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高三导数练习题答案


参考答案 1.D

∵ 原式 ? x ? sin x

? ( ? sin ) ? [? ? sin(? )] ? ? ? 2 .故选 D. x 2 2 2 2 ? 2

x 2

?

?

?

?

2.A 试题分析

: x 的范围为 [ , 2] .所以 S ? 3.B 试题分析:由于 f ?( x) ? 2 x ln 2 ? 3x 2 ? 0 在区间 (0,1) 内恒成立,所以函数

1 2

?

2

1 2

1 1 dx ? ln 2 ? ln ? 2ln 2 ,选 A. x 2

f (x)=2 x +x3 ? 2 在区间 (0,1) 内是增函数,再由 f (0) ? ?1 ? 0, f (1) ? 1 ? 0 知函数
f (x)=2x +x3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点有且只有一个,故选B.
4.A 试题分析: f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 单调递增,且为奇函 数.由 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4x ? 1) ? 0 得 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f (? x2 ? 4x ? 1) 即:

?y ?1 表示的 y 2 ? 2 y ? 3 ? ? x2 ? 4x ? 1 ? ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1.作出 ? 2 2 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ?
区域如图所示:
y 2 1 P –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 3 4 D E x

k PE ?

| 2k ? 1 ? k | 1 3 ? 1 得 k1 ? , k2 ? 0 .结合图形可知, .设 PD : y ? k ( x ? 1) ,由 4 4 –2 k2 ?1 1 3 1 y 3 ? k–3 ? 即 ? ? .选 A. 4 4 4 x ?1 4

5.(–4 1) y ? ? x ? 2 ;(2)① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值;

答案第 1 页,总 10 页

② 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增,

f极小 ? f (a) ? a ? a ln a , 无极大值.
试题解析:(1) a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2ln x , f ?( x) ? 1 ?

2 , ∴ k ? f ?(1) ? ?1 , x

又 f (1) ? 1 ,故切线方程为: y ? 1 ? ?1( x ? 1) 即 y ? ? x ? 2 . (2)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 f ?( x) ? 1 ?

a ?0? x?a x

① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值; ② 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增,

f极小 ? f (a) ? a ? a ln a , 无极大值.
1 1 1 1 , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) ; a ? ?2 a 2 a 2 1 1 (0, +?) 时, f ( x) 在 单减; a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 2 a 1 1 (0, ) ( , ? , +?) ;(2)( ? ? ,1). 2 a
6.( 1 ) a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( ? 试题解析:(1) f ?( x) ? 2ax ? (2 ? a) ? 当? 当? 当?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) ? = x x x

1 1 1 1 1 1 ? ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( ? , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) a 2 a 2 a 2
1 1 (0, +?) = ? a = ? 2 时, f ( x) 在 单减 a 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 0 ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 (0, ) ( , ? , +?) ; a 2 2 a 2 a

(2)对 ?b ?[?2, ?1] 都 ?x ? (1, e) ax 2 ? bx ? ln x ? 0 成立,即 ax 2 ? x ? ln x ? 0 在 (1, e) ln x ? x ln x ? x ln x ? x ) max 令 g ( x ) ? 内有解,即 a ? 在 (1, e) 内有解,即 a ? ( ,则 2 2 x2 x x
g ?( x) ? ? x( x ? 1 ? 2 ln x) x4

x ? (1, e)

? g ?( x) ? 0

? a ? g(1) ? 1

7.(1) a ?

3 , b ? ?6 ;(2) c ? 4 . 2

试题解析:(1)由题设知, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的两根为 x ? 1 或 x ? ?2 ,
答案第 2 页,总 10 页

a?

3 , b ? ?6 。 2

(2)当 x ? ?? 3,2? 时,由(1)得 f ( x)min ? min ? f (?3), f (1)? ,即 f ( x) min ? ?

7 ?c . 2

f ( x) min ? ?

7 4 1 ?c ? ? 2 c 2
12 分

10 分

c?4

8.(1) a ? 1, b ? 1 ;(2)增函数;(3) ? 4, ??? . 解:(1)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c ,由 f ? ? x ? 为偶函数,知

f ? ? ?x ? ? f ? ? x ? ,
即 2 ? a ? b ? e 2 x ? e ?2 x ? 0 ,因 e2 x ? e?2 x ? 0 ,所以 a ? b 又 f ? ? 0? ? 2a ? 2b ? c ,故 a ? 1, b ? 1 . (2)当 c ? 3 时, f ? x ? ? e2 x ? e?2 x ? 3x ,那么

?

