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第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题


1999 年 第 9 期 数学通报

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第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题
  11 ( 满分 10 分) 某超级市场春节前一直以商 品九八折优惠的方法吸引顾客, 春节期间该超级 市场采用了新的有奖销售的促销手段Ζ 具体办法 是: ?有奖销售活动自 1999 年 2 月 8 日起, 发奖 券 10000 张, 发完为止

Ζ ?顾客每累计购物满 400 元, 发奖券一张Ζ ?春节后持奖券参加抽奖Ζ ?特等奖 2 名 奖 3000 元 ( 奖品)  一等奖 10 名 奖 1000 元 ( 奖品)  二等奖 20 名 奖 300 元 ( 奖品)  三等奖 100 名 奖 100 元 ( 奖品)  四等奖 200 名 奖 50 元 ( 奖品)  五等奖 1000 名 奖 30 元 ( 奖品) 试就超级市场的收益, 对该超级市场春节前 和春节期间的两个促销办法进行比较分析Ζ 21 ( 满分 10 分) 在初赛中有一个设计田径场 的应用问题Ζ 设计的基 本原则主要有三条: 每 段直线跑道不超过 100 米; 弯道为圆弧型; 直道 与弯道连接处应相切Ζ 一个标准 400 米跑道的运动场地如图, 共有八条 跑道, 从最内侧向外依次记作第一道, …, 第八 道, 每一条道宽为 1122 米, 直道长 100 米, 弯道 是半圆周Ζ 下面讨论如何确定 400 米赛跑的各道起点问 题Ζ 跑步沿逆时针方向进行, 跑程长度是沿着每 一条跑道的左边线 20 厘米计算的Ζ 400 米的终线 位置是直道的一端 PQ , 设第 n 条跑道上 400 米 的终点为 D n , D n 在 PQ 线上, D nQ = ( n - 1) 122 + 20 厘米, 请给出计算第 n 道起点位置到 D n 长 度的公式, 并确定第三条跑道的起点到终点的长 度Ζ ( 精确到 1 厘米) 31 ( 满分 16 分) 在一个半球形容器的球面上 出现了 6 个小圆孔, 我们称这样的容器为残半球 容器, 往残半球容器中注入液体, 如何放置该残 半球容器能使其容量尽可能大, 圆孔直径忽略不 计Ζ 请你列出解决这个问题的步骤, 不用写出有 关计算公式和计算数据Ζ 41 ( 满分 16 分) 下 图是一个交通示意图, 图中括号内的数字表示 相邻两城市间的距离 ( 单位: 千米) , 例如石家 庄、 衡水之间的距离为 118 千米, 济南到徐州 的距离为 317 千米等, 现有一批稻米要从图中用 “●”表示的城市 ( 如衡水、 益都、 郑州等) , 运 往 用 “×”表示的城市 ( 如德州、 济南、 徐州 等) Ζ 发货量与收货量 ( 单位: 吨) 已标在图中各 城市处, 其中发货总量与收货总量是相等的Ζ 试 对这批稻米给出最优调配方案Ζ

51 ( 满分 16 分) 在上图上标有自行车有关零 件的名称Ζ 把自行车零件组装成一辆自行车, 主 要有以下几个工序: A ——组装车架, 包括装前叉, 车把和前后挡 泥板; B ——安装并校正前轮; C ——安装并校正后轮 ( 含飞轮) ; D ——安装中轴, 包括装轮盘和大腿; E ——在轮盘与飞轮间连接链条; F ——安装左, 右脚蹬;
G ——安装前后车闸和车座Ζ

