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8.3第一课时一元一次不等式组


动脑筋

问题:现有两根木条a和b,a长10cm,b长3cm,如果 再找一根木条c,用这三根木条钉成一个三角形木框, 那么对木条c的长度有什么要求? 解:由题中的条件可得,

? c ? 10 ? 3

c ? 10 ? 3

你认为一元一次不等式组是如何得到的呢?
7 ? c ? 13

几个一元一次不等式合起来就组成一元一次不等式组

解不等式组得,

若c的长为整数,c可能的取值为 8cm,9cm,10cm,11cm,12cm。

探索与观察

3? x ?5
① 的解集与组成它的不等式① 、 ②

?x ? 3 运用数轴,探索不等式组? ?x ? 5
动手操作:

②的解集有什么联系?

在同一数轴上分别表示出不等式① 、②的解集。

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

注意:

在数轴上表示不等式的解集时应注意:
一般地,几个不等式的解集的公共部分, 叫做由它们所组成的不等式组的解集。解不 等式组就是求它的解集。

认真观察:根据数轴你能看出不等式组的解集吗?它与不等式组中 各不等式① 、②的解集有何联系? 类似于方程组,不等式组的解集是组成它的各不等式解集的公共部分 .

大于向右画,小于向左画;有等号的画实心 圆点,无等号的画空心圆圈.

做一做,看谁快
x?3 x ? 4 x ? 9 的解集是:___________ x ?1 不等式 2 x ? x ? 1 的解集是:_____________
不等式 猜猜看,不等式组

?x ? 4 x ? 9 ? ?2 x ? x ? 1

① ②

的解集是什么?

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

从上图可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的

x ?1 解 集是:___________
根据上题的解答过程你认为解一元一次不等式组的一般步骤是什么?

试一试
你能找到下面几个不等式组的解集吗?
不等式组 数轴表示 解集(即公共部分)

? x ? ?1 ? ?x ? 2
-1 0 1 2 3

?1 ? x ? 2

? x ? ?1 ? ?x ? 2

-1

0

1

2

3

x ? 2

? x ? ?1 ? ?x ? 2

x ? ?1
-1 0 1 2 3

?x ? 2 ? ? x ? ?1

无解
-1 0 1 2 3

你会了吗?试试看 例1:解下列不等式组
?2 x ? 1 ? x ? 1 ⑴? ?x ? 8 ? 4x ?1
解: 解不等式①,得, 解不等式②,得, ① ②

x?2

?2 x ? 3 ? x ? 11 ? ⑵ ? 2x ? 5 ? 3 ?1 ? 2 ? x ?
解: 解不等式①,得,x

① ②

?8
4 5

x?3

解不等式②,得,x ?

把不等式①和 ②的解集在数轴 上表示出来:

把不等式①和 ②的解集在数轴上 表示出来:

0

2

3

0

4 5

8

所以不等式组的解集: x

?3

这两个不等式的解集没有公共 部分,所以不等式组无解。

比一比,看谁 又快又好
?2 x ? 1 ? x ? 1 ⑴? ?x ? 2 ? 4x ?1
解下列不等式组 ① ②



? x ? 3? x ? 2 ? ? 4 ? ?1 ? 2 x ? x ?1 ? 3 ?




解:解不等式①,得, x ? 2 解不等式②,得, x ? 1 把不等式①和 ②的解集在数轴 上表示出来:

解:解不等式①,得,

x ?1 解不等式②,得,x ? 4

把不等式①和 ②的解集在数轴 上表示出来:

0 0 1 2

1

2

3

4

所以不等式的解集

:

x?2

所以不等式的解集

:

1? x ? 4

让我们一起动脑,共同完成:
试求不等式组

? x ? 2 ? 0  ① ? ? x ? 3 ? 0  ② ? x ? 6 ? 0  ③ ?

的解集.

