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【金版学案】2015届高考数学总复习 第二章 第八节反比例函数与幂函数课时精练试题 文(含解析)


第八节

反比例函数与幂函数

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

1.下列函数中是幂函数的是( ) 1 m ①y= 2; ②y=ax (a,m 为非零常数,且

a≠1);

x

1 2 n 3 ③y=x +x ; ④y=x ; ⑤y=(x-1) ; 3 2 2 ⑥y=2x ; ⑦y=x +1. A.①②③④ C.②④⑤⑥ B.②④⑦ D.①④

1 a 解析:根据幂函数的定义,形式上符合 y=x (a ∈R)的函数才是幂函数,于是 y= 2=x

x

-2

,y=x 是幂函数,其余都不是. 答案:D

n

(

? 1? a 2.幂函数 f(x)=x (a 是有理数)的图象过点?2, ?,则 f(x)的一个单调递减区间是 ? 4? ) A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0] D.(-∞ ,0)
1 a ? 1? 解析:∵图象过?2, ?,则 =2 ,∴a=-2. 4 4 ? ? -2 ∴f(x)=x . -2 由 y=x 图象可知 f(x)的单调减区间是(0,+∞). 2 3.下列函数的图象通过变换,能与函数 f(x)= 的图象重合的函数是( )

x

3 x+1 1 -1 C.f(x)= x 2 A.f(x)=

1-x B.f(x)= 3-x 2 D.f(x)= 2x-1

解析:选项 C 是伸缩变换,选项 A,D 是平移 变换和伸缩变换,只有平移变换不改变图 1-x 2 象的形状,对于选项 B,f(x)= = +1,是平移变换.故选 B. 3-x x-3 答案:B 4.(2013·河北沧州二模)右图是函数 y=x (m,n∈N ,m,n 互质)的图象,则(

m n

*

)

1

A.m,n 是奇数且 <1

m n

m n m C.m 是偶数,n 是奇数且 <1 n m D.m 是奇数,n 是偶数且 >1 n
B.m 是偶数,n 是奇数且 >1

解析:y=x = x 为偶函数,∴m 为偶数,n 为奇数.与 y=x 相比 <1. 答案:C 5.如图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )

m n

n

m

m n

1 1 2 -1 A.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 3 2 1 3 2 -1 B.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 2 1 2 3 -1 C.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 2 1 1 2 -1 D.①y=x ,②y=x ,③y=x ,④y=x 3 2 解析:可以根据图象对应寻求函数,故应选 B. 答案:B

2

2 1 6.函数 y=(1-x ) 的值域是( ) 2 A.[0,+∞) B.(0,1] C.(0,1) D.[0,1]

解析:这是复合函数求值域问题,利用换元法,令 t=1-x ,则 y= t. ∵-1≤x≤1,∴0≤t≤1,∴0≤y≤1. 答案:D 1 1 1 7.(2013·黄冈质检)设 y1=0.4 ,y2=0.5 ,y3=0.5 ,则( 3 3 4 A.y3< y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y3<y1 D.y1<y3<y2 )

2

1 1 1 x 解析:幂函数 y=x 是定义域上的单调递增函数,所以 0.4 <0.5 ,指数函数 y=0.5 3 3 3 1 1 是定义域上的单调递减函数,所以 0.5 <0.5 ,故 y1<y2<y3. 3 4 答案:B 8.给出四个结论: 3 x ①y=x 是幂函数,y=( 2-1) 也是幂函数; ②幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ③幂函数的图象不可能经过第四象限; 2 ④y= 在定义域上是减函数.

