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2015-2016学年高中数学 第一章 集合与函数概念本章回顾课件 新人教A版必修1


第一章

集合与函数概念

本章回顾

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规律方法总结 1.在判定给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确 定性”;在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”. 2.在集合运算中必须注意组成集合的元素及元素应具备 的性质. 3.若集合中的元素是用坐标形式给出的,要注意满足条 件的点

构成的图形是什么,用数形结合法解之.

4.当集合中含有参数时,须对参数进行分类讨论,分类 时要不重不漏. 5.函数相同的判定方法:①定义域相同;②对应关系相 同(二者缺一不可). 6.函数定义域的求法 求函数的定义域,就是求函数解析式有意义的自变量的取 值范围.列出不等式或不等式组求其解集,具体要求:

(1)分式中分母不为零; (2)偶次根式中被开方数非负; (3)由实际问题确定的函数,其定义域要使实际问题不失 去意义.

7.求函数值域的常用方法 (1)观察法:对于一些较简单的函数,其值域可通过观察 得到; (2)图象法:作出函数的图象,观察图象得到值域; (3)单调性法:利用函数的单调性求值域; (4)配方法:把函数配方,利用二次函数的性质求出值 域;

(5)换元法:通过换元,将所给函数化为易于求值域的函 数;但要注意换元后新变量的取值范围; (6)分离常数法:多用于有理分式,即将有理分式变形, 转化为“整式与反比例函数类和”的形式,便于求值域.

8.函数单调性的判断步骤 (1)在区间内任取两个自变量的值x1,x2,并且规定其大小 关系,如x1>x2; (2)作差f(x1)-f(x2),变形(配方,因式分解等)确定符号; (3)给出结论. 注意 求函数的单调区间不能忽视定义域,单调区间应是 定义域的子集.当函数的单调区间不止一个时,中间不能用符 号“∪”连接.

9.函数奇偶性的判断步骤 (1)先求函数的定义域,若定义域不关于原点对称,则该 函数为非奇非偶函数; (2)若函数的定义域关于原点对称,再用奇偶性的定义严 格判定.

数学思想 1.数形结合的思想 在解决数学问题时,将抽象的数学语言与直观的图形结合 起来,使抽象思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体 形象的联系和转化,即把数量关系转化为图形的性质来确定, 或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究.

【例1】 已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x-a<0}. (1)若A∩B=?,求实数a的取值范围; (2)若A? B,求实数a的取值范围. 【分析】 (1)A∩B=?其实质是A与B无公共元素;

(2)A? B说明了A是B的真子集,明确了上述关系,只要借助数 轴即可得到答案.

【解】 ∵A={x|-2<x<4},B={x|x<a}. 在数轴上将集合A表示出来,如下图所示,由图可知:

(1)若A∩B=?,则a≤-2; (2)若A? B,则a≥4.

【例2】 集合S={x|x≤10,且x∈N*},A? S,B? S,且 A∩B={4,5},(?SB)∩A={1,2,3},(?SA)∩(?SB)={6,7,8},求 集合A和B. 【分析】 这类集合问题比较抽象,关系较复杂,而解题 时若借助韦恩图进行数形分析,采取数形结合的思想方法,则 可以将问题直观化、形象化,从而使问题快速、准确地获解, 此题如下图.

【解】 如上图所示,∵A∩B={4,5}, ∴将4,5写在A∩B中. ∵(?SB)∩A={1,2,3}, ∴将1,2,3写在A中. ∵(?SB)∩(?SA)={6,7,8},

∴将6,7,8写在S中A,B之外. ∵(?SA)∩A与(?SB)∩(?SA)中均无9,10, ∴9,10在B中. 故A={1,2,3,4,5},B={4,5,9,10}.

规律技巧

与整数有关的有限集的交、并、补集运算,借

助韦恩图,既直观清晰又简便.

2.分类讨论的思想 利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学 生知识和能力的热点问题.这是因为:其一,分类讨论问题一 般都覆盖较多知识点,有利于对学生知识面的考查;其二,解 分类讨论问题需要有一定的分析能力,一定的分类讨论思想与 技巧,因此有利于对能力的考查;其三,分类讨论问题常与实 际问题和高等数学相联系.

解分类讨论问题的实质是:整体问题化为部分来解决,化 成部分后,相当于增加了题设条件,这也是解分类问题总的指 导思想.