?

f ? ? x ? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 2 2e2 x ? e?2 x ? 3 ? 1 ? 0
故 f ( x ) 在 R 上为增函数. (3)由(1)知 f ? ? x ? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ,而 2e2 x ? 2e?2 x ? 2 2e2 x ? e?2 x ? 4 ,当 x ? 0 时等号成立. 下面分三种情况进行讨论. 当 c ? 4 时,对任意 x ? R, f ? ? x ? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值; 当 c ? 4 时,对任意 x ? 0, f ? ? x ? ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 4 ? 0 ,此时 f ? x ? 无极值; 当 c ? 4 时,令 e2 x ? t ,注意到方程 2t ? 即 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1 ?

c ? c 2 ? 16 2 ? c ? 0 有两根, t1,2 ? ? 0, t 4

1 1 ln t1 或 x2 ? ln t2 . 2 2

当 x1 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ;又当 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 从而 f ? x ? 在 x ? x2 处取得极 小值. 综上,若 f ? x ? 有极值,则 c 的取值范围为 ? 4, ??? .
答案第 3 页,总 10 页

9.(1) a ?

f ?5? ? ? ln5

5 ;(2)单调递增区间 ?5, ??? ,单调递减区间 ? 0,5? , f ? x ?极小 = 4

1 a 1 ? ? ,由 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处切线垂直于直 4 x2 x 1 3 5 线 y ? x 知 f ? ? x ? ? ? ? a ? ?2, 解得 a ? ; 2 4 4
解:(1)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? (2)由(1)知 f ( x) ?

1 5 1 x2 ? 4 x ? 5 x 5 3 ? ? ln x ? ,则 f ? ? x ? ? ? 2 ? ? , 4 4x 2 4 4x x 4x2

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 5 .因 x ? ?1 不在 f ? x ? 的定义域 ? 0, ??? 内,故舍去. 当 x ? ? 0,5? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数; 当 x ? ?5, ??? 时, f ? ? x ? ? 0, 故 f ? x ? 在 ?5, ??? 内为增函数; 由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ?5? ? ? ln5 . 10.(1) g ? x ? 在 (?? ,0) 上单减,在 (0,?? ) 上单增;(2) (?? ,0) . 试题解析:(1) g ( x) ? xe x ? x ? g ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 1 , 显然当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ?(0) ? 0 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,
? g ( x) 在 (?? ,0) 上单减,在 (0,?? ) 上单增;

2分

6分

(2) f ?( x) ? ( x 2 ? (2 ? a) x)e x ? 2 x ? x[(x ? 2 ? a)e x ? 2] ,

f ? x? x ? 0 ? ? 显然 f (0) ? 0 ,要使得函数 在 处取得极小值,需使 f ( x ) 在 x ? 0 左侧为
x x 负,右侧为正.令 h( x) ? ( x ? 2 ? a)e ? 2 ,则只需 h( x) ? ( x ? 2 ? a)e ? 2 在 x ? 0 左、

右两侧均为正即可 亦即只需 h(0) ? 0 ,即 (2 ? a) ? 2 ? 0
?a ? 0 .

.12 分

(原解答有误, h( x) 与 x 轴不可能有两个不同的交点)

答案第 4 页,总 10 页

y 4 3 2 1 x –6 –5 –4 –3 –2 –1 y = h(x) O –1 –2 –3 y = f(x) 1 2

考点:导数的应用.
–5 –6

–4

11.(Ⅰ)
–7

的单调递增区间为 ;极小值为 .



;单调递减区间为



极大值为

; (Ⅱ)切线 的方程为:

试题解析:(Ⅰ) 当 由 由 ∴ ∴ 时, 得 得

的定义域为(

)时, 2分

1分

, ,或 , ,由 得 , 5分 7分 ∴ ,∴ ,切点为 .
答案第 5 页,总 10 页

3分

的单调递增区间为 极大值为

;单调递减区间为

;极小值为

(Ⅱ)由题意知 此时 ,即 ,

9分 11 分 13 分

∴此时的切线 方程为:

12.(Ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, a ) 和 (1, ??) ,单调减区间是 (a,1) ; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 单调递增;当 a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间是 (0,1) 和
(a, ??) ,单调减区间是 (1, a) .
a? e 2 ? 2e 2e ? 2 .

