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全国物理竞赛磁场电磁感应复赛真题汇编17-31


磁场电磁感应复赛真题 1 / 15

18 复赛四、 (22 分)如图复 18-4 所示,均匀磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度 B 随时间 t 变 化, B ? B0 ? kt ( k 为大于 0 的常数) .现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中 所示位置,环面处于图中纸面内。圆环的半径为 R , 电阻为 r ,相交点的电接触良好.两个环的接触

点 A 与 C 间的劣弧对圆心 O 的张角为 60?。求 t ? t0 时, 每个环所受的均匀磁场的作用力, 不考虑感应电流之 间的作用.

图 复 18-4

磁场电磁感应复赛真题 2 / 15

19 届复赛二、 (18 分) 在图复 19-2 中, 半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场,磁 场方向垂直纸面指向纸外,磁感应强度 B 随时间均匀变化,变化率 ?B / ?t ? K ( K 为一正值常量 ),圆柱形区外空间没有磁场, 沿图中 AC 弦的方向画一直线,并向外延 长, 弦 AC 与半径 OA 的夹角 ? ? ? / 4 . 直 线上有一任意点,设该点与 A 点的距离为 x ,求从 A 沿直线到该点的电动势的大小.

磁场电磁感应复赛真题 3 / 15

19 届复赛四、 (18 分)有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数.在图复 19-4-1 中,E 为电 压可调的直流电源。K 为开关, L 为待测线圈的自感系数, rL 为线圈的直流电阻,D 为理想二极 管, r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻,A 为电流表。将图复 19-4-1 中 a 、 b 之间的电阻线装进 图复 19-4-2 所示的试管 1 内,图复 19-4-2 中其它装置见图下说明.其中注射器筒 5 和试管 1 组 成的密闭容器内装有某种气体(可视为理想气体) ,通过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色 液注的初始位置,调节后将阀门 10 关闭,使两边气体隔开.毛细管 8 的内直径为 d . 已知在压强不变的条件下, 试管中的气体温度升高 1K 时, 需要吸收的热量为 Cq , 大气压强为 p 。 设试管、三通管、注射器和毛细管皆为绝热的,电阻丝的热容不计.当接通电键 K 后,线圈 L 中

1 2 LI , I 为通过线圈的电流,其值可通过电流表 A 2 测量,现利用此装置及合理的步骤测量的自感系数 L .
将产生磁场,已知线圈中储存的磁场能量 W ? 1.简要写出此实验的步骤. 2.用题中 所给出的各已 知量( r 、 rL 、

Cq 、p 、d 等)
及直接测得的 量导出 L 的表达 式,

磁场电磁感应复赛真题 4 / 15

21 届复赛五、(20 分)如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放置电量分别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应 与静电屏蔽可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的电 场是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是 怎样分布的,所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明,感应电 荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题中假想(等效)点电荷 应为两个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:设想将整个导体壳 ? 与 q1 共同产生的电场在原空腔 去掉,由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷 q1 内表面所在位置处各点的电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面的感 ? 与 q2 共同产生的电场在原空腔内 应电荷的假想 (等效) 点电荷 q2 A 表面所在位置处各点的电势皆为 0.这样确定的假想电荷叫做感 r 应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是唯一的.等效电 P 2 ?? P 1 ? 、 q2 ? 和 q1、q2 来计算原来 荷取代感应电荷后,可用等效电荷 q1 a O a 导体存在时空腔内部任意点的电势或场强. R

? 、 q2 ? 的位置及电量. 1.试根据上述条件,确定假想等效电荷 q1
2.求空腔内部任意点 A 的电势 UA.已知 A 点到球心 O 的距离 为 r, OA 与 OP1 的夹角为??. ?

磁场电磁感应复赛真题 5 / 15

21 届复赛七、 (25 分)如图所示,有二平行金属导轨,相距 l,位于同一水平面内(图中纸面) , 处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里) .质量均为 m 的两金属 杆 ab 和 cd 放在导轨上,与导轨垂直.初始时刻,金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处.假 设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施 以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v0 .设导轨足够长, x0 也足够大,在运动过程中,两金 属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0 ,因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与 导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不计.求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成 的回路中的电流 i 三者各自随时 间 t 的变化关系. y c y

a v0

O d

b x

磁场电磁感应复赛真题 6 / 15

22 届复赛五、 (25 分)一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环, 其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可以忽略.两个表面都带有电 荷, 电荷面密度 ? 随离开环心距离 r 变化的规律均为 ? ( r ) ? a2 a0 a1

?0
r2



薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角 ? 0 为已知常量. 加速度 ? 减速转动, t = 0 时刻的角速度为 ? 0 .将一半径为 a0(a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置.试求在薄圆环减速运动过 程中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系. 提示:半径为 r、通有电流 I 的圆线圈(环形电流) ,在圆心处产生的磁感应强度为 B ? k 已知常量)

