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平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式[1]


两点间的距离公式
白河一中 邓启超 教学目标与要求 1、知识与技能: (1)使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程; (2)使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题。 2、过程与方法 : 培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力 3、情感态度与价值观: 培养学生不断超越自我的创新品质 教学重点: (1)平面内两点间的距离公式; (2)如何建立适当的直角坐标

系 教学难点: 如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 教学过程: 第一课时 一、导入新课 1.平面上任给两点 A,B,通常用 AB 表示两点间的距离 2.已知平面上的两点 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 )如何求 AB 的距离 AB ? 二、新知探究 1、提出问题: (1) 如果 A、 B 是 X 轴上两点, C、 D 是 Y 轴上两点, 它们的坐标分别是 xA , xB , yC , yD , 那么 AB , CD 又怎么样求? 练习:已知数轴上 A、B 两点的横坐标 x 1 ,x 2 分别是 A:x 1 =8,x 2 =-1;B:x 1 =-4,x 2 =0;C:x 1 =2a-b,x 2 =a-2b 求 AB 和 BA (2)求 B(3, 4) 到原点的距离; (3) 已知平面上的两点 P 如何求 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 1, P 2的 距离 PP 1 2 。 2、解决问题 (1)画图形观察可得出: AB ? xA ? xB , CD ? yC ? yD ;

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(2) OM ? 3, BM ? 4 , 由勾股定理可求得 OB =5 (3)由图易知 PQ ? N1N2 ? x2 ? x1 1

PQ ? M1M 2 ? y2 ? y1 2
P P 1 P 2 ? 1 Q?
2 2 2

P 2 Q
2 2

? PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

3、讨论结果 (1) AB ? xA ? xB , CD ? yC ? yD ; (2)求 B(3, 4) 到原点的距离是 5; (3) PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

特殊的:当 x 1 =x 2 时, p1 p2 ? y1 ? y2 ; 当 y 1 =y 2 时, p1 p2 ? x1 ? x2 三、例题精讲 例 1、求下列两点间的距离。 (1) A(?1, 0), B(2,3) ; (2) A(4,3), B(7, ?1) 解: (1) AB ? (2) AB ?

? 2 ? 1? ? ?3 ? 0?
2 2

2

?3 2;
2

? 7 ? 4? ? ? ?1 ? 3?

?5
1 3 ) ,试判断△ABC 的形状。 2 2

例 2、已知△ABC 的三个顶点是 A(?1, 0), B(1, 0), C ( ,
2

2 ? ?1 ? ? 3 解:∵ AB ? 2 , AC ? ? ? 1? ? ? , ? 0 ? ? ? 3 ?2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 3? ? 1? ? BC ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? 1 ,有 AC ? BC ? AB ? ? ? 2 ? ? 2? ? 2

∴△ABC 是直角三角形。 四、课堂练习
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1, P74

练习 1

1、2

2,已知点 A(a+1,2)B(5,a)的距离为 2,求 a 的值。 五、课堂小结 通过本节课的学习,要求大家: (1)掌握平面内两点间的距离公式; (2)能灵活运用此公式解决一些简单问题; 六、课堂作业 1.P 76 习题 2-1 A 组 B组 2.P 97 复习题二 A 组 12、13 1(选作) 1

3.已知 ?ABC 中,A(-2,1) ,B(3-3) ,C(2,6) ,试判断 ?ABC 的形状 七、课后反思及作业反馈

第二课时 一,复习回顾 1,两点间的距离公式 PP 1 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

特殊的:当 x 1 =x 2 时, p1 p2 ? y1 ? y2 ;当 y 1 =y 2 时, p1 p2 ? x1 ? x2 2,利用两点间的距离公式判断三角形的形状 二,解析法的运用 例 1、 △ABC 中, D 是 BC 边上任意一点 (D 与 B, C 不重合) , 且 AD
2

? BD ? DC ? AB ,

2

求证:△ABC 为等腰三角形。 证明:作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 所在直线为 X 轴,以 OA 所在直线为 Y 轴,建立 直角坐标系, 设 A ? 0, a ? ,B ? b, 0 ? ,C c ? c,0? ,D ? d ,0? 因为 AD
2

? BD ? DC ? AB ,

2

所以,由两点间距离公式可得

b2 ? a2 ? d 2 ? a2 ? (d ? b)(c ? d )
? ?(d ? b)(d ? b) ? (d ? b)(c ? d )
又d ?b ? 0 故 ?b ? d ? c ? d 即 ?b ? c

所以 AB ? AC ,即△ABC 为等腰三角形。
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1, 解析法:根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这种方法叫 做坐标的方法,也称为解析法。 2, 本体如果以 B 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,结论如何证明呢?如果以 BC 所在直线为 x 轴,以 BC 的中线为 y 轴,又该 如何证明。 例 2、 (P98 第 7 题)为了绿化城市,准备在如图所示 的的区域内修建一个矩形 PQRC 的草坪,且 PQ//BC, RQ ? BC,另外 ?AEF 的内部有有一文物保护区不能 占用,经测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m, 应如何设计才能使草坪的占地面积最大? 三,课堂小结 如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题? 四,作业,练习设计 1,课本 P77 B 组 1,2 2,求证:直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。 五,课后反思和作业反馈

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