解:解不等式①,得 x > - 2
解不等式②,得 x > 3

动手画一画, 一起找一找。

解不等式③,得 x ≤ 6 把不等式①、②、③的解集表示在同一数轴上,如下图







-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

所以,不等式组的解集是3 < x ≤ 6。

一元一次不等式组的解集的确定规律
? x ? ?1 (同大取大) ? ?x ? 2
? x ? ?1 ? ?x ? 2
? x ? ?1 ? ?x ? 2

(同小取小)
(“大”小“小”大中间找)

? x ? 2 (“大”大“小”小无解 ? ? x ? ?1了)

设a、b是已知实数且a>b,那么不等式组
不等式组 数轴表示 解集(即公共部分)

?x ? a ? ?x ? b

X>a
b a

? x? a ? ? x? b

b<X<a
b a

? x? a ? ? x ?b

X<b
b a

? x? a ? ? x ?b

无解
b a

练习一 1、关于x的不等式组

?x ? 8 ? ?x ? m
C、m<8 D、m≤8

有解,那么m的取值范围是( C ) A、m>8 2、如果不等式组 B、m≥8

? x ? a的解集是x>a,则a_______b。 > ? ?x ? b

例1.若不等式组

有解,则m的取值范围是______。
这中间的m当作数轴上 的一个已知数

解:化简不等式组得

因为不等式组有解,所以有 根据不等式组解集的规律,得

0

m

1

3/2

2

? x? 2 ? 2.已知关于x不等式组 ? x ? ? 1 无解,则a的取值范围是____ ? x? a ?
解:将x>-1,x<2在数轴上表示出来为

-1



要使方程无解,则a不能在-1的右边,及a≤-1

练习二

?5 ? 2 x ? ?1 a>3 无解,则a的取值范围是___ 1.已知关于x不等式组 ? ? x?a ?0
2.若不等式组

?2 x ? 3 ? 0 ? ? x?m

m ≥1.5 有解,则m的取值范围是__________。

2、关于x的不等式组

?x ? 2 ? 1 ? ?x ? a ? 0

的解集为x>3,则a的取值范围是( A )。 A、a≥-3 B、a≤-3 C、a>-3 D、a<-3

例2(1 ).若不等式组

? x ? 2? m ① ? ? x ? 1? n ②
这里是一个含x的一 元一次不等式组,将 m,n看作两个已知数, 求不等式的解集

的解集是-1<x<2,则m=____, n=____.
解: 解不等式①,得,x>m-2 解不等式②,得,x < n + 1

因为不等式组有解,所以 又因为 < <

m-2 <x< n + 1 -1<x<2


-1

m-2

x ,

m-2= -1

n+1 n+1=2

所以,

m=1



n=1

x?m?n ? (2)已知关于x的不等式组 ? ?2 x ? m? 2n ? 1
的解集为3≤x<5, 则n/m=
这里也是一个含x的一元 一次不等式,将m,n看作 两个已知数

解: 解不等式①,得,x≥m+n 解不等式②,得,x < (2n+m+1)÷2

因为不等式组有解,所以 m+n≤ x < ( 2n+m+1 )÷2 又因为 所以 3≤x<5 解得

? m?n ?3 ? 2n ? m ? 1 ? ?5 ? 2 ?
n/m=4

?n ? 4 ? ?m ? 1

所以

例3.若

2?x ? 1? ? 5 < 3?x ? 1? ? 4

的最小整数是方程

1 x ? mx ? 5 的解,求代数式 m 2 ? 2m ? 11 的值。 3
解:2(x+1)-5<3(x-1)+4 解得x >-4

方法: 1.解不等式,求最小 整数x的值; 2.将的值代入一元一 次方程 求出m的值. 3.将m的值代入含m 的代数式

由题意x的最小整数解为x =-3
将x =-3代入方程

1 x ? mx ? 5 3
m=2

解得

将m=2代入代数式

m 2 ? 2m ? 11 = - 11

练习三

? x? 3a ? 2 的解集为x>3a+2,则a的 1.不等式组 ? ? x? a ? 4
取值范围是 。

2.k取何值时,方程组

? x ? y ? 2k ? ? x? y ?4

中的x大于1,y小于1。

5 x ? 3m m 15 ? ? 3.m是什么正整数时,方程 的解是非负数 4 2 4

x?a ?0 4.关于x的不等式组 ? 的整数解共有5个,则a ? ?3 ? 2 x? ? 1
。 的取值范围是

(一)概念
1. 由几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一 元一次不等式组
2. 几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们 所组成的一元一次不等式组的解集. 3. 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.

(二)解简单一元一次不等式组的方法:
(1) 求出不等式组中各个不等式的解集 (2) 利用数轴找出这几个不等式解集的公共部分 即求出了不等式组的解集 (找不到公共部分则不等式组无解)


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