I (k 为 r

磁场电磁感应复赛真题 7 / 15

23 届复赛五、 (25 分)磁悬浮列车是一种高速运载工具。它具有两个重要系统。一是悬浮系统, 利用磁力(可由超导电磁铁提供)使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触。另一是驱动系统, 在沿轨道上安装的三相绕组(线圈)中,通上三相交流电,产生随时间、空间作周期性变化的磁 场,磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用,使车体获得牵引力。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由,我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场,磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为

B( x, t ) ? B0 cos(? t ? kx)
式中 B0 、 ? 、 k 均为已知常量,坐标轴 x 与轨道平行。在任一时刻 t,轨道平面上磁场沿 x 方向 的分布是不均匀的,如图所示。图中 Oxy 平面代表轨道平面, “×”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面 指向纸里, “· ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外。规定指向纸外时 B 取正值。 “×”和“· ” 的疏密程度表示沿着 x 轴 B 的大小分布。 一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处 在该磁场中,已知与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l ,与轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d, 金属框的电阻为 R,不计金属框的电感。 1.试求在时刻 t,当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力,设此时刻金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 。 2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。

磁场电磁感应复赛真题 8 / 15

24 届复赛四、 (25 分)图中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐标系,在 x ? 0 的一侧,存在匀 强磁场,磁场方向垂直于 oxy 平面向里,磁感应强度的大小为 B。在 x ? 0 的一侧,一边长分别为

l1 和 l 2 的刚性矩形超导线框位于桌面上, 框内无电流, 框的一对边与 x 轴平行。 线框的质量为 m,
自感为 L。现让超导线框沿 x 轴方向以初速度 v0 进入 磁场区域,试定量地讨论线框以后可能发生的运动情 况及与初速度 v0 大小的关系。 (假定线框在运动过程中 始终保持超导状态)

磁场电磁感应复赛真题 9 / 15

24 届复赛五、 (25 分)地球赤道表面附近处的重力加速度为 g 0 ? 9.8m / s 2 ,磁场的磁感应强 度的大小 B0 ? 3.0 ?10?5 T ,方向沿经线向北。赤道上空的磁感应强度的大小与 r 成反比(r 为考
3

察点到地心的距离) , 方向与赤道附近的磁场方向平行。 假设在赤道上空离地心的距离 r ? 5Re( Re 为地球半径)处,存在厚度为 10km 的由等数量的质子和电子的等离子层(层内磁场可视为匀强 磁场 ) ,每 种粒子的数 密度非 常低,带电 粒子的相互 作用可以忽 略不计。已 知电子的质 量

me ? 9.1?10?31 kg ,质子的质量 m p ? 1.7 ?10?27 kg ,电子电荷量为 ? 1.6 ? 10?19 C ,地球的半
径 Re ? 6.4 ?106 m 。 1.所考察的等离子层中的电子和质子一方面作无规则运动,另一方面因受地球引力和磁场的 共同作用会形成位于赤道平面内的绕地心的环行电流,试求此环行电流的电流密度。 2.现设想等离子层中所有电子和质子,它们初速度的方向都指向地心,电子初速度的大小

ue ? 1.4 ?104 m / s ,质子初速度的大小 u P ? 3.4 ?102 m / s 。试通过计算说明这些电子和质子都
不可能到到达地球表面。

磁场电磁感应复赛真题 10 / 15

25 届复赛 3、 (5 分)电子感应加速器(betatron)的基本原理如下: 一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中, 磁场方向沿圆柱的 轴线,圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆 代表圆环的边界, 与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨 道。已知磁场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 其中 T 为磁场变化的周期。 B0 为大于 0 的常量。 B ? B0 cos(2? t / T ) , 当 B 为正时,磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆的切线方 向注入到环内(如图) ,则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从 t=到 t=。

26 届复赛
.net

t

1.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里,电场强度

的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否可能存在?试述 理由。

27 届复赛四、 ( 12 分)如图所示,一质量为 m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速度为 ω、

磁场电磁感应复赛真题 11 / 15

半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内,离圆心的距离为 d ( d > R ) , 在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻, 粒子速度的方向与导线平行, 离导线的距离为 d+ R . 若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力,试求出电流 i 随时间的变化规 律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的磁感应强度表示式中 的比例系数 k 已知.

磁场电磁感应复赛真题 12 / 15

28 届复赛四、 (20 分)空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,在此区域建立直角坐标系 O-xyz, 如图所示,匀强电场沿 x 方向,电场强度 E 1 ? E 0 i ,匀强磁场沿 z 方向,磁感应强度 B ? B0 k , E0、B0 分别为已知常量, i、 k 分别为 x 方向和 z 方向的单位矢量。 1、有一束带电量都为+q、质量都为 m 的粒子,同时从 Oyz 平面 内的某点射出,它们的初速度均在 Oyz 平面内,速度的大小和方 向各不相同, 问经过多少时间这些粒子又能同时回到 Oyz 平面内。 2、现在该区域内再增加一个沿 x 方向随时间变化的匀强电场,电 场强度 E z ? ( E0 cos ?t )k , 式中 ? ?