对于熟练的装配工, 各工序所需要的时间如 下: 工序 A 时间 ( 分) 7
B C D E F G

5

7

7

5

4

10

  如果由一个人完成全部的组装工作至少需要

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1999 年 第 9 期 数学通报

一个有趣命题的推广
付真凯  ( 湖南茶陵一中 412400)
  资料 [ 1 ] 第 168 页例 5 证明了下列命题: 设抛物线 C : y 2 = 2p x ( p > 0 ) 和定点 M ( 2p , 0 ) , 过 M 的动直线 l 与抛物线 C 相交于 P 、 Q 两 点, O 为坐标原点, 则∠POQ 恒为直角Ζ 这个命题很有趣, 本文将它做如下推广: 定理 设抛物线 C : y 2 = 2p x ( p > 0 ) 和定点M ( a , 0) ( a > 0) , 过M 的动直线 l 与抛物线 C 相交于 ). < Π P、 Q 两点, O 为坐标原点, ∠POQ = Η( 0< Η Π a - 2p ( 1) 若 a < 2p , 则 < Η ≤a rcco s ; 2 a + 2p ( 2 ) 若 a = 2p , 则 Η= Π ; 2 ( 3 ) 若 a > 2p , 则 a - 2p Π ≤Η < Ζ a rcco s a + 2p 2 ( ( 1 ) 、( 3 ) 中的等号当且仅 当直线 l 垂直于 x 轴时成 立) Ζ
45 分钟Ζ 自行车组装过程中有些工序的前后次序 是确定的Ζ例如: 在后轮与中轴轮盘装好之前无法

  证明 设动直线 l 的方程为 x = m y + a , 代入 2 y = 2p x , 得 2 y - 2pm y - 2p a = 0. 设 P (x 1 , y 1 ) 、 Q (x 2 , y 2 ) , 则 y 1 + y 2 = 2pm , y 1 y 2 = - 2p a , x 1 + x 2 = (m y 1 + a ) + (m y 2 + a ) = m ( y 1 + y 2 ) + 2a = m ?2pm + 2a = 2 (pm 2 + a ) , x 1 x 2 = (m y 1 + a ) (m y 2 + a ) = m 2y 1y 2 + m a (y 1 + y 2 ) + a 2 = m 2 ? ( - 2p a ) + m a ?2pm + a 2 = a 2. 故得 2 2 2 PO + QO - PQ = ( x 1 2 + y 1 2 ) + ( x 2 2 + y 2 2 ) - ( 1+ m 2 ) ( y 1 - y 2 ) 2 = x 1 2 + x 2 2 - m 2 ( y 1 2 + y 2 2 ) + 2 ( 1+ m 2 ) y 1 y 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - m 2 ( y 1 + y 2 ) 2 - 2x 1 x 2 + 2 ( 1+ 2m 2 ) ?y 1 y 2

连接后轮上的飞轮与轮盘之间的链条等Ζ 根据经 验, 如下的装配顺序是必须遵循的: ( 1) 在安装并校正前后轮之前组装车架; ( 2) 车闸的安装于前后轮装好之后再做; ( 3) 连接飞轮和轮盘间的链条要在后轮和中 轴装好之后再进行; ( 4) 先装中轴, 再装脚蹬Ζ 现安排两个工人合作组装一辆自行车, 每道 工序只能由一人完成, 请你为这两位工人安排一 个组装的工序流程, 使他们能在最短的时间内装 配好这辆自行车Ζ 请算出最短时间Ζ 61 ( 满 分 16 分 ) 如 右图, 有一条河, 两个工 厂 P 和 Q 位于河岸 l ( 直线 ) 的同一侧, 工厂 P 和 Q 距离河岸 l 分别

为 10 千米和 8 千米Ζ两个工厂的距离为 14 千米Ζ 现在要在河的工厂一侧选一点 R , 在 R 处修建一 个水泵站, 从 R 修建直线输水管分别到两个工厂 和河岸Ζ 使直线输水管的总长最小, 请确定出 R 的位置, 并分别求出水泵站 R 到两个工厂和河岸 的三个距离Ζ 71 ( 满分 16 分) 如图, a 是甲国的一条南北向海防 警戒线, 在 a 上点 A 处有 一个水声监测点, 在 A 的 正东方 20 千米 B 处和 54 千米 C 处还有两个Ζ 某日, A 、 B、 C 三个监测点分 别于 11 ∶ 00′ 08″ 011 ∶ 00′ 00″ 011 ∶ 00′ 20″ 收到发 自静止目标 P 的 同一个声波信号, 在当时气象条 件下, 声波在水中的传播速度是 1500 米 秒Ζ求静 止目标 P 到海防警戒线的距离Ζ 精确到 0101 千 米Ζ


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