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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值 理


第二节 函数的单调性与最大(小)值 1. 理解函数的单调性及其几何意义. 2. 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 3. 会求一些简单函数的值域. 4. 理解函数的最大值、最小值、及其几何意义. 知识梳理 一、函数单调性的定义 二、证明函数单调性的一般方法 1.定义法. 用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是:(1)设 x1,x2__________,且 x1<x

2;(2) 作差____________; (3)将差式变形(要注意变形的程度, 一般结果要分解为若干个因式的乘 积,且每一个因式的正或负能清楚地判断出);(4)判断__________(要注意说理的充分性); (5)根据 f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性,即下结论. 概括为:取值—作差—变形—定号—下结论. 2.导数法. 设 f(x)在某个区间(a, b)内有导数, 若 f(x)在区间(a, b)内, 总有 f′(x)>0[f′(x)<0], 则 f(x)在区间(a, b)上为增函数(减函数); 反之, 若 f(x)在区间(a, b)内为增函数(减函数), 则 f′(x)≥0[f′(x)≤0].请注意两者的区别所在. 三、求函数单调区间的方法 第 1 页 共 4 页 定义法、导数法、图象法. 四、复合函数及其单调性 1.复合函数. 设 y=f(u),u∈B,u=g(x),x∈A,通过变量 u,得到 y 关于 x 的函数,那么称这个函 数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的______,记作________.其中 y=f(u)叫做外函数,u=g(x) 叫做内函数,u 称为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域的子集. 2.复合函数 y=f(g x )的单调性规律. 对于函数 y=f(u)和 u=g(x),如果 u=g(x)在区间(a,b)上具有单调性,当 x∈(a,b) 时,u∈(m,n),且 y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性,则复合函数 y=f(g(x))在区间 (a,b)具有单调性的规律见下表: y=f(u) 增 ↗ 减 ↘ u=g(x) 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ y=f(g(x)) 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为:“同增异减”. 五、函数的最大值、最小值 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 如果? M∈R, 满足: (1)对? x∈A, 恒有 f(x)≤M[或 f(x)≥M];(2)? x0∈A,使得 f(x0)=M,则称 M 是函数 y=f(x)的____________. 六、求函数值域(最值)的各种方法 因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的, 故其类型依解析式的特点可分为 三类:(1)求常见函数的值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数 作某些“运算”而得函数的值域. 无论用什么方法求函数的值域,都必须首先考虑函数的定义域.具体的方法有:①直接 法;②配方法;③分离常数法;④换元法;⑤三角函数有界法;⑥基本不等式法;⑦单调性 法;⑧数形结合法;⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决). 基础自测 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上不是增函数的是( 2 A.y=2x+1 B.y=3x +1 2 C.y= D.y=|x| ) x 解析:由函数单调性定义知选 C. 答案:C 第 2 页 共 4 页 2. 已知函数 f(x)为 R 上的减函数, 则满足 f(|x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(

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