【例3】 已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若A中只有一个元素时,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.

【解】

(1)应根据a是否为0分两种情况进行讨论:

? ? 1? ? ? ①a=0,此时A= -2?,符合题意; ? ? ? ?

②a≠0,则必须且只需Δ=4-4a=0,即a=1. ∴a=0,或a=1.

(2)A中至多有一个元素,也包括两种情形: ①A中有一个元素,由(1)知a=0,或a=1;
? ?a≠0, ②A中没有元素,此时应有? ? ?Δ=4-4a<0,

得a>1.

∴a的取值范围是a≥1,或a=0.

规律技巧

分类讨论在中学数学中有着极其重要的地位,

在今后的学习中,经常用到分类讨论思想解决问题.要体会为 什么要分类讨论,分类的标准是什么,如何做到不重复、不遗 漏.

【例4】 设函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R) 的最小值为g(t),求g(t)的表达式. 【分析】 画出函数f(x)的图象,利用运动的观点对t分类

讨论,求得g(t)的表达式.

【解】 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1. ①当t+1≤1,即t≤0时,由下图知,截取减区间上的一 段,g(t)=f(t+1)=t2+1.

②当t≤1<t+1,即0<t≤1时,恰巧将顶点截取在内,则g(t) =f(1)=1(见下图).

③当t>1时,由下图知,截取增区间上的一段,则 g(t)=f(t)=t2-2t+2.

?t2+1 ?t≤0?, ? 综上可知:g(t)=?1 ?0<t≤1?, ?t2-2t+2 ?t>1?. ?

规律技巧

从运动的观点来看,令区间[t,t+1]从左向右

沿x轴正方向运动,截取抛物线上的相应三部分,减函数部 分,包含对称轴部分,增函数部分,对应三种情况画三个图 象,使问题直观清晰.

3.等价转化的思想 数学问题中,已知条件是结论成立的保证.但有的问题已 知条件和结论之间距离比较大,难于解出.因此,如何将已知 条件经过转化,逐步向所求结论靠拢,这是解题过程中经常要 做的工作.变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替,使 得原条件中的隐含的因素显露出来,使各种关系明朗化,从而 缩短已知条件和结论之间的距离,找出它们之间的内在联系, 以便应用数学规律、方法将问题予以解决.

【例5】 已知f(x)=x5+ax3-bx-8,f(-2)=10,求f(2) 的值. 【分析】 从函数f(x)结构特征来看,该问题可转化为函

数的奇偶性来解.

【解】

令g(x)=x5+ax3-bx,则g(x)是奇函数,此时g(-

2)=-g(2),于是f(-2)=g(-2)-8, ∴g(-2)=f(-2)+8=18. ∴f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-18-8=-26.

【例6】 已知定义域为(-2,2)的奇函数y=f(x)是增函 数,且f(a-3)+f(9-2a)>0,求a的取值范围. 【分析】 求a的取值范围,实际上就是求不等式f(a-3)

+f(9-2a)>0的解.而该不等式含有运算法则f,需要根据题 设,去掉f,转化为普通的不等式求解.

【解】 ∵f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数, ∴f(a-3)+f(9-2a)>0 ?f(a-3)>-f(9-2a)=f(2a-9). 又f(x)在(-2,2)上为增函数, ?-2<a-3<2, ? ∴?-2<9-2a<2, ?a-3>2a-9, ? ? ?1<a<5, ?7 11 ??2<a< 2 , ? ? ?a<6,

7 ?2<a<5.

7 ∴a的取值范围是( ,5). 2

4.函数与方程的思想 函数思想是指用联系变化的观点分析问题,通过函数的形 式把问题中的数量关系表示出来,运用函数的概念、图象、性 质等对问题加以研究,使问题获得解决. 方程的思想是指将问题转化为方程或方程组,通过对方程 或方程组的讨论使问题得以解决.

函数与方程二者密不可分,二者可以相互转化,如函数解 析式y=f(x)可以看作方程y-f(x)=0,函数有意义则方程有 解;方程有解,则函数有意义.函数与方程体现了动与静、变 量与常量的辩证统一.

【例7】

2 ? ?x +bx+c 设f(x)=? ? ?2 ?x>0?.

?x≤0?,

若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的 个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

【解析】

由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,得 ∴b=4,c=2.

