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上海市华师大二附中2014届高三数学综合练习试题6苏教版


上海市华师大二附中高三综合练习 高三年级数学[6]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 1、已知集合 A={x|y=lg(x–3)},B={x|y= 5 ? x },则 A∩B= 2、定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,则 f(0)的值为 。 3、设函数 f(x)=lgx,则它的反函数 f –1(x)= 。 4、函数 y=sinxcosx 的最小正周期 T= 。

5、若复数 z1=3–i,z2=7+2i,(i 为虚数单位),则|z2–z1|= 。 6、Δ ABC 中,若∠B=30o,AB=2 3 ,AC= 3 ,则 BC= 。 。

8 7、无穷等比数列{an}满足:a1=2,并且 n ?? (a1+a2+…+an)= 3 ,则公比 q=
lim
a ?1 2 8、关于 x 的方程 2x= ? a 只有正实数的解,则 a 的取值范围是

。 。

9、如果直线 y = x+a 与圆 x2+y2=1 有公共点,则实数 a 的取值范围是

。 10、袋中有相同的小球 15 只,其中 9 只涂白色,其余 6 个涂红色,从袋内任取 2 只球,则 取出的 2 球恰好是一白一红的概率是 。 11、函数 f
n2 ? a (n) = n ( n ? N*)为增函数,则 a 的范围为


? a+b ? f? ?, ? 1+ab ?

12.设函数 函数为

f ?x?

f ?a ? ? f ?b? ? 的定义域是 D, 任意的a, b ? D ,有

f ?x?

的反

H ?x?

,已知

H ?a ? , H ?b?

,则

H ?a ? b?

=_____ ______。 (用

H ?a ? , H ?b?

表示) ;

二、选择题 (本大题满分 16 分) 13.已知数列{an}的通项公式是 an=2n–49 (n?N),那么数列{an}的前 n 项和 Sn 达到最小 值时的 n 的值是 ( ) (A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26

a b c ? ? 14.在△ ABC 中,若 cos A cos B cos C ,则 ?ABC 是(
(A) 直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 钝角三角形

) (D) 等腰直角三角形

? 5? [? , ] 15.设 x=sin?,且?? 6 6 ,则 arccosx 的取值范围是 (

)

(A) [0, ?]

? 2? (B) [ 3 , 3 ]

2? (C) [0, 3 ]

2? (D) [ 3 ,?]
)

16. 设非零实常数 a、 b、 c 满足 a、 b 同号, b、 c 异号, 则关于 x 的方程 a .4x+b.2x+c=0( (A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根

1

三.解答题(本大题满分 86 分) 17.(本题满分 12 分) 某中学, 由于不断深化教育改革, 办学质量逐年提高。 2006 年至 2009 年高考考入一流大学人数如下: 年 份 2006 116 2007 172 2008 220 2009 260 高考上线人数

以年份为横坐标,当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系,由 所给数据描点作图 (如图所示) , 从图中可清楚地看到这些点基本上 分布在一条直线附近,因此,用一次函数 y ? ax ? b 来模拟高考上

人数 30 250 0 20 15 0 10 0 5 0 0 1 2 3 4 (200 (200 (200 (200 6) 7) 8) 9)

年份

线人数与年份的函数关系,并以此来预测 2010 年高考一本上线人数.如下表: 年 份 2006 1 116
y1 ? a ? b

2007 2 172
y 2 ? 2a ? b

2008 3 220
y3 ? 3a ? b

2009 4 260
y 4 ? 4a ? b

年份代码 x 实际上线人数 模拟上线人数

为使模拟更逼近原始数据,用下列方法来确定模拟函数。 设

S ? y1 ? y1/

?

? ? ?y
2

2

/ ? y2

? ? ?y
2

3

? y 3/

? ? ?y
2

4

/ ? y4

? ,y
2

/ 1

、 y2 、

/

y 3/

、 y 4 表示各年实际上线

/

人数, y1 、 y 2 、

y3

、 y 4 表示模拟上线人数,当 S 最小时,模拟函数最为理想。试根据所

给数据,预测 2010 年高考上线人数。

18.(本题满分 12 分)

z ? ( z ? z )i ?
在复数范围内解方程

2

3?i 2 ? i (i 为虚数单位)

2

19.(本题满分 14 分) 已知不等式 x2–3x+t<0 的解集为{x|1<x<m, m?R} (1)求 t, m 的值; (2)若 f(x)= –x2+ax+4 在(–∞,1)上递增,求不等式 log a (–mx2+3x+2–t)<0 的解集。

20.(本题满分 14 分) 某企业准备在 2006 年对员工增加奖金 200 元,其中有 120 元是基本奖金。预计在今后的若 干年内,该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长 8%。另外,每年新增加的奖金中,基 本奖金均比上一年增加 30 元。那么,到哪一年底, (1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以 2006 年为累计的第一年)将首次不少于 750 元?

3

(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85%?

21.(本题满分 16 分) 已知 Sn 是正数数列{an}的前 n 项和,S12,S22、……、Sn2 ……,是以 3 为首项,以 1 为 公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为 120,第二项与第四项之和为 90。 (1)求 an、bn;

1 1 b S2 (2)从数列{ n }中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于 6 。若能的话,请写
出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由。

22.(本题满分 18 分)

x 函数 f(x)= ax ? b (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。

4

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6] 参考答案

1、{x|3<x≤5} 2、0

3、y=10x, x?R

4、?

