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第九章第四讲独立重复试验与二项分布


第四讲

独立重复试验与二项分布

1、理解 n 次独立重复试验及二项分布模型,会判断一个问题是否服从二项分布 2.掌握独立重复试验及二项分布的公式和应用 课程目标 3.使学生充分体会知识的发现过程,并渗透由特殊到一般,由具体到抽象的数学 思想方法。 课程重点 课程难点 教学方法建议 独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些实际问题。 二项分布模型的构建 首先回顾独立事件的概念和前面求概率的几种方法;其次通过典型例题引出 n 次独立重复试验及二项分布模型,再利用典型例题和变式讲解,熟练掌握。对 “通过建立二项分布模型求概率” 的高考题型和方法精讲精练。 一定要让学生独 (一定要让学生独 立完成几题) 立完成几题) 课堂精讲例题 A类 选材程度及数量 B类 C类 ( 2 )道 ( 1 )道 ( 2 )道 ( 1 )道 ( 3 )道 ( 2 )道 ( 1 )道 搭配课堂训练题 ( 1 )道 课后作业 ( 5 )道

一:考纲解读、有的放矢 考纲解读、 二项分布模型的应用,会在高考中有一个大题,重点考察学生建立模型,解决问题的 能力,理解是最关键的,难度中等。因此练习要以中档题为主。

二:核心梳理、茅塞顿开 核心梳理、

【知识链接】 知识链接】
1、相关概念 (1)独立重复试验的定义: 独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 (2)独立重复试验的概率公式: 独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个 事件恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) = C n P (1 ? P )
k k n?k
新疆 王新敞
奎屯



1

的二项分布: (3)离散型随机变量 ξ 的二项分布:

ξ P
k k

0
0 Cn p 0 q n n?k

1
1 C n p 1 q n ?1

… …

k
k C n p k q n?k

… …

n
n Cn p n q 0

由 于 Cn p q

恰好是二项展开式

0 1 k n (q + p ) n = C n p 0 q n + C n p 1 q n ?1 + ? + C n p k q n ? k + ? + C n p n q 0

中 的 各 项的 值 ,所 以 称这 样 的 随机 变 量 ξ 服 从二 项 分 布 记 作 ξ ~ B ( n , p ),其中 n , p 为参数,并记 C n p q 2、知识小结: 知识小结: 知识小结 (1)独立重复试验 (2)两个对立的结果 (3)每次事件A发生概率相同 (4)n次试验事件A发生k次 3、能力总结: 能力总结: (1)分清事件类型; (2)转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 4、思想方法:分类讨论、归纳与演绎的方法;辩证思想. 思想方法:
k k n?k

=b(k;n,p).

三:例题诠释,举一反三 例题诠释, (惠州 高三第三次调研考试) 例 1、 惠州 2011 高三第三次调研考试)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规 ( 则如下:消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针 等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元; 停在 B 区域返券 30 元; 停在 C 区域 不返券. 例如:消费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为 X (元).求随机变量 X 的分布列和数学期望.

A
C
60°

B

2

变式: (揭阳市 届高三上学期学业水平考试) 变式: 揭阳市 2011 届高三上学期学业水平考试)为了解高中一年级学生身高情况,某校 ( 按 10%的比例对全校 700 名高中一年级学生按性别进行抽样检查,测得身高频数分布表如下 表 1、表 2. 表 1:男生身高频数分布表
身身(cm) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185) [185,190)

男频

2

5

14

13

4

2

表 2:女生身高频数分布表
身身(cm) [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175) [175,180)

男频

1

7

12

6

3

1

(1)求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图;
男男 组组 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 175 180 185 190

身身/cm

男男男男男男男男男男男

(2)估计该校学生身高(单位:cm)在 [165,180) 的概率; (3)在男生样本中,从身高(单位:cm)在 [180,190) 的男生中任选 3 人,设 ξ 表示所 选 3 人中身高(单位:cm)在 [180,185) 的人数,求 ξ 的分布列和数学期望.

3

高三上期末考试) 某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动, 例 2、 高州市大井中学 2011 高三上期末考试) ( 根据市场调查,该店决定从 2 种型号的洗衣机, 2 种型号的电视机和 3 种型号的电脑中,选 出 3 种型号的商品进行促销. (Ⅰ)试求选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率; (Ⅱ)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格 提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则 每次中奖都获得 m 元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 .. ..

