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第3讲 等比数列及其前N项和


1.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=( ) n n 3 2 ? ? A.4×? B.4×? ?2? ?3? n-1 3?n-1 ?2? C.4×? D . 4 × ?2? ?3? 3?n-1 3 解析:选 C.(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,a1=4,q= ,故 an=4×? ?2? . 2 2.(2015· 山东淄博期末)已知等

比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a2 5,a2=2,则 a1 =( ) 1 2 A. B. 2 2 C. 2 D.2 2 解析:选 C.由等比数列的性质得 a3a9=a6 =2a2 5, ∵q>0, a6 a2 ∴a6= 2a5,q= = 2,a1= = 2,故选 C. a5 q 3.已知数列{an}满足 1+log3an=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log1(a5+a7+a9)
3

的值是( ) 1 1 A. B.- 5 5 C.5 D.-5 解析:选 D.由 1+log3an=log3an+1(n∈N*),得 an+1=3an,即数列{an}是公比为 3 的等比 数列.设等比数列{an}的公比为 q,又 a2+a4+a6=9,则 log1(a5+a7+a9)=log1[q3(a2+a4+
3 3

a6)]=log1(33×9)=-5.
3

4.(2015· 四川广元质检)等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an} 的前 4 项和 S4=( ) A.-20 B.15 15 20 C. D. 2 3 解析:选 C.因为 an+2+an+1=6an, 所以 q2+q-6=0, 1 即 q=2 或 q=-3(舍去),所以 a1= . 2 1 (1-24) 2 15 则 S4= = . 2 1-2 5.已知数列{an},则有( ) n * A.若 a2 n=4 ,n∈N ,则{an}为等比数列 * B.若 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,则{an}为等比数列 + C.若 am·an=2m n,m,n∈N*,则{an}为等比数列 D.若 an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,则{an}为等比数列 n * 解析:选 C.若 a1=-2,a2=4,a3=8,满足 a2 n=4 ,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 * A 错;若 an=0,满足 an·an+2=a2 n+1,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 B 错;若 an=0, + * 满足 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 D 错;若 am·an=2m n,m,n + + am·an+1 an+1 2m n 1 ∈N*,则有 = = m+n =2,则{an}是等比数列. an am·an 2

6. (2013· 高考北京卷)若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 解析:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则: 由 a2+a4=20 得 a1q(1+q2)=20.① 由 a3+a5=40 得 a1q2(1+q2)=40.② 由①②解得 q=2,a1=2. a1(1-qn) 2(1-2n) n+1 故 Sn= = =2 -2. 1-q 1-2 + 答案:2 2n 1-2 7.(2014· 高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+…+ln a20=________. 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e5, 所以 a10a11=e5. 所以 ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln[(a1a20)· (a2a19)· …· (a10a11)]=ln(a10a11)10 =10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=1(n∈N*),则通项公式 an=________. 解析:∵an+Sn=1,① 1 ∴a1= , 2 an-1+Sn-1=1,(n≥2)② an 1 ①-②可得 an-an-1+an=0,即得 = , an-1 2 1 1 ∴数列{an}是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 2 1 ?1?n-1 1 则 an= ×?2? = n. 2 2 1 答案: n 2 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, ?a1+d=2 ? 则由已知得? , ? ?a1+4d=8 ∴a1=0,d=2. ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4. ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数, ∴q=2. b1(1-qn) 1×(1-2n) n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 10.(2015· 陕西宝鸡质检)已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证:{an+1+2an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2), ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又 a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15, ∴an+2an-1≠0(n≥2),

an+1+2an =3(n≥2), an+2an-1 ∴数列{an+1+2an}是以 15 为首项,3 为公比的等比数列. - (2)由(1)得 an+1+2an=15×3n 1=5×3n, 则 an+1=-2an+5×3n, + ∴an+1-3n 1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2,∴an-3n≠0, ∴{an-3n}是以 2 为首项,-2 为公比的等比数列. - ∴an-3n=2×(-2)n 1, - 即 an=2×(-2)n 1+3n(n∈N*). ∴ 2.(2015· 广东珠海质量监测)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有 偶数项和 S 偶=-126,末项是 192,则首项 a1=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 C.设等比数列{an}共有 2k+1(k∈N*)项,则 a2k+1=192,则 S 奇=a1+a3+…+ 1 1 126 a2k-1+a2k+1= (a2+a4+…+a2k)+a2k+1= S 偶+a2k+1=- +192=255,解得 q=-2,而 q q q a1-a2k+1q2 a1-192×(-2)2 S 奇= = =255,解得 a1=3,故选 C. 1-q2 1-(-2)2 4.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 1 a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 2 1 1 解析:由条件得:f(n)· f(1)=f(n+1),即 an+1=an· ,所以数列{an}是首项与公比均为 2 2 n 1 1 ? 的等比数列,求和得 Sn=1-? ?2? ,所以2≤Sn<1. 1 ? 答案:? ?2,1? 1 5.(2015· 江西南昌模拟)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 项和为 Sn, 2 且 a4+S4,a5+S5,a6+S6 成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式; (2)对 n∈N*,在 an 与 an+1 之间插入 3n 个数,使这 3n+2 个数成等差数列,记插入的这 3n 个数的和为 bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)因为 a4+S4,a5+S5,a6+S6 成等差数列, 所以 a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 即 2a6-3a5+a4=0, 所以 2q2-3q+1=0, 因为 q≠1, 1 所以 q= , 2 1 所以等比数列{an}的通项公式为 an= n. 2 an+an+1 n (2)bn= ·3 2 n 3 3? = ? , 4?2? 3 ?3?n+1 - 3 2 ?2? Tn= × 4 3 1- 2

9 3 n = ??2? -1?. 4?? ? ?


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