x

其中正确结论的序号是________. 解析:①y=x 是幂函数,y=( 2-1) 是指数函数;②幂函数 y=x 不过(0,0)点;③ α 由于在 y=x (α ∈R)中,只要 x>0,必有 y>0,所以幂函数的图象不可能在第四象限;④y 2 = 在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是减函数.
3

x

-1

x

答案:③ 9.将正整数 12 分解成两个 正整数的乘积有 1×12,2×6,3×4 三种,其中 3×4 是这三 * 种分解中, 两数差的绝对值最小的, 我们称 3×4 为 12 的最佳分解. 当 p×q(p≤q且p,q∈N ) p 3 是正整数 n 的最佳分解时,我们规定函数 f(n)= ,例如 f(12)= .关于函数 f(n)有下列 q 4 1 3 4 9 叙 述 : ①f (7) = ; ②f (24) = ; ③f (28) = ; ④f (144) = . 其 中 正 确 的 序 号 为 7 8 7 16 ________(填 入所有正确的序号). 答案:①③ 10.现有下列命题: ①当指数大于 0 时,幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ②幂函数的图象一定经过 n n 两个象限;③当 n=0 时,函数 y=x 的图象是一条直线;④幂函数 y=x ,当 n>0 时是增函 n 数;⑤幂函数 y=x ,当 n<0 时,在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小. 其中正确命题的序号是____________(把你认为正确的命题的序号都填上).

3

1 0 解析: y=x 的图象只过一个象限,故②错误;当 n=0 时,函数 y=x =1(x≠0)该函 2 数的图象是直线 y=1 再去掉点(0,1), 故③不对; y=x2 在(-∞, 0)上是减函数, 故④错误; 只有①⑤正确,故本题应填①⑤. 答案:①⑤ 4 2 11.已知函数 y= 15-2x-x . (1)求函数的定义域、值域; (2)判断函数的奇偶性; (3)求函数的单调区间. 4 2 解析:令 t=15-2x-x ,则 y= t, 2 (1)由 15-2x-x ≥0 得函数的定义域为[-5,3], 2 ∴t=16-(x+1) ∈[0,16].∴函数的值域为[0,2]. (2)∵函数的定义域为[-5,3]且关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)∵函数的定义域为[-5,3],对称轴为 x=-1, ∴x∈[-5,-1]时,t 随 x 的增 大而增大;x∈ (-1,3]时,t 随 x 的增大而减小. 4 又∵函数 y= t在 t∈[0,16]时,y 随 t 的增大而增大, 4 2 ∴函数 y= 15-2x-x 的单调增区间为[-5,-1],单调减区间为(-1,3]. 12.已知幂函 数 f(x)=xm -2m-3(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减 函数,求满足(a+1) <(3-2a) 的 a 的取值范围. 3 3 解析:∵函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减, 2 ∴m -2m-3<0.解得- 1<m<3. * 2 2 ∵m∈N , ∴m=1,2.又函数 f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴m -2m-3 是偶数. 而 2 -2×2 1 2 -3=-3 为奇数,1 -2×1 -3=-4 为偶数,∴m=1.又函数 g(x)=x 在 R 上为增函数, 3 2? 1 1 2 ? ∴(a+1) <(3-2a) 等价于 a+1<3-2a,解得 a< .∴a 的取值范围是?-∞, ?. 3? 3 3 3 ? 1 -1 2 13. 设函数 f1(x)=x ,f2(x)=x ,f3(x)=x ,求 f1(f2(f3(2 012)))的值. 2
2 2 -1 2 -1 1 -1 解析: f1(f2(f3(2 012)))= f1(f2(2 012 ))= f1((2 012 ) )= ((2 012 ) ) = 2 012 2 1 = . 2 012 2 *

m

m

14.已知函数 f(x)=(m -m-1)x ,m 为何值时,f(x)是: (1)幂函数? (2)幂函数,且是(0,+∞)上的增函数? (3)正比例函数? (4)反比例函数? (5)二次函数?

2

-5m-3

4

解析:(1)∵f(x)是幂函数,∴m -m-1=1 且-5m-3≠0.解 得 m=2 或 m=-1. (2)若 f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上 的增函数,
? ?m -m-1=1, 则? ?-5m-3>0, ?
2

2

∴m=-1.

(3)若 f(x)是正比例函数, 4 则-5m-3=1,解得 m=- . 5 4 2 此时 m -m-1≠0,故 m=- . 5 (4)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, 2 2 2 则 m=- ,此时 m -m-1≠0,故 m=- . 5 5 (5)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即 m=-1, 2 此时 m -m-1≠0,故 m=-1.

5


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