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高考解析几何


双曲线专题复习讲义
★知识梳理★
1. 双曲线的定义 (1)第一定义:当 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 2a ?| F 1F 2 | 时, P 的轨迹为双曲线; 当 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 2a ?| F 1F 2 | 时, P 的轨迹不存在; 当 | PF1 ? PF 2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为以

F1、F2 为端点的两条射线 (2)双曲线的第二义 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e ? 1 )的点的轨迹为双曲线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线

2c

| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a ), (0, a )
c ? (1, ?? ) a

e?

渐近线

a2 x?? c b y?? x a

a2 y?? c a y?? x b

x2 y2 x2 y2 与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程为: 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b a b
与双曲线

y 2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 共轭的双曲线为 a2 b2 b2 a 2

等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 的渐近线方程为 y ? ? x ,离心率为 e ? 2 .;

★重难点突破★
1.注意定义中“陷阱” 问题 1:已知 F 1 , F2 距离之差为 6,则双曲线的方程为 1 (?5,0), F 2 (5,0) ,一曲线上的动点 P 到 F 点拨:一要注意是否满足 2a ?| F1F2 | ,二要注意是一支还是两支

x2 y 2 ? 1( x ? 0) | PF1 | ? | PF2 |? 6 ? 10 P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为 ? , 9 16
2.注意焦点的位置 问题 2:双曲线的渐近线为 y ? ?

3 x ,则离心率为 2

点拨:当焦点在 x 轴上时,

b 3 a 3 13 13 ? ,e ? ;当焦点在 y 轴上时, ? , e ? a 2 b 2 2 3

★热点考点题型探析★
考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1:运用双曲线的定义 [例 1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正 东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位 置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的. [解析]如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、 东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线
y

x2 y2 ? ? 1 上, a2 b2
C

依题意得 a=680, c=1020,

P
O

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402
用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

A

B

x

? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△ PF1F2 的面积为 12
B.12 C. 12 3 ① D.24

( A. 6 3



解析: a ? 1, b ? 12, c ? 13,由| PF 1 |:| PF 2 |? 3 : 2 又 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 2, ② 由① 、② 解得 | PF1 |? 6, | PF2 |? 4.

? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ? 52, | F1 F2 |2 ? 52,

? PF1 F2为 直角三角形,
? S ?PF1F2 ? 1 1 | PF1 | ? | PF2 |? ? 6 ? 4 ? 12. 故选 B。 2 2

2.如图 2 所示, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,
则P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是( ) A.9 B.16 C.18 D.27

[解析] P 1F ? P 6F ? P 2F ? P 5F ? P 3F ? P 4 F ? 6 ,选 C

3. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则 ?PF1 F2 的内 a 2 b2

切圆的圆心的横坐标为( ) ( A) ? a (B) ? b (C) ? c (D) a ? b ? c

[解析]设 ?PF 1 F2 的内切圆的圆心的横坐标为 x 0 , 由圆的切线性质知, PF2 ? PF 1 ?| c ? x0 | ? | x0 ? (?c) |? 2a ? x0 ? ?a 题型 2 求双曲线的标准方程

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 的方程. 16 4 【解题思路】运用方程思想,列关于 a, b, c 的方程组
[例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 [解析] 解法一:设双曲线方程为

y2 x2 - =1.由题意易求 c=2 5 . a2 b2

又双曲线过点(3 2 ,2) ,∴

(3 2 ) 2 4 - 2 =1. 2 a b
2

又∵a +b =(2 5 ) ,∴a =12,b =8.

2

2

2

2

y2 x2 - =1. 12 8 y2 x2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16 ? k 4?k
故所求双曲线的方程为

y2 x2 - =1. 12 8 【名师指引】求双曲线的方程,关键是求 a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e 及准线)之间的关系,
将点(3 2 ,2)代入得 k=4,所以双曲线方程为 并注意方程思想的应用. 【新题导练】 4.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程为 [解析]设双曲线方程为 x ? 4 y ? ? ,
2 2

x 2



当 ? ? 0 时,化为

x2

?

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10? ? ? 20 , 4

4

当 ? ? 0 时,化为

y2 ?

?
4

?

y2 5? ? 1 ,? 2 ? ? 10? ? ? ?20 , ?? 4

综上,双曲线方程为

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5
4? ? (2 3 ) 2 ? ? ? 9 ,双曲 3

5.以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ,设双曲线方程为 x 2 ? 3 y 2 ? ? ,?

