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2004-2013上海历年高考数立体几何大题-理


2004-2013 上海历年高考数立体几何大题-理
(2004 上海)21、(本题满分 16 分) 第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6分 如图,P-ABC 是底面边长为 1 的正三棱锥,D、 E、 F 分别为棱长 PA、 PB、 PC 上的点, 截面 DEF∥ 底面 ABC, 且棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和

相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度 之和) (1) 证明:P-ABC 为正四面体; (2) 若 PD=

1 PA, 求二面角 D-BC-A 的 2

大小;(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台 DEF-ABC 的体积为 V, 是 否存在体积为 V 且各棱长均相等的直 平行六面体,使得它与棱台 DEF-ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造 出这样的一个直平行六面体,并给出证 明;若不存在,请说明理由. 【证明】(1) ∵棱台 DEF-ABC 与棱锥 P-ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面 DEF∥底面 ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体. 【解】(2)取 BC 的中点 M,连接 PM,DM.AM. ∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面 PAM,BC⊥DM, 则∠DMA 为二面角 D-BC-A 的平面角. 由(1)知,P-ABC 的各棱长均为 1, ∴PM=AM=

3 ,由 D 是 PA 的中点,得 2
AD 3 3 ,∴ ?DMA ? arcsin . ? AM 3 3

sin ?DMA ?

(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台 DEF-ABC 的棱长和为定值 6,体积为 V.

1 ,底面相邻两边夹角为 ? , 2 1 则该六面体棱长和为 6, 体积为 sin ? ? V . 8
设直平行六面体的棱长均为 ∵正四面体 P-ABC 的体积是 故构造棱长均为

2 2 ,∴ 0 ? V ? , 0 ? 8V ? 1 .可知 ? ? arcsin(8V ) 12 12

1 ,底面相邻两边夹角为 arcsin(8V ) 的直平行六面体即满足要求. 2

(2005 上海)17. (本题满分 12 分)已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 ,底 面 ABCD 是直角梯形,∠A 是直角,AB||CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解法一]由题意 AB//CD,? ?C1 BA 是异面直线 BC1 与 DC 所成的角. 连结 AC1 与 AC,在 Rt△ADC 中,可得 AC ? 5 , 又在 Rt△ACC1 中,可得 AC1=3. 在梯形 ABCD 中,过 C 作 CH//AD 交 AB 于 H, 得 ?CHB ? 90?, CH ? 2, HB ? 3,?CB ? 13 又在 Rt?CBC1 中,可得 BC1 ? 17 , 在 ?ABC1中, cos?ABC1 ?

AB2 ? BC12 ? AC12 3 17 3 17 ? ,? ?ABC1 ? arccos . 2 AB ? BC1 17 17
3 17 . 17

∴异而直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

[解法二]如图,以 D 为坐标原点,分别以 AD、DC、DD1 所在直线为 x、y、z 轴建立直 角坐标系. 则 C1(0,1,2) ,B(2,4,0) ? BC1 ? (?2,?3,2),

CD ? (0,?1,0),设BC1与CD 所成的角为 ? ,
则 cos? ?

BC1 ? CD | BC1 || CD |

?

3 17 3 17 .? ? arccos , 17 17

∴异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为 arccos

3 17 . 17

(2006 上海)19. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形。 ∠ DAB = 60°,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO ? 平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°。 (1) 求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2) 若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所 成角的大小(结果用反三角函数值表示) 。
(3) [解](1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 (4) ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. (5) 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, (6) 于是,PO=BOtg60°= (7) (8) (9) (2)解法一:以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、 (10) OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 (11) 空间直角坐标系.

3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . 1 ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V= ×2 3 × 3 =2. 3

3 ,于是,点 A、B、 (13) D、P 的坐标分别是 A(0,- 3 ,0), (14) B (1,0,0), D (-1,0,0), P (0,0, 3 ).
(12) 在 Rt△AOB 中 OA= (15) E 是 PB 的中点,则 E(

1 2

,0,

3 ) 2

于是 DE =(

3 2

,0,

3 ), AP =(0, 2

3 , 3 ).

(16) 设 DE 与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ=

3 2 2 ? 4 9 3 ? ? 3?3 4 4

,θ=arccos

2 4

,

(17) ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

2 4



(18) 解法二:取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. (19) 由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, (20) ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 (21) 角(或它的补角), (22) 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= (23) 于是, 在等腰 Rt△POA 中, (24) PA=

3 =OP,

6 ,则 EF=

6 . 2

(25) 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=

3,

(26)

1 6 EF 2 ? 4 cos∠FED= DE 3

=

2 4 2 4
.

(27) ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

(2007 上海)16. (本题满分 12 分) 如图,在体积为 1 的直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90? , 直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

AC ? BC ? 1 .求

C1

B1

A1
解法一: 由题意,可得体积
1 1 V ? CC1 ?S△ ABC ? CC1 ? ?AC ?BC ? CC1 ? 1, 2 2

C

? AA1 ? CC1 ? 2 .
连接 BC1 . ? A1C1 ? B1C1,A1C1 ? CC1 ,

B

A

? A1C1 ? 平面 BB1C1C , ? ?A1 BC1 是直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角.
BC1 ? CC1 ? BC 2 ? 5 ,
2

? t an ?A1 BC1 ?

A1C1 1 5 ? ,则 ?A1 BC1 = arctan . 5 BC1 5
5 . 5
z
C1
B1

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arctan 解法二: 由题意,可得
1 1 体积 V ? CC1 ?S?ABC ? CC1 ? ?AC?BC ? CC1 ? 1, 2 2

? CC1 ? 2 ,
1, 0) , 如图,建立空间直角坐标系. 得点 B( 0,

A1

???? C1 ( 0,, 0 2) , A1 (1,, 0 2 ) . 则 A1B ? ( ? 1 , 1, ? 2) ,

C

B

y

x

A

? 平面 BB1C1C 的法向量为 n ? (1,, 0 0) .

