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探索求二面角大小的常用方法


探索求二面角大小的常用方法 【摘 要】立体几何中的二面角问题是考察学生空间想象能力的的一个重要 知识点。 二面角的求解方法很多,本文通过常用实例总结了几种典型的二面角求 解方法,并给出了评述。 【关键词】立体几何;二面角;空间想象能力;求解方法 二面角问题是立体几何的一个重点也是难点,它的求法很多,且在各种求法 中需要充分运用立体几何中的线线、线面、面面关系,教材引进空间向量后解

决 就更多了,因此,二面角问题具有综合性强,灵活性大的特点,这一内容也自然 成为高考的热点,学生需要掌握这一问题的常用方法。 例如:如图 1(a)所示,在底面是等腰直角△ABC 中,∠B=90° ,PA⊥面 ABC,且 PA=AB=BC. 求二面角 B-PC-A 的大小。 1 直接法 直接作出二面角的平面角来求大小, 突出一个“作”。 解法一:如图 1(b) ,过 A 作 AE⊥PB 交 PB 于 E,在面 PBC 内作 EF⊥PC 交 PC 于 F,连接 AF, 设 PA=PB=PC=a, ∵PA⊥面 ABC,且 CB 在面 ABC 内 ∴PA⊥BC ∵在等腰直角△ABC 中, CB⊥AB,且 PA∩PB=A ∴CB⊥面 PAB,且 CB 在面 PBC 内 ∴面 PCB⊥面 PBA ∵在等腰直角△PAB 中,AE⊥PB,且 PB=面 PAB∩面 CPB ∴AE⊥面 PBC,且 PC 在面 PCB 内, ∴AE⊥PC ∵PC⊥EF,且 AE∩EF=E ∴PC⊥面 AEF 即∠AFE 就是二面角 B-PC-A 的平面角 ∴∠AFE=60° 故二面角 B-PC-A 的大小为 60° 点评:在二面角的棱上任取一点,然后在两个平面内分别作棱的垂线,则这 两条直线所成的角即为二面角的平面角,这是利用二面角的定义来作平面角,这 种方法叫也做定义法。 2 间接法 间接法就是不直接作出二面角的平面角,突出一个“不作”。 方法主要有: 1)射影面积法是常用的典型方法,如图 1(c) ,在平面 α 内有一个平面图 形 ABC,在平面 β 内的平面图形 OBC 为平面图形 ABC 在平面 β 内的射影,设 二面角的大小为 θ,射影图形的面积为 S 射,原来图形的面积为 S 原,则可证明 cos=S 射/S 原 2)向量法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个向量的夹角或补角, 如图 1(d) 。 3)坐标法是将求二面角的平面角的大小转化为求两个半平面的法向量的夹 角或补角。如图 2(a) 。 解法二:射影面积法, 如图 2(b) ∵面 PAC⊥面 ABC 过 B 作 BD⊥AC,连结 PD ∴BD⊥面 PAC ∴△PDC 就是△PBC 在面 PAC 上的射影 设 PA=PB=PC=a 设二面角 B-PC-A 的平面角为 θ ∴cosθ=60° 故二面角 B-PC-A 的平面角为 60° 点评:用此方法求二面角的平面角的大小,不需要作出二面角的平面角,但 注意是二面角的角而不是异面直线夹角。 解法三:向量法 将二面角的平面角转化为向量的夹角,向量法求二面角的大小,是当前解这 类题型的主要方法,近年来,在高考试题中,用向量法解立体几何题要比传统的 几何方法简单一些, 主要原因是它将复杂的几何问题转化为代数问题,复杂的几 何证明变成了简单的代数运算。 如图 2(c) ,过 A 作 AE⊥PC,过 B 作 BF⊥PC,则就是二面角 B-PC-A 的 平面角。 设 PA=AB=BC=a 故二面角 B-PC-A 的平面角为 60° 点评:用此方法求二面角的大小,解题思路更加清晰,难度相对要小一些,

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