线方程为

x2 y 2 ? ?1 9 3

6.已知点 M (?3, 0) ,N (3, 0) ,B(1, 0) , 动圆 C 与直线 MN 切于点 B , 过 M 、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P , 则 P 点的轨迹方程为

y2 ? 1 ( x ? ?1) A. x ? 8
2

y2 ? 1 ( x ? 1) B. x ? 8
2

C. x ?
2

y2 ? 1 (x > 0 ) 8

D. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 10

[解析] PM ? PN ? BM ? BN ? 2 , P 点的轨迹是以 M 、 N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支,选 B 考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 求离心率或离心率的范围 [ 例 3] 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a 2 b2


| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决

[解析](方法 1)由定义知 | PF1 | ? | PF2 |? 2a , 又已知 | PF 解得 PF1 ? 1 |? 4 | PF 2 |,

8 2 a ,PF2 ? a , 在 ?PF1 F2 3 3

64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 9 中,由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ? ? ? e 2 ,要求 e 的最大值,即求 cos?F1PF2 的最小值, 8 2 8 8 2? a? a 3 3 5 5 当 cos?F1 PF2 ? ?1时,解得 e ? .即 e 的最大值为 . 3 3

| PF 2a ? | PF2 | 2a 2a 1| ? ?1? ?1? , | PF2 | | PF2 | | PF2 | c?a 2a 5 ? 4,? e ? 双曲线上存在一点 P 使 | PF 1 |? 4 | PF 2 | ,等价于 1 ? c?a 3 (方法 3)设 P ( x, y ) ,由焦半径公式得 PF 1 ? 4 PF 2 ,∴ 1 ? ex ? a, PF 2 ? ex ? a ,∵ PF 5 5a 5 (ex ? a) ? 4(ex ? a) ,∴ e ? ,∵ x ? a ,∴ e ? ,∴ e 的最大值为 . 3 3x 3
(方法 2) ? 【名师指引】 (1)解法 1 用余弦定理转化,解法 2 用定义转化,解法 3 用焦半径转化; (2)点 P 在变化过程中,

| PF 1| 的范围变化值得探究; | PF2 |

(3)运用不等式知识转化为 a, b, c 的齐次式是关键

【新题导练】

7.已知双曲线

4 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲线的离心率 e 为 3 m n



[解析]当 m ? 0, n ? 0 时, 或

5 m 9 m ? n 25 m 16 m ? n 25 2 2 ? ? ? ,e ? ,当 m ? 0, n ? 0 时, ? ,e ? ,?e ? m 9 n 9 n 16 3 n 16

5 4

8. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为 A、 a2 b2

B 两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率 e 是( ) A. 5 ? 1 B.2 C. 5 ? 1 或 2 D.不存在

2

2

[解析]设双曲线的左准线与 x 轴交于点 D,则 AD ? 题型 2 与渐近线有关的问题

ab ab a2 a2 ? 3? , ED ? a ? ,? a ? ,? e ? 2 c c c c

x2 y2 [例 4]若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( ) a b
A. 2 B. 3 C. 5 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素,沟通 a, b, c 的关系
2

D. 2

c2 b2 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长,故 b ? 2a , e ? 2 ? 1 ? 2 ? 5 ,所以 e ? 5 a a
【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过 a, b, c 的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 【新题导练】

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 2 4 A. y ? ? x B. y ? ? x 3 9 [解析]选 C
9. 双曲线 10.焦点为(0,6) ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24

(
3 C. y ? ? x 2

)
9 D. y ? ? x 4

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2

( )

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B 基础巩固训练

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的方程是 1. 以椭圆 169 144 9 16
(A) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2

(B) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0
2 2 2 2

(C) x ? y ? 10x ? 9 ? 0
2 2

(D) x ? y ? 10 x ? 9 ? 0

[解析]椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为 b,选 A

2.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 , 0) 、 F2 ( 10 , 0) , M 是此双曲线上的一点,且满足 MF1 ? MF2 ? 0 ,

| MF1 | ? | MF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是 (
A.


2

x ? y2 ? 1 9

2

B. x 2 ?

y ?1 9
2

2

C.

x y ? ?1 3 7
2

2

D.

x2 y 2 ? ?1 7 3

[解析]由 | MF1 | ? | MF2 |? 2 和 PF 1 ? PF 2 ? 40 得 | PF1 ? PF 2 |? 6 ,选 A 3.两个正数 a、b 的等差中项是 A.

5 41 B. 3 4 [解析] a ? 5, b ? 4 ? c ? 41,选 D 4.设 e1 , e 2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共点,且满足

9 x2 y2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为( a b 2 5 41 C. D. 4 5

)

PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则
A.