设直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成的角为 ? , A 1B 与 n 的夹角为 ? ,
???? ? 6 6 A1 B?n 6 则 cos ? ? ???? , ? sin ? ?| cos? |? , , ? ? arcsin ? ?? 6 6 6 A1 B ? n

即直线 A1 B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin

6 . 6

E 是 BC1 的中点。求 (2008 上海)16.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). [解] A1

D1 B1 E D A B

C1

C

(2008 上海)17. (本题满分 13 分) 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB 。小区的两个出入口设置在点
o

A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 。已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径

OA 的长(精确到 1 米)
C A D O B

(2009 上海)19(本题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小。
【解】如图,建立空间直角坐标系 则 A(2,0,0) 、 C(0,2,0) A1(2,0,2) , ……2 分 BM⊥CC1;
A A1

B1

C1

B1(0,0,2) 、C1(0,2,2) 设 AC 的中点为 M,∵BM⊥AC,

B

C

???? ? ∴BM⊥平面 A1C1C,即 BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量。 ……
5分 设平面 A1B1C1 的一个法向量是 n ? ( x, y, z)

?

=(x,y,z) , ……7 分

???? , AC 1 =(-2,2,-2)

???? ? A1B1 =(-2,0,0)

z
B1 A1 C1

? ??? ? ? ???? ? n ? AB ? ?2 x ? 0, n ? AC ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, 令z ? 1, 解得x ? 0, y ? 1 1 ? ? n ? (0,1,1)...................10分
? ???? ? ? ? 设法向量 n与BM 的夹角为 ? ,二面角 B1 ? AC 1 ? C1 的大小为 ,显然
为锐角

B A M

C

y

x

? ???? ? n ? BM 1 ? ? cos ? ? cos ? ? ? ???? ? ? , 解得? ? 2 3 n BM …………………….14 分 ? 二面角B1 ? A1C ? C1的大小为

?
3

(2010 上海) 21、 (本大题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题 满分 8 分. 如图所示, 为了制作一个圆柱形灯笼, 先要制作 4 个全等的矩形骨架, 总计耗用 9.6 米铁丝, 骨架把圆柱底面 8 等份,再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面). (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该 最大值(结果精确到 0.01 平方米); (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼 的底面半径为 0.3 米时,求图中两根直线 A1B3 与 A3 B5 所在异面直线

所成角的大小(结果用反三角函数表示) 解析:(1) 设圆柱形灯笼的母线长为 l,则 l?1.2?2r(0<r<0.6),S??3?(r?0.4)2?0.48?, 所以当 r?0.4 时,S 取得最大值约为 1.51 平方米; ????? (2) 当 r?0.3 时 , l?0.6 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 可 得 A1B3 ? (?0.3,0.3,0.6) ,

????? ? A3 B5 ? (?0.3, ?0.3,0.6) ,
????? ????? ? ????? ????? ? A1 B3 ? A3 B5 2 ? ? , 设向量 A1B3 与 A3 B5 的夹角为?,则 cos ? ? ????? ????? | A1 B3 | ? | A3 B5 | 3

2 所以 A1B3、A3B5 所在异面直线所成角的大小为 arccos . 3

(2011 上海)21. (本大题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第二小题满分 8 分) 已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 为 AC 1 1 与 B1 D 1 的交点. ( 1 )设 AB1 与底面 A1 B1C1 D1所成角的大小为 ? ,二面角
A B D C

A ? B1 D1 ? A 1 的大小为 ? .求证: tan ? ? 2 tan ? ;
( 2 ) 若 点 C 到 平 面 AB1D1 的 距 离 为

4 ,求正四棱柱 3
A1 B1 O1 D1 C1

ABCD ? A1B1C1D1 的高.

(2012 上海)19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD P 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, E AD=2 2 ,PA=2.求: A (1)三角形 PCD 的面积; (6 分) (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) B C [解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ……3 分 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

D

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2? 2 3 ? 2 3 . 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 , 1),

z P

……6 分

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE ? BC cos? ? | AE ? || BC | 4 2? 2 2

……8 分 B

E A C ……12 分 P D y

x 由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 F A B

?

2 2

,?= ? . 4

E D C

BC 与 AE 所成的角 ……8 分 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 ……12 分

(2013 上海)19.如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明 直线 BC′平行于平面 D′AC,并求直线 BC′到平面 D′AC 的距离.

解:如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1), C′(0,2,0),D′(0,0,0).

???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ???? 因为 D?A =(1,0,1), D?C =(0,2,1),n· D?A =0,n· D?C =0, ?u ? w ? 0, 所以 ? 解得 u=2v,w=-2v.取 v=1,得平面 D′AC 的一个法向量 n=(2,1,- ?2v ? w ? 0,
设平面 D′AC 的法向量 n=(u,v,w),则 n⊥ D?A ,n⊥ D?C . 2). 因为 BC? =(-1,0,-1),所以 n· BC? =0,所以 n⊥ BC? . 又 BC′不在平面 D′AC 内,所以直线 BC′与平面 D′AC 平行.

???? ?

???? ?

???? ?

??? ? ??? ? | n ? CB | | 2 ?1 ? 1? 0 ? (?2) ? 0 | 2 由 CB =(1,0,0), 得点 B 到平面 D′AC 的距离 d= = = , 3 |n| 22 ? 12 ? (?2)2
所以直线 BC′到平面 D′AC 的距离为

2 . 3


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