1 ,设顾客 2

在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量 X ,请写出 X 的分布 列,并求 X 的数学期望; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,问该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多 少元?

变式: (江门 高三上期末调研测试) 变式: 江门 2011 高三上期末调研测试)甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们 ( 在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次, 具体成绩如下茎叶图所示, 已知两同 学这 8 次成绩的平均分都是 85 分. ⑴求 x ;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定? ⑵若将频率视为概率, 对甲同学在今后 3 次数学竞赛成绩进行预测, 记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望 Eξ . 甲 乙

4

(2011年广东高考全真模拟一) 例3、 2011年广东高考全真模拟一)一个暗箱里放着6个黑球、4个白球. (2011年广东高考全真模拟一 (1)依次取出3个球,不放回,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率; (2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率; (3)有放回地依次取出 3 个球,求取到白球个数 ξ 的分布列和期望.

变式: 广东省重点中学 (广东省 届高三毕业考试高考模拟) 变式: 广东省重点中学 2009 届高三毕业考试高考模拟)一袋子中有大小相同的 2 个红球 ( 和 3 个黑球,从袋子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得 2 分, 取到一个黑球得 1 分。 (Ⅰ)若从袋子里一次随机取出 3 个球,求得 4 分的概率; (Ⅱ)若从袋子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸 3 次,求得分 ξ 的概率分 布列及数学期望。

例 4、 广东省湛江市 2009 年第一次模拟考试)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报 (广东省湛江市 ( 年第一次模拟考试) 名参加了其中 5 个项目的比赛. 已知该运动员在这 5 个项目中, 每个项目能打破世界纪录的 概率都是 0.8,那么在本次运动会上: (Ⅰ)求该运动员至少能打破 3 项世界纪录的概率; (Ⅱ)若该运动员能打破世界纪录的项目数为 ξ ,求 ξ 的数学期望 Eξ (即均值) .

变式: (2011 年广东高考全真模拟二) 变式: 2011 年广东高考全真模拟二)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况, ( 随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为

(490,495] , (495,500] ,…, (510,515] ,由此得到
样本的频率分布直方图,如右图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品 数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重 量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重 量 超 过 505 克 的 概 率 . www.k@s@5@u.com

5

四:方向预测、胜利在望 方向预测、 (A 1. A 级)每次试验的成功率为 p (0 < p < 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功 ( 后 3 次都成功的概率为(
3 ( A) C10 p 3 (1 ? p )7


3 ( B ) C10 p 3 (1 ? p )3

(C ) p 3 (1 ? p )7

( D) p 7 (1 ? p )3

(A 2. A 级)10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券,每人购买 1 张,则前 3 个购买者中,恰有一人 ( 中奖的概率为( )
3 ( A) C10 × 0.7 2 × 0.3 1 ( B) C3 × 0.7 2 × 0.3 1 3 A72 ? A3 3 A10

(C )

3 10

( D)

3. B 级)某人有 5 把钥匙,其中有两把房门钥匙,但忘记了开房门的是哪两把,只好逐把 ( 试开,则此人在 3 次内能开房门的概率是 ( )

( A) 1 ?

3 A3 3 A5

( B)

1 1 A32 ? A2 A3 ? A22 + 3 3 A5 A5

3 2 3 2 1 ( D) C32 × ( ) 2 × ( ) + C3 × ( )1 × ( ) 2 5 5 5 5 4. B 级)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为 3 : 2 ,比赛时均能正常 (
发挥技术水平,则在 5 局 3 胜制中,甲打完 4 局才胜的概率为( )

3 (C ) 1 ? ( )3 5

3 2 ( A) C32 ( )3 ? 5 5 2 3 3 (C ) C4 ( )3 ( ) 5 5

3 2 ( B ) C32 ( )2 ( ) 5 3 1 3 2 ( D ) C4 ( ) 3 ( ) 3 3

5. A 级)一射手命中 10 环的概率为 0.7,命中 9 环的概率为 0.3,则该射手打 3 发得到不 ( . (设每次命中的环数都是自然数) 少于 29 环的概率为 6. A 级)一名篮球运动员投篮命中率为 60% ,在一次决赛中投 10 个球,则投中的球数不 ( 少于 9 个的概率为 . 7. A 级)一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为 (