(Ⅱ)

试题解析:(Ⅰ)求导得: f '( x) ? 由 f '( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 1 ,

2 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a 2( x ? 1)( x ? a ) ? ( x ? 0) . x x

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 或 x ? (1, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (a,1) 时 f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, a ) 和 (1, ??) ,单调减区间是 (a,1) ; 当 a ? 1 时,在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ; 当 a ? 1 时,在 x ? (0,1) 或 x ? (a, ??) 时 f '( x) ? 0 ,在 x ? (1, a) 时 f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调增区间是 (0,1) 和 (a, ??) ,单调减区间是 (1, a) . (Ⅱ)由(1)可知 f ( x) 在区间 [1,e] 上只可能有极小值点, 所以 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最大值在区间的端点处取到, 即有 f (1) ? 1 ? 2(a ? 1) ? 0 且 f (e) ? e2 ? 2(a ? 1)e ? 2a ? 0 , 解得 a ?
e 2 ? 2e . 2e ? 2

13.(1)极大值点 x ?

1 ,极小值点 x ? 1 ;(2)1. 2

试题解析:(1)

1分







3分

f ( x) 在

1 ( ,1) 単增,在 2 单减,

5分

答案第 6 页,总 10 页

f ( x ) 的极大值点

x?

1 2 ,极小值点 x = 1

7分

(2)当 a=-4 时, f ( x ) + x 2 = 0 即 ln x + 2 x 2 - 4 x = 0

设 g( x) = ln x + 2 x 2 - 4 x ,则 则 g( x ) 在 所以 g( x ) 在 单调递增,又 g(1) = - 2 < 0, g(2) = ln 2 > 0 有唯一实数根. 13 分

10 分

14.(Ⅰ) f max ( x) ? f ( ) ?

e a

2 e2 a ;(Ⅱ) m ? ? . e e 4
1 ? ln ax ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 2 x

' 试题解析:(1) a ? 0 ,定义域为 (0, ??) , f ( x ) ?

x?

e . a e a e a e a a ; e

当 x ? (0, ) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f max ( x) ? f ( ) ? (2)由(1)可知 f ( x) ?

ln 2 x e 2 在 x ? 时,取得最大值 , x 2 e

ln 2 x ? x3 ? ex 2 ? mx ?

ln 2 x e e2 ? x 2 ? ex ? m ? ( x ? )2 ? m ? , x 2 4

令 g ( x) ? x2 ? ex ? m ,要让方程有两个不同解,结合图像可知: gmin ( x) ? f max ( x) ,

e2 2 2 e2 ? ,解得 m ? ? . 即m? 4 e e 4
15.(Ⅰ) y ? ?2 ;(Ⅱ) a ? 1 . 试题解析:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x, f ' ( x) ? 2 x ? 3 ? 此时: k ? f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 ,于是:切线方程为 y ? ?2 . (Ⅱ) f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ? 令 f ' ( x) ? 0 得: x1 ?

1 , x

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? ? x x x

1 1 , x2 ? 2 a
答案第 7 页,总 10 页



1 ? 1 即 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 [1, e] 上单调递增,于是 a f min ( x) ? f (1) ? ?2 满足条件

1 1 1 1 ? e 即 ? a ? 1 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ] 上单调递减,在 [ , e ] 上单调递增, a e a a 1 于是 f min ( x) ? f ( ) ? f (1) ? ?2 不满足条件. a
当1? 当

1 1 ? e 即 0 ? a ? 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, e] 上单调递减,此时 a e f min ( x) ? f (e) ? f (1) ? ?2 不满足条件.

综上所述:实数 a 的取值范围是 a ? 1 . 16.(Ⅰ)切线方程为 y ? 2 ;(Ⅱ)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?a ? 、 ? 2a, ?? ? 上单调递增,在 ? ?a, 2a ? 上单调递减; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, 2a ? 、 ? ?a, ?? ? 上单调递增,在 ? 2a, ?a ? 上单调递减. 试题解析:(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 e x ,则切点为 ? 0, 2 ? , 且 f ? ? x ? ? x2e x ? k ? f ? ? 0? ? 0 ,则切线方程为 y ? 2 ; (Ⅱ) f ? ? x ? ? x 2 ? ax ? 2a 2 e x ? ? x ? a ?? x ? 2a ? e x . 当 a ? 0 时, f ?( x) ? x 2e x ? 0 ,所以 f ? x ? 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时, ?a ? 2a ,由 f ?( x) ? ( x ? a)( x ? 2a)e x ? 0 得: x ? ?a, x ? 2a ,所以

?