5、5

6、3

1 7、 4

1 8、 2 <a<2

9、– 2 ≤a≤ 2 13、B 14、B 15、C

18 10、 35
16、D

H ? a+b ? ?
11、2 12、

1? H ?a ? ? H ?b?

H ?a ? ? H ?b?

2 2 2 2 17、解: S ? ?a ? b ? 116? ? ?2a ? b ? 172? ? ?3a ? b ? 220? ? ?4a ? b ? 260?

? 4b 2 ? 2?10a ? 768?b ? ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2



b?

2?768 ? 10a ? 8

即 5a ? 2b ? 384

① 时 ,S 有最小值,其中最小值为:
2

M=

?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2 ? ?10a ? 768?
4

? 30a 2 ? 2 ? 2160a ? 1162 ? 1722 ? 2202 ? 2602 ? 25a 2 ? 3840a ? 3842

? 5a 2 ? 480a ? 11584

当且仅当 a ? 48 时,M 有最小值。∴ a ? 48 代入①得 b ? 72 。∴ y5 ? 5 ? 48 ? 72 ? 312 。 18 、 原 方 程 化 简 为

z ? ( z ? z )i ? 1 ? i

2

, 设 z=x+yi(x 、 y∈R), 代 入 上 述 方 程 得

3 1 x2+y2+2xi=1–i,所以 x2+y2=1 且 2x = –1,解得 x= – 2 ,y= ± 2 , 所以原方程的解 3 1 是 z= – 2 ± 2 i。
?1 ? m ? 3 ? ?1 ? m ? t ?m ? 2 ? ?t ? 2

19、(1) 由条件得:

,所以



5

a2 a a (2) 因 为 f(x)= –(x– 2 )2+4+ 4 在 (– ∞ ,1) 上 递 增 , 所 以 2 ≥ 1 , a ≥ 2 , log a
2 ? ?2 x ? 3 x ? 0 ? 2 ? ?2 x ? 3 x ? 1 ? 0

(–mx2+3x+2–t)= log a (–2x2+3x)<0=log a 1 , 所 以

,所以

3 ? ?0 ? x ? 2 ? ? 1 3 ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ,所以 0<x< 2 或 1<x< 2 。 ? 20、(1)设基本奖金形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,(或 a1=120,,d=30,或 an

1 =120+30 (n–1)), Sn=a1n+ 2 n(n–1)d ,则 Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n),
令 15n2+105n≥750,即 n2+7n–50≥0,而 n 是正整数, ∴n≥5。到 2010 年底该企业历年所 增加的工资中基本工资累计将首次不少于 750 元。6 分 (2)设新增加的奖金形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,(或 b1=200,q=1.08,或 bn=bn–1q) , 则 bn=200· (1.08)n–1 , 由 题 意 可 知 an>0.85 bn , 有 120+30 (n–1)>200· (1.08)n–1·0.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=5,到 2010 年底,当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85% 。 21、(1){Sn}是以 3 为首项,以 1 为公差的等差数列;所以 Sn2=3+(n–1)=n+2 因为 an>0 ,所以 Sn= n ? 2 (n?N) ,当 n ≥ 2 时, an=Sn–Sn–1= n ? 2 – n ? 1 ,又

? n ?1 ? 3 ? ? n ? 2 ? n ?1 n ? 1 a1=S1= 3 ,所以 an= ? (n?N) ,设{bn}的首项为 b1,公比为 q,则
3 ? ?b1 q ? b1 q ? 90 ? 2 ? ?b1 ? b1 q ? 30



,所以

?b1 ? 3 ? ?q ? 3

,所以 bn=3n(n?N),

1 1 1 1 b (2) n =( 3 )n,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为 c1=( 3 )p,公比为( 3 )k,(p、

1 ( )p 1 3 ? 1 1 1 k 8 1 1 1 1? ( ) 2 S 3 k?N), 它的各项和等于 6 = 8 ,则有 ,所以( 3 )p= 8 [1–( 3 )k], 当 p≥k
时 3p–3p–k=8,即 3p–k(3k–1)=8, 因为 p、k?N,所以只有 p–k=0,k=2 时,即 p=k=2

1 S2 时,数列{cn}的各项和为 6 。当 p<k 时,3k–1=8.3k–p,因为 k>p 右边含有 3 的因数,

1 1 而左边非 3 的倍数,不存在 p、k?N,所以唯一存在等比数列{cn},首项为 9 ,公比为 9 ,

6

1 S2 使它的各项和等于 6 。

x 22、(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 ax ? b =x 的解, 1 所以 ax ? b =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 1 b=1,所以 a= 2 。 2x (2)f(x)= x ? 2 ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,

2m 取 x=0 , 则 f(0)+f(m–0)=4 , 即 m ? 2 =4 , m= –4( 必 要 性 ) , 又 m= –4 时 , 2x 2(?4 ? x) ? f(x)+f(–4–x)= x ? 2 ? 4 ? x ? 2 =……=4 成立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得
对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立,

x?2 (3)|AP|2=(x+3)2+( x ? 2 )2,设 x+2=t,t≠0,


t?4 8 16 16 4 4 4 2 2 |AP|2=(t+1)2+( t )2=t2+2t+2– t + t =(t2+ t )+2(t– t )+2=(t– t )2+2(t– t )+1
0

4 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 2 =( t– t +1)2+9, 所以当 t– t +1=0 时即 t= 2 ,也就是 x= 时,|AP| min =
3 。

7


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