qB0 , 若有一电荷量为正 q、 m

质量为 m 的粒子,在 t=0 时刻从坐标原点 O 射出,初速度 v0 在 Oyz 平面内,试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。 不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用,也不考 虑变化的电场产生的磁场。

磁场电磁感应复赛真题 13 / 15

29 届复赛五、 (25 分)如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固

定在水平的桌面上。大圆环半径为 R1 ,小圆环表面绝缘半径为 R2 ( R2 ?? R1 ) ,两圆 环导线每单位长度电阻均为 r0 ,它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为 B ,方向竖 直向下,一每单位长度电阻为 r1 的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心 左侧为 R1 / 100(> R2 )的 ab 位置,以速度 v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中 心与 ab 对称的位置 cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大 圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小 圆环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为 R ,长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时,圆 弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为 B ? k m Il2 , 方向垂直
R

于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则;无限 长直导线通有电流 I 时,电流在距直导线距离为 r 处产生的磁感 应强度 B 的大小为 B ? k m 2 I ,其中 k m 为已知常量。
r

磁场电磁感应复赛真题 14 / 15

30 届复赛五、 (25 分)平行板电容器两极板分别位于 z ? ?

d 的平面内,电容器起初未被充电. 整 2

个装置处于均匀磁场中,磁感应强度大小为 B ,方向沿 x 轴负方向,如图所示. 1. 在电容器参考系 S 中只存在磁场;而在以沿y轴正方向的恒定速度 (0, v,0) (这里 (0, v,0) 表示为 沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、 v 、0,以下类似)相对于电容器运动的参考系 S ? 中,可

? , Ey ? , Ez? ) 又有磁场 ( Bx ? , By ? , Bz? ) . 能既有电场 ( Ex

试在非相对论情形下,从伽利略速度变换,求出在 已知电荷量和作用在物体上的合力在伽

? , Ey ? , Ez? ) 和磁场 ( Bx ? , By ? , Bz? ) 的表达式. 参考系 S ? 中电场 ( Ex
利略变换下不变.

2. 现在让介电常数为 ? 的电中性液体(绝缘体)在平行板电容器两极板之间匀速流动,流速大小 为 v ,方向沿 y 轴正方向. 在相对液体静止的参考系(即相对于电容器运动的参考系) S ? 中,由于

? , Ey ? , Ez? ) 中,其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动(即所谓极 液体处在第1问所述的电场 ( Ex
化效应),使得液体中出现附加的静电感应电场,因而液

? , Ey ? , Ez? ) ,而是 体中总电场强度不再是 ( Ex

?0 ( E? , E? , E? ) , ? x y z

这里 ? 0 是真空的介电常数 . 这将导致在电容器参考系 S 中 电场不再为零. 试求电容器参考系 S 中电场的强度以及电 容器上、下极板之间的电势差. (结果用 ? 0 、 ? 、 v 、 B 或 (和) d 表出. )

磁场电磁感应复赛真题 15 / 15

31 届复赛七、(26 分)Z-箍缩作为惯性约束核聚变的一种可能方式,近年来受到特别重视,其原 理如图所示.图中,长 20 mm、直径为 5μ m 的钨丝组成的两个共轴的圆柱面阵列,瞬间通以超强 电流,钨丝阵列在安培力的作用下以极大的加速度向内运动, 即所谓自箍缩效应;钨丝的巨大动 量转移到处于阵列中心的直径为毫米量级的氘氚靶球上, 可以使靶球压缩后达到高温高密度状态, 实现核聚变.设内圈有 N 根钨丝(可视为长直导线)均匀地分布在半径为 r 的圆周上,通有总电 7 流 I 内=2×10 A;外圈有 M 根钨丝,均匀地分布在半径为 R 的圆周上, 每根钨丝所通过的电流同内圈钨丝.已知通有电流 i 的长直导线在距其 r 处产生的磁感应强度大
i 小为 km r ,式中比例常量 km2×10 N/A .
7 2

(1)若不考虑外圈钨丝,计算内圈某一根通电钨丝中间长为?L 的一小段钨丝所受到的安培力; (2)若不考虑外圈钨丝,内圈钨丝阵列熔化后形成了圆柱面,且箍缩为半径 r=0.25cm 的圆柱面 时,求柱面上单位面积所受到的安培力,这相当于多少个大气压? (3)证明沿柱轴方向通有均匀电流的长圆柱面,圆柱面内磁场为零,即通有均匀电流外圈钨丝的 存在不改变前述两小题的结果; (4)当 N>>1 时, 则通有均匀电流的内圈钨丝在外圈钨丝处的磁感应强度大小为 km
I内 r

内,若 R

要求外圈钨丝柱面每单位面积所受到的安培力大于内圈钨丝柱面每单位面积所受到的安培力,求 外圈钨丝圆柱面的半径 R 应满足的条件; (5) 由安培环路定理可得沿柱轴方向通有均匀电流的长圆柱面外的磁场等于该圆柱面上所有电流 移至圆柱轴后产生的磁场,请用其他方法证明此结论. (计算中可不考虑图中支架的影响)


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