?

?

?

f ? x ? 在 ? ??, ?a ? 、 ? 2a, ?? ? 上单调递增,在 ? ?a, 2a ? 上单调递减;
当 a ? 0 时, ? a ? 2a , f ?( x) ? ( x ? a)( x ? 2a)e x ? 0 得: x ? 2a, x ? ?a ,所以 f ? x ? 在 ? ??, 2a ? 、 ? ?a, ?? ? 上单调递增,在 ? 2a, ?a ? 上单调递减. 17.(1) a ? 0 (2) 当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 试题分析:(1) f ?( x) ?

2a ? x 2 ? 2 x ? 2a 2ax ? 1 x? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? ? ?. 1分 ? 2ax ? 1

?

?

因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2? ? 0 . 2 分

答案第 8 页,总 10 页



2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 4a ? 1

3分

又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立. 4 分 ( 2 )若 a ? ?

1 (1 ? x)3 b b + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x

问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x 2 ? x3 在 ? 0 , ? ?? 上有解, 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 的值域. 以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法: 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x 2 ,令 h( x) ? ln x ? x ? x2 ( x ? 0) , 则 h?( x) ? 7分

?

?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x



9分

时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 1) 上为增函数, 所以当 0 ? x ? 1 h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, 当 x ? 1时,
因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 12 分 10 分

方法 2:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x 2 ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x 2 .

?

?

1 6 x2 ? 2 x ?1 设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x ,则 p?( x) ? ? 2 ? 6 x ? ? . x x
2

当0? x?

1? 7 1? 7 ) 上单调递增; 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , 6 6

当x?

1? 7 1? 7 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( , ? ?) 上单调递减; 6 6

p? 因为 p ?1? ? 0 ,故必有 ?
因此必存在实数 x0 ?(

? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? ? ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , 6 e e e ? ? ?e ?

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6

答案第 9 页,总 10 页

?当0 ? x ? x0时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? 0 , x0 ? 上单调递减;
当 x0 ? x ? 1 时, g?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; 当 x ?1 时, g '( x) ? 0 , 所以g( x)在?1, ? ?? 上单调递减; 又因为 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x(ln x ? x ? x 2 ) ? x(ln x ? ) ,

1 4

ln x ? 当 x ? 0时 ,

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4
12 分

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0.

18.(1) f ( x)极小值 ? f (1) ? 1, 无极大值。 (2) a ? ? e 。 试题分析:(1) f ?( x) ?

1 ? (a ? ln x) 由 f ?(1) ? 0 得 a ? 1 x2

? f ?( x ) ?

ln x 得 f ( x)在? 0,1? 单减,在?1 , +?? 单增 x2

(5 分) ? f ( x)极小值 ? f (1) ? 1, 无极大值。 (2) g ( x) ?

( x ? 1) ln x a ? ln x x ln x ? a a ? ? ? ln x ? x x x x

g ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 x x2 x

(i)当a ? 0时,g ( x)在(0, ??)上单调递增,在?1,e? 上单调递增,最小值 为g (1) ? ?a ? 3 3 ? a ? ? (舍去) 2 2

(ii)当a ? 0时,g ( x)在(0, ? a) ?,(?a, ??) ?
1、 ? a ? 1,即 ? 1 ? a ? 0时,g ( x)在?1,e ? 上 ? ,g(x)的最小值为 g() 1 ? -a ? 3 3 ? a ? - (舍去) 2 2

2、 -a ? e即a ? ?e时,g ( x)在?1,e? 上 ? ,g ( x)的最小值为 g (e) ? 1 ? a 3 e ? ? a ? ? (舍去) e 2 2
3 ?a?? e 2

3、 1 ? ?a ? e即 ? e ? a ? ?1时,g ( x)最小值为g (?a) ? ln(?a) ? 1 ?
综上所述, a ? ? e (12 分)
答案第 10 页,总 10 页


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