千米,一列 快车从乙站开出,每小时行驶72千 米;一列慢车从甲站开出,每小时 行驶48千米. 问: 快车先开90分钟,两车相向而行, 慢车行驶了多少小时两车相遇?

快 车 乙 站
72×1.5

相遇点
72x 360 48x

慢 车 甲 站

s 快车 慢车
等量关系:

v
72

t
1.5+X

72(1.5+X)

48X

48

X

S快先+ S 快后+ S慢= S总

解:设慢车行驶x小时两车相遇,得 72x1.5+72x+48x=369 解这个方程,得 120x+108=360 120x=252 X=2.1 答:快车先开90分钟,两车相向而行, 慢车行驶了2.1小时两车相遇

由例1的条件引出以下问题: 若快车上午9点30分出发,慢 车上午11点出发,问几点钟两 车相遇?(只列方程不解)
注意:单位要统一!

等量关系:

S快先+ S 快后+ S慢= S总

追及问题
想一想回答下面的问题: 3、如果两车同地同向而行,B车先出发a小时,在 什么情况下两车能相遇?为什么?如果A车能追上B车, 你能画出线段图吗? A车速度〉乙车速度 B


A 相等关系:



B车先行路程 + B车后行路程 =A车路程




学校



追 及 地
甲走的路程=乙走的路程

等量关系:

问题:追击问题的等量关系是什 么?

归纳:

S甲 = S 乙

例3 甲、乙两名同学练习百米赛跑,

甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,如果
甲让乙先跑1秒,那么甲经过几秒可 以追上乙?
分析:

设x秒后甲可以追上乙,通过如 下示意图可得:


甲x秒所走的路程
起 点 B

7x米 乙x秒所走的路程 6.5x米

相 遇 点

6.5米


等量关系:

甲走的路程=乙走的路程

解:设甲经过x秒可以追上乙,根 据题意得: 7x = 6.5+ 6.5x 解这个方程,得 x=13 答:甲经过13秒可以追上乙.

精讲

例题





例2、小明每天早 上要在7:50之前赶到距 离家1000米的学校上学, 家 一天,小明以80米/分 的速度出发,5分后, 小明的爸爸发现他忘了 带语文书,于是,爸爸 立即以180米/分的速度 去追小明,并且在途中 追上他。 (1)爸爸追上小明用 了多少时间? (2)追上小明时,距 相等关系: 离学校还有多远?

学 校

400米

80x米

180x米

追 及 地

小明先行路程 + 小明后行路程 =爸爸的路程

精讲

例题






例2、小明每天早 上要在7:50之前赶到距 离家1000米的学校上学, 400米 80x米 一天,小明以80米/分 追 的速度出发,5分后, 小明的爸爸发现他忘了 及 180x米 带语文书,于是,爸爸 地 立即以180米/分的速度 去追小明,并且在途中 (1)解:设爸爸要 x分钟才追上小明, 追上他。 依题意得: (1)爸爸追上小明用 180x = 80x + 5×80 了多少时间? (2)追上小明时,距 解得 x=4 离学校还有多远? 答:爸爸追上小明用了4分钟。

学 校

变式

练习


线段图分析:



2、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地,A车每小 时行50千米,B车每小 时行30千米,A车出发 1.5小时后B车再出发。 若两车同向而行(B 车在A车前面),请问B 车行了多长时间后被A 车追上? 相等关系:

A 50×1.5

115

B 50x
乙 30x

A车先行路程 + A车后行路程 - B车路程 = 115

问题2: 一只小狗每小时走5km,它同甲 一起出发,碰到乙时它又往甲这边走, 当碰到甲时它又往乙这边走,问小狗在 甲乙相遇时一共跑了多少千米?
分析:

小狗走的路程=小狗的速度x小狗走的时间
小狗走的时间=甲乙相遇前走的时间

问题3: 如果甲、乙、小狗都从同一 点出发,同向而行,速度皆不变, 乙和小狗先出发3小时,甲再出发追 赶乙,当甲追上乙时,小狗跑了多 少米?
分析:
小狗走的路程=小狗的速度x小狗走的时间 小狗走的时间= 3小时+甲追上乙的时间 等量关系 S乙先行的+ S乙后行的= S甲行的

课外练习

问题4: 如果甲、乙、小狗都从同 一点出发,同向而行,甲先出发 5小时,乙和小狗再一起出发, 当小狗追上甲时,甲走了多少米? 乙还能追上甲吗?为什么?

环形追击和相遇




叔叔 小王

3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 (1)反向 习跑步,小王每秒跑5米, 叔叔每秒跑7.5米。
(1)若两人同时同地反 向出发,多长时间两人

首次相遇?
(2)若两人同时同地同 向出发,多长时间两人 首次相遇?

相等关系:
小王路程 + 叔叔路程 = 400

变式

练习




叔叔 小王

3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 (2)同向 习跑步,小王每秒跑4米, 叔叔每秒跑7.5米。
(1)若两人同时同地反 向出发,多长时间两人

首次相遇?
(2)若两人同时同地同 向出发,多长时间两人 首次相遇?

相等关系:
小王路程 + 400 = 叔叔路程

甲、乙两人各自以一定的速度在周长是500米的 环形跑道上跑步,甲的速度是每秒4米。甲、乙两 人同时从同一地点出发,反向跑步,50秒后两人 第一次相遇。(1)乙的速度是多少?(2)两人 如果同时从同一地点出发,朝同一方向跑步,跑 得快的跑多少圈后追上跑得慢的那个人?

顺水逆水问题
?

一艘轮船在两码头之间航行,如果顺水航行 需10小时,逆水航行需14小时。已知水速为 每小时4千米,那么这艘轮船的速度是多少? 两码头间的距离是多少千米?

过桥过隧道问题
?

一列货车要通过一条1800米长的大桥。已知 从货车车头上桥到车尾离开桥共用120秒,货 车完全在桥上的时间为80秒。这列货车长多 少米?

用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程如 下:

实际问题

列方程

数学问题
(一元一次方程) 解 方 程

实际问题 的答案

数学问题的解
检验 (x=a)

归纳:
在列一元一次方程解行程问题时,我们 常画出线段图来分析数量关系。用线段图 来分析数量关系能够帮助我们更好的理解 题意,找到适合题意的等量关系式,设出 适合的未知数,列出方程。正确地作出线段 图分析数量关系,能使我们分析问题和解 问题的能力得到提高。

小结:这节课我们复习了行程问题中的相遇和追及问
题,归纳如下:
相遇
A车路程 B车路程

相等关系:A车路程+B车路程=相距路程
A车先行路程 A车后行路程

追击
B车追击路程

相等关系:

B车路程=A车先路程+A车后行路程

小结:
1.相遇问题列方程依据的等量关系:
两者所走的距离和等于全路程; 两者同时出发到相遇走的时间相等;

2.追击问题列方程依据的等量关系:
两者走的路程相等; 两者同时出发到相遇走的时间相等;

3.行程问题一般利用直线型示意 图表示各数量之间的关系. 4.要注意出发的时间,同时时 间单位要注意统一,用“时” 或“分”均可,但答案要与所 问的一致.


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