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高二数学必修5期末测试卷(人教A版)


高二数学必修五期末测试卷
校区______ 姓名_______ 分 数_______

一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1、设 a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ( 1 1 1 1 A. ? B. ? C.a>b2 a b a b 2. 在等比数列 {an } 中,已知 a1a3a11 ? 8 ,则 a2 a8 等于( A.16 3.不等式 B.6
x ?1 ? 2 的解集为 x

) D.a2>2b ) D.4 ( )

C.12

A. [?1,??)

B. [?1,0)

C. (??,?1] )

D. (??,?1] ? (0,??)

? ? y ? x ?1 4、不等式组 ? 的区域面积是( ? ? y ? ?3 x ? 1

1 5 3 C. D. 2 2 2 5.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 满足: a2010 ? a2009 ? 0 , a2010 a2009 ? 0 ,

A. 1

B.

则使其前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是( A. 4016 B. 4017 C. 4018

). D. 4019 )

6、在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定
a b

D.等腰三角形 )

7.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为( A 8 B 4 C1 D
1 4

8 、 如 图 : D, C , B 三 点 在 地 面 同 一 直 线 上 , DC ? a , 从 C , D 两 点 测 得 A 点 仰 角 分 别 是

? , ? ?a ? ? ? ,则 A 点离地面的高度 AB 等于
A. C
a sin ? ? sin ? sin ?? ? ? ? a sin ? ? cos ? sin ?? ? ? ?

(
A

)

B.

a sin ? ? sin ? cos?? ? ? ? a cos? ? sin ? cos?? ? ? ?

D.

?
B C

?

D

9、如图所示,某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛.顶层一 个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆底层最长的一排共有 13 个花盆,则底层的花盆的个数是( )

A.91

B.127

C.169

D.255

10、若正项等差数列{an}和正项等比数列{bn},且 a1=b1,a2n-1=b2n-1,公差 d>0,则 an 与 bn(n≥3) 的大小关系是( ) A.an<bn B.an≥bn C.an>bn D.an≤bn ? 1? 11、若不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? ? 0, ? 成立,则 a 的最小值是 ( ) ? 2? 5 A.-2 B. - C.-3 D.0 2 1 1 12、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a[2 ? ( ) n ?1 ] ? b[2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ]( n ? 1,2, ?), 其中 a、 b 是非 2 2 零常数,则存在数列{ xn },{ y n }使得 ( )

A. an ? xn ? yn , 其中 {xn }为等差数列,{ y n }为等比数列 B. an ? xn ? yn , 其中 {xn } 为等差数列,{ y n }都为等比数列 C. an ? xn ? yn , 其中 {xn }和{ y n }都为等差数列 D. an ? xn ? yn , 其中 {xn } 和{ y n }都为等比数列 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.在 ?ABC 中, A ? 600,b ? 1, 面积为 3 , 则
a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

.

14.已知数列 ?an ? 满足 2a1 ? 22 a2 ? 23 a3 ?? ? ? ?2n an ? 4n ?1 则 ?an ? 的通项公式 。
Sn a 2n ? ,则 n = Tn 3n ? 1 bn

15、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若

16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类 产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,

所需租赁费最少为_________元. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。 ) 17、 (本小题满分 12 分)解不等式: 2 < x 2 ? 3x ? 10

18. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC-ccos (A+C)=3acosB. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC ? 2 ,且 a ? 6 ,求 b 的值.

19.(12 分)已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? N * , n ? 2) ,且 a4 ? 81 (1)求数列的前三项 a1、a2、a3 的值; (2)是否存在一个实数 ? ,使得数列 {
an ? ? } 为等差数列?若存在,求出 ? 的值;若不 2n

存在,说明理由;求数列 {an } 通项公式。

20、 (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 有 S n ?
1 2 11 n ? n , 数 列 {bn } 满 足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b3 ? 11,前 9 项和为 153;
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?
k 3 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值;

21.(本小题满分 12 分) 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、 保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元,该机床使 用后,每年的总收入为 50 万元,设使用 x 年后数控机床的盈利额为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值) ; (3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: (Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; (Ⅱ)当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床.请你 研究一下哪种方案处理较为合理?请说明理由.

22. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 等 比 数 列 { an } 的 前 n 项 和 Sn , 首 项 a1 ? 1 , 公 比

q ? f (? ) ?

?
1? ?

(? ? ?1, 0) .

(Ⅰ)证明: Sn ? (1 ? ? ) ? ?an ;
1 , bn ? f (bn?1 )(n ? N * , n ? 2) ,求数列{ bn }的通项公式; 2 1 (Ⅲ)若 ? ? 1 ,记 cn ? an ( ? 1) ,数列{ cn }的前项和为 Tn ,求证:当 n ? 2 时, 2 ? Tn ? 4 . bn

(Ⅱ)若数列{ bn }满足 b1 ?