80 ,则此 81

射手的命中率为 . 8. B 级)某车间有 5 台车床,每台车床的停车或开车是相互独立的,若每台车床在任一时 ( 刻处于停车状态的概率为 少有一台处于停车的概率
新疆 王新敞
奎屯

1 ,求: (1)在任一时刻车间有 3 台车床处于停车的概率; (2)至 3

6

9. C 级)某电台“挑战主持人, ( ’节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个 问题回答正确各得 10 分,回答不正确得 0 分,第三个题目,回答正确得 20 分,回答不正确 得一 10 分,总得分不少于 30 分即可过关。如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是 回答第三题正确的概率为 三个问题的总得分为 ξ 。 (1)这位挑战者过关的概率有多大? (2)求 ξ 的概率分布和数学期望。

4 , 5

3 , 且各题回答正确与否相互之间没有影响。 记这位挑战者回答这 5

10. C级)一个口袋中装有2个白球和 n 个红球( n ≥2且 n ∈ N ) 10. (C ( ,每次从袋中摸出两个球 (每次摸球后把这两个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 p ;
*

(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p ) ,当 n 为何值时, f ( p ) 最大?

(2)若 n = 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率;

参考答案: 参考答案: 例 1、解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P ( A) =

1 1 1 , P ( B ) = , P (C ) = . 6 3 2

………3 分

(1)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

∴ P = P ( A) + P ( B ) =

1 1 1 + = 6 3 2 1 . 2

…………6 分

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 (2)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.

……………7 分

……………10 分

7

所以,随机变量 X 的分布列为:

P X
其数学期望

0

30

60

90

120

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

………12 分

1 1 5 1 1 EX = 0 × + 30 × + 60 × + 90 × + 120 × = 40 4 3 18 9 36
变式: 变式:解

………13 分

(1)样本中男生人数为 40 ,由分层抽样比例为 10%可得全校男生人数为 400.-----2 分 频率分布直方图如右图示:------------------------------------------------6 分
男男 组组 0.07 0.06

(2)由表 1、表 2 知,样本中身高在 [165,180) 的学生人数为: 5+14+13+6+3+1=42,样本容量为 70 ,所以样本中

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
160 165 170 175 180 185 190

42 3 学生身高在 [165,180) 的频率 f = = ----8 分 70 5 3 故由 f 估计该校学生身高在 [165,180) 的概率 p = .-9 分 5

身身/cm

男男男男男男男男男男男
1 C4 1 C 2C1 3 = , P(ξ = 2) = 4 3 2 = , 3 C6 5 C6 5

(3)依题意知 ξ 的可能取值为:1,2,3∵ P (ξ = 1) =

P(ξ = 3) =

3 C4 1 = ----------------------------12 分 3 C6 5

1

2

3

∴ ξ 的分布列为:

-----------------13 分

1 3 1 ξ 的数学期望 Eξ = 1× + 2 × + 3 × = 2 .-----------------14 分 5 5 5 例 2、解: (Ⅰ) 从 2 种型号的洗衣机, 2 种型号的电视机, 3 种型号的电脑中,选出 3 种
型号的商品一共有 C 7 种选法.
3

………………………2 分 ………………………4 分

3 选出的 3 种型号的商品中没有电脑的选法有 C 4 种,

3 C 4 31 所以选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P = 1 ? 3 = .……5 分 C 7 35

(Ⅱ) X 的所有可能的取值为 0 , m , 2m , 3m .

……………6 分

8

X = 0 时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,
所以 P ( X = 0 ) = C 3 ? ? ? ? ? =
0 1

?1? ?2?

0

?1? ?2?

3

1 , 8
2

……………………7 分

3 ?1? ?1? 同理可得 P ( X = m ) = C ? ? ? ? ? = , 8 ?2? ?2?
1 3

……………………8 分

3 ?1? ?1? P ( X = 2m ) = C ? ? ? ? ? = , 8 ?2? ?2?
2 3 3? 1 ? P ( X = 3m ) = C 3 ? ? ?2? 3

2

1

…………………9 分

1 ?1? ?? ? = . 8 ?2?