? ?16-4b+c=c, ? ? ?4-2b+c=-2,

∴当x≤0时,f(x)=x2+4x+2=x,解得 x=-1,或x=-2. 当x>0时,f(x)=2=x,∴x=2. ∴f(x)=x的解的个数为3,应选C.

【答案】 C

误区警示

在函数转化为方程的过程中审题不清,丢掉x

=2这个解,错选B.

x-a 【例8】 已知函数f(x)= 2 是奇函数,求实数a,b x +bx+1 的值. 【分析】 一种思路是利用奇函数的定义,即f(-x)=-

f(x)恒成立解答;另一种思路是赋值法,列方程(组)解答.

【解】 解法一:∵函数f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0 x-a -x-a 恒成立,即 2 + =0恒成立. x +bx+1 x2-bx+1 化简得2(a+b)x2+2a=0对一切实数x恒成立, ∴a=b=0. 解法二:由题意知,f(0)=0,得a=0. ∴f(x)= x .∵f(x)为奇函数, 2 x +bx+1

∴f(-1)=-f(1),得b=0.

规律技巧

对于奇函数f(x),若f(0)有意义,则f(0)=0.

基本方法 1.配方法 【例9】 求下列函数的值域. (1)y=2x2-3x-1,x∈(1,+∞); 1 (2)y=x +x2+8(x≠0).
2

【解】

(1)∵y=2x

2

? 3?2 17 -3x-1=2?x-4? - 8 , ? ?

又∵x>1, 又f(x)在(1,+∞)上为增函数, 且f(1)=-2, ∴值域为(-2,+∞).
? 1?2 1 (2)∵y=x +x2+8=?x-x ? +10, ? ?
2

∴y≥10.故值域为[10,+∞).

规律技巧

对于二次函数求值域常用配方法.

2.分离常数法 3x-1 【例10】 求函数y= 的值域. x+1

【解】

3x-1 3?x+1?-4 4 y= = =3- . x+1 x+1 x+1

4 ∵ ≠0,∴y≠3. x+1 ∴值域为(-∞,3)∪(3,+∞).

3.换元法 【例11】 求函数y=x+ 1-2x-1的最大值.

【解】

1 设 1-2x=t,则x= (1-t2),t≥0. 2

1 12 1 2 ∴y=2(1-t )+t-1=-2t +t-2 1 =-2(t-1)2,t≥0. 1 ∵y=- 2 (t-1)2在[0,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函 数, ∴当t=1时,y取得最大值0. ∴函数y=x+ 1-2x-1的最大值为0.

规律技巧

形如y=ax+ bx+c 的函数求最值常用换元法.

令t= bx+c ,将原函数转化为二次函数,再求最值.换元后要 注意新变量的取值范围.

4.待定系数法 【例12】 求一个一次函数,使得f{f[f(x)]}=x+6.

【解】

设一次函数为f(x)=ax+b(a≠0),

则f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+ab+b, f{f[f(x)]}=a(a2x+ab+b)+b =a3x+a2b+ab+b. 由已知有a3x+b(a2+a+1)=x+6,
3 ? ?a =1, ∴? 2 ? ?b?a +a+1?=6,

? ?a=1, 解之得? ? ?b=2.

故所求一次函数为f(x)=x+2.

5.赋值法 【例13】 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为0的
? ?5?? 偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f ?f?2?? 的值 ? ? ??

是(

) A.0 C.1 1 B.2 5 D.2

解析 ∵xf(x+1)=(1+x)f(x),① 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴xf(x+1)=(1+x)f(-x).② 令x=0代入①,得f(0)=0; 1 1 ?1? 1 ?1? 令x=- 代入②,得- f?2?= f?2?, 2 2? ? 2? ?

?1? ∴f?2?=0; ? ?

1 1 ?3? 3 ?1? 再令x= 代入①,得 f?2?= f?2?, 2 2? ? 2? ?
?3? ∴f?2?=0; ? ?

3 3 ?5? 5 ?3? 再令x= 代入①,得 f?2?= f?2?, 2 2? ? 2? ?
?5? ∴f?2?=0. ? ? ? ? 5? ? ∴f?f?2??=f(0)=0.故选A. ? ? ??

规律技巧

对于抽象函数问题常用赋值法解决.


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