高二数学必修五期末测试卷
参考答案
一、选择题: (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分) 题 号 答 案 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C 11 B 12 B

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13、
2 39 ; 3

14、 an ?

3 n ?2 ; 4

15.

2n ? 1 3n ? 1

16、2300

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分. )
2 ? ? x ? 3x ? 2 ? 0 (1) 2 17.解:不等式可化为 ? ? ? x ? 3x ? 10 ? 0 (2)

? 3 ? 17 3 ? 17 ? ? ? 或x ? 由(1)得: ? x x ? ? 2 2 ? ? ? ?

由(2)得: ? x 2 ? x ? 5?
? ? 3 ? 17 3 ? 17 ? ? 或 ? x ? 5? (1) (2)两集合取交集得不等式解集为: ? x ?2 ? x ? 2 2 ? ? ? ?

18 (I)解:由正弦定理可得: sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B,
即sin(B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0,
1 故 cos B ? . 3

…………7 分

(II)解:由 BA? BC ? 2, 可得accos B ? 2 ,
即ac ? 6, 又a ? 6 , 可得c ? 6 . 由b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B,

可得 b ? 2 2 .

…………12 分

19. (1)由 an ? 2an?1 ? 2n ?1(n ? 2) ? a4 ? 2a3 ? 24 ?1 ? 81 ? a3 ? 33

同理可得 a2 ? 13, a1 ? 5 ………………3 分 (2)假设存在一个实数 ? 符合题意,则 ∵
an ? ? an ?1 ? ? ? 必为与 n 无关的常数 2n 2n ?1

an ? ? an ?1 ? ? an ? 2an ?1 ? ? 2n ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 ? n ……………5 分 n n ?1 n n 2 2 2 2 2

an ? ? an ?1 ? ? 1? ? ? 是与 n 无关的常数,则 n ? 0 ,得 ? ? ?1 n n ?1 2 2 2 a ?? 故存在一个实数 ? ? ?1 ,使得数列 { n n } 为等差数列…………8 分 2 an ? ? an ? 1 a1 ? 1 由(2)知数列 { n } 的公差 d ? 1 ,∴ n ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 2 2 2

要使

得 an ? (n ? 1) ? 2n ? 1………………………12 分 20、解: (1)因为 S n ?
1 2 11 n ? n ;故 2 2

当 n ? 2 时; an ? S n ? S n?1 ? n ? 5 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;满足上式; 所以 an ? n ? 5 ; 又因为 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 ,所以数列 {bn } 为等差数列; 由 S9 ?
9(b3 ? b7 ) 23 ? 11 ? 3; ? 153, b3 ? 11,故 b7 ? 23 ;所以公差 d ? 7?3 2

所以: bn ? b3 ? (n ? 3)d ? 3n ? 2 ; (2)由(1)知: cn ?

3 1 ? (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1)

而 cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ); (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? ; 2 2n ? 1 2n ? 1

所以: Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

又因为 Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0; 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 ; 3

所以 {Tn } 是单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ? 由题意可知

1 k ? ;得: k ? 19 ,所以 k 的最大正整数为 18 ; 3 57

x ? x ? 1? ? ? ? 4 ? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98 (x ? N*) 21.解 : (1)依题得: y ? 50 x ? ?12 x ? 2 ? ?

(2)解不等式 ?2x2 ? 40x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51 ∵x ? N*,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。 y 98 98 (3) (Ⅰ)? ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2 x ? 时,即 x=7 时等号成立. x ? 到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元. (Ⅱ)y=-2x2+40x-98=-(x-10)2+102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理.
a1[1 ? ( )n ] ? n ? n ?1 1? ? ? (1 ? ? )[1 ? ( ) ] ? (1 ? ? ) ? ? ( ) ? 1 ? ? 1 ? ? 1? 1? ?

a (1 ? q n ) 22.解:(Ⅰ) Sn ? 1 ? 1? q

?

? n ?1 ? n ?1 ) ?( ) 而 an ? a1 ( 1? ? 1? ?
Sn ? (1 ? ? ) ? ?an
(Ⅱ) f (? ) ?

所以 ………………………………4 分

?
1? ?

,?bn ?

bn?1 1 1 ,? ? ?1 , 1 ? bn?1 bn bn?1

……………………6 分

1 1 ?{ } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的等差数列, bn b1
1 1 . ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 ,即 bn ? n ?1 bn 1 1 1 (Ⅲ) ? ? 1 时, an ? ( ) n ?1 , ? cn ? an ( ? 1) ? n( )n ?1 2 bn 2

………………8 分

…………………………9 分

1 1 1 ?Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? ? ? n( ) n ?1 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? n( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 ( ) ] ? n( ) n 相减得? Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 2[1 ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ?Tn ? 4 ? ( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 ? 4 , ………………12 分 2 2 1 又因为 cn ? n( ) n ?1 ? 0 ,?Tn 单调递增, 2

?Tn ? T2 ? 2, 故当 n ? 2 时, 2 ? Tn ? 4 .

………14 分


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