0

…………………10 分

所以,顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 X 的分布列为:

X P

0

m
3 8

2m
3 8

3m
1 8

1 8

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是

1 3 3 1 EX = 0 × + m × + 2m × + 3m × = 1.5m . 8 8 8 8
额,因此应有 1.5m < 150 ,所以 m < 100 .

……………………11 分

(Ⅲ) 要使促销方案对商场有利, 应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数 ………………… 12 分 …… 13 分

故每次中奖奖金要低于 100 元,才能使促销方案对商场有利. 变式: 变式:解:⑴依题意 x甲 =

93 + 95 + 81 + 82 + 80 + x + 88 + 78 + 79 = 85 ……2 分, 8

解得 x = 4 ……3 分,由图中数据直观判断,甲同学的成绩比较稳定……5 分。 ⑵记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A ,则 P ( A) = ……6 分, 随机变量 ξ 的可能取值为 0、 2、 且 ξ ~ B (3 , 1、 3, 其中 k = 0、1、2、3……8 分。 所以变量 ξ 的分布列为:

6 3 = 8 4

3 3 1 ) , (ξ = k ) = C 3k ( ) k ( ) 3? k , P 4 4 4
1
9 64

ξ

0
1 64

2
27 64

3
27 64

P

……10 分

Eξ = 0 ×

1 9 27 27 9 3 9 + 1× + 2× + 3× = (或 Eξ = np = 3 × = )……12 分 64 64 64 64 4 4 4

9

, 例 3、解:设事件 A 为“第 1 次取到白球” B 为“第 2 次取到白球” 为“第 3 次取到白球” ,C ,则 (1) P

( C | A) =
( )

1 1 1 1 1 C4 i( C6C5 + C3C6 )

C A

1 4

2 9

=

2 . 3

…………………4 分

(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化, 所以每次取球互不影响, 所以 P C =

6 3 = .…………………8 分 10 5

www.k@s@5

(3)设事件 D 为“取一次球,取到白球” , 则 P ( D) =

2 , 5

3 P D = ,…………………10 分 5

( )

这 3 次取出球互不影响,则 ξ ? B ? 3, ? ,…………………12 分

? ?

2? 5?

?2? ?3? ∴ P (ξ = k ) = C ? ? ? ? ?5? ?5?
k 3

k

3? k

, ( k = 0,1, 2,3) .…………14 分

变式: (Ⅰ)设“一次取出 3 个球得 4 分”的事件记为 A,它表示取出的球中有 1 个红 变式:解: 球和 2 个黑球的情况,则 P ( A) =
1 C 2 C 32 3 = ……………………4 分 3 5 C5

(Ⅱ)由题意, ξ 的可能取值为 3.4.5.6。因为是有放回地取球,所以每次取到红 球的概率为

P (ξ P (ξ P (ξ P (ξ

2 3 , 取到黑球的概率为 . ……………………6 分 5 5 3 3 27 3 = 3) = C 3 ( ) = 5 125 3 2 2 54 = 4) = C 32 ( ) ? = 5 5 125 2 36 1 3 = 5) = C 3 ( ) ? ( ) 2 = 5 5 125 2 8 = 6) = C 30 ( ) 3 = 5 125

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

3

4

5

6

27 125

54 125

36 125

8 125
……………………10 分

10

数学期望:E ξ =3×

27 54 36 8 21 +4× +5× +6× = …………12 分 125 125 125 125 5

(Ⅰ)依题意,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每 例 4、 解 : 个事件发生的概率相同. 设其打破世界纪录的项目数为随机变量 ξ , “该运动员至少能打破 3 项世界纪录”为事件 A,则有 ……………………………………2 分

P ( A) = P (ξ = 3) + P (ξ = 4) + P (ξ = 5) …………………………………………4 分
3 5 = C 5 0.8 3 × 0.2 2 + C 54 0.8 4 × 0.2 + C 5 0.8 5 …………………………………6 分

= 0.94208 . ………………………………………………………………8 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)解答可知, ξ ~B(5,0.8) ,故所求数学期望为

Eξ = 5 × 0.8 = 4 . ………………………………………………………………12 分
变式: (1)根据频率分步直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为 变式:解:

[(0.01 + 0.05) × 5] × 40 = 12 (件) .………… 4 分
(2) Y 的可能取值为 0,1,2. ………… 5 分

P(Y = 0) =

2 C28 63 C1 C 1 56 = . P (Y = 1) = 28 2 12 = . 2 130 C40 130 C40

2 C12 11 P(Y = 2) = 2 = .………… 8 分 C40 130

www.