2 e12 ? e2 的值为( C (e1e2 ) 2

)

1 2

B.1

C.2

D.不确定

[解析] C. 设 | PF | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a , | PF 1 | ? | PF 2 |? 2m ,? 1 |? a ? m , | PF 2 |? a ? m ,

(a ? m)2 ? (a ? m)2 ? 4c2 ? a 2 ? m2 ? 2c 2 ?
5.已知 F1,F2 分别是双曲线 (A). (1 ? 2 ,??)
2

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, a2 b2
(C). (1, 3) (D). ( 3,2 2 )

B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( ) (B). (1,1 ? 2 )

b [解析] a ? 1 ? c 2 ? a 2 ? 2ac ? e2 ? 2e ? 1 ? 0 ? e ? 1 ? 2 ,选 B 2c
x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的 6.曲线 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
A.焦距相等 [解析] 方程 B.焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对 ( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 的曲线为焦点在 x 轴的椭圆, ? ? 1(5 ? n ? 9) 的曲线为焦 方程 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n

点在 y 轴的双曲线,? (10 ? m) ? (6 ? m) ? (9 ? n) ? (n ? 5) ,故选 A 综合提高训练

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点, 和双曲线 (1)求双曲线的渐近线方程(2)直线 l 过焦 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2 3 点且垂直于 x 轴,若直线 l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 ,求双曲线的方程 4
7. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,故双曲线的渐 [解析](1)依题意,有 3m ? 5n ? 2m ? 3n ,即 m ? 8n ,即双曲线方程为 16n 2 3n 2
2 2 2 2 2 2

近线方程是

x2 y2 3 ? ? 0 ,即 y ? ? x, . 2 2 16n 3n 4

(2)设渐近线 y ? ?

3 3c 1 3c 3 x 与直线 l : x ? c 交于 A、B,则 | AB |? ? ,解得 c ? 1 即 , S ?OAB ? c ? 4 2 2 2 4

16 2 3 b 3 2 ,b ? ,? a ? ? 19 19 a 4 2 2 19x 19 y ? ?1 双曲线的方程为 16 3

a 2 ? b 2 ? 1,又

x2 y2 8 8.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点,点 P?x, y ? 是双曲线右支上的一个动点,且 PF 1 的最小值为 , a b
双曲线的一条渐近线方程为 y ?

4 x . 求双曲线的方程; 3

[解析]? PF1 ? ex ? a ? ea ? a ? a ? c,当且仅当 x ? a时取等号,
? PF c ? a.?c ? a ? 8 ① . ? 双曲线 1 的最小值为

4 b 4 x2 y2 ? 2 ?1 的一条渐进线方程为 y ? x ? ? 2 3 a 3 a b

②,又

? c2 ? a2 ? b2 ③
2 x2 由①②③得 a ? 3, b ? 4, c ? 5, 所以所求双曲线方程为 ? y ? 1 9 16

9.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程

?

3, 0 .

?

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值 范围

x2 y 2 解(1)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b
由已知得 a ? 3, c ? 2 ,再由 a ? b ? 2 ,得 b ? 1
2 2 2
2

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

(2)将 y ? kx ? 2 代入

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? 6 2k ? ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

2 即k ?

1 2 且 k ?1. 3



设 A ? xA , yA ? , B( xA , yB ), ,则

x A ? yB ?

6 2 ?9 , x A yB ? ,由 OA ? OB ? 2 得 xA xB ? yA yB ? 2 , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

?9 6 2k 3k 2 ? 7 . ? (k ? 1) ? 22k ?2? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1
2

于是

1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 ? 2 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ,即 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 ? k2 ?1 3



由①+②得

故的取值范围为 ( ?1, ? 参考例题: 已知双曲线 C:

3 ) 3

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线 C 上的一点, PF 1 ? PF 2 ? 0 ,且 a2 b2

PF1 ? 2 PF2 .
(1)求双曲线的离心率 e ; (2)过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P 1 ? OP 2 ? ? 1 , P2 两点,若 OP C 的方程. (1)设 PF2 ? r ,则 PF 1 ? 2r ,∵PF 1 ? PF 2 ,∴ F1 F2 ?

27 , 2PP 1 ? PP 2 ? 0 ,求双曲线 4

PF1 ? PF2

2

2

? 5r,

F1 F2 ∴e ? c ? 2c ? ? 5. a 2a PF ? PF 1 2
(2)由(1)知 e ?

5 ,故

b ? e 2 ? 1 ? 2 ,从而双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x , a

依题意,可设 P( x, y), P 1 ( x1 ,2 x1 ), P 2 ( x2 ,?2 x2 ) , 由 OP1 ? OP2 ? x1 x 2 ? 4 x1 x 2 ? ?

9 27 ,得 x1 x2 ? . ① 4 4

2x ? x ? x? 1 2 ? ?2 x1 ? x2 ? 3x ? 0 ? 3 由 2PP ,解得 ? . 1 ? PP 2 ? 0 ,得 ? 4 x ? 2 x 4 x ? 2 x ? 3 y ? 0 1 2 ? 1 2 ?y ? ? 3 ?
∵ 点 P ( x, y ) 在双曲线

(2 x1 ? x2 ) 2 (4 x1 ? 2 x2 ) 2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1, 上,∴ a2 b2 9a 2 9b 2
9 2 a . 8


又 b ? 2a ,上式化简得 x1 x 2 ? 由① ② ,得 a ?

2 ,从而得 b ? 2 2 .故双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 8


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