Y 的分布列为

………… 9 分

Y P

0

1

2

63 130

56 130

11 130

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 ξ 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 ξ ? B (5,0.3) ,故所求概率为:

P(ξ = 2) = C52 (0.3) 2 (0.7)3 = 0.3087 .………… 12 分

11

方向预测、胜利在 方向预测、胜利在望 答案: 答案:1. C 7. 2. D 3. A 4. A
3 2

5. 0.784 6. 0.046

2 3

3 8.(1) P ( 3) = C5 ? ? ? ? = 5

? 1? ? 2 ? ? 3? ? 3 ?

40 211 5 ? 2? (2) P( B) =1? P B =1?C5 ? ? = 243 ? 3 ? 243

()

5

9.解: 解 (1)这位挑战者有两种情况能过关: ①第三个答对,前两个一对一错,得 20+10+0=30 分,………………1 分 ②三个题目均答对,得 10+10+20=40 分,.... ..............2 分 其概率分别为 ..............3 分 ....

这位挑战者过关的概率为

(2)如果三个题目均答错,得 0+0+(-10)=-10 分, 如果前两个中一对一错,第二个错,得 10+0+(-10)=0 分;.... ........6 分 前两个错,第三个对,得 0+0+20=20 分; 如果前两个对,第三个错,得 10+10+(-10) =10 分;..... .........7 分 故 的可能取值为:-10, 0,10,20,30,40.... ...……8 分

根据 的概率分布,可得 的期望
12

10.解: 解 (1)∵一次摸球从 n + 2 个球中任选两个,有 Cn+ 2 种选法,
2

任何一个球被选出都是等可能的,其中两球颜色相同有 Cn + C2 种选法,
2 2

2 C2 + C2 n2 ? n + 2 n ∴一次摸球中奖的概率 p = = 2 . C2 + 2 n + 3n + 2 n

(2)若 n = 3 ,则一次摸球中奖的概率 p =

2 , 5

三次摸球是独立重复试验,三次摸球恰有一次中奖的概率是

54 . 125 (3)设一次摸球中奖的概率为 p ,则三次摸球恰有一次中奖的概率为 P3 (1) = C1 ? p ? (1 ? p ) 2 = 3
2 ∵ f ′ ( p ) = 9 p ? 12 p + 3 = 3 ( p ? 1)( 3 p ? 1) ,

f ( p ) = P3 (1) = C1 ? p ? (1 ? p ) = 3 p 3 ? 6 p 2 + 3 p , 0 < p < 1 , 3
2

∴ f ( p ) 在 ? 0, ? 上为增函数,在 ? , ? 上为减函数. 1 ∴当 p =

? ?

1? 3?

?1 ?3

? ?

1 时, f ( p ) 取得最大值. 3 n2 ? n + 2 1 ∵p= 2 = ( n ≥ 2, 且n ∈ N* ) , n + 3n + 2 3 解得 n = 2 .

故当 n = 2 时,三次摸球恰有一次中奖的概率最大.

13


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二项分布: 在 一次随 机试验 中,某 事件可能 发生 也可 能不发生, 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变 量.如果在一次试验中某...

独立重复试验二项分布学案

(5)第二、第三次两次击中的概率 (6)至少击中一次的概率 2.2.3 独立重复试验与二项分布一、知识梳理 1.独立重复试验的定义:___. 2. 离散型随机变量的二...

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n次独立重复试验和二项分布习题

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独立重复实验与二项分布教学设计(罗雪梅)

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n次独立重复试验的模型及二项分布

独立重复试验 设每次试验中事件 A 发生的概率是 p,此时称随机变 量 X 服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称 p 为成功 概率 Ai(i=1,2,?,n)表示第 i...

选修2-3教案2.2.3独立重复试验与二项分布(1)

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