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高中数学三角函数题练习题


小测 5
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) , x ? R . 6 ⑴求 f ( x) 的最小正周期 T ; ⑵求 f (0) 的值; ⑶设 ? 是第一象限角,且 f (? ?

?
3

/>
)?

3 ,求 sin ? 的值. 5

17. (本小题满分 14 分) 如图 4,四棱锥 P ? ABCD 的俯视图是菱形 ABCD ,顶点 P 的投影恰好为 A . ⑴求证: BD ? PC ; ⑵若 AC ? 2a , BD ? 4a ,四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ? 2a 3 ,求 PC 的长.
P

A B

D

图4

C

18. (本小题满分 14 分) 某药厂测试一种新药的疗效,随机选择 600 名志愿者服用此药,结果如下: 治疗效果 人数 病情好转 400 病情无明显变化 100 病情恶化 100

⑴若另有一病人服用此药,请估计该病人病情好转的概率; ⑵现从服用此药的 600 名志愿者中选择 6 人作进一步数据分析, 若在三种疗 效的志愿者中各取 2 人,这种抽样是否合理?若不合理,应该如何抽样?(请写

出具体人数安排) ⑶在选出作进一步数据分析的 6 人中,任意抽取 2 人参加药品发布会,求抽 取的 2 人中有病情恶化的志愿者的概率.

19. (本小题满分 14 分)
P 是圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q ,若 PQ 中

点 M 的轨迹记为 ? . ⑴求 ? 的方程; ⑵若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 ? 相切,求直线 l 被圆 O 截得的弦长.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? 1. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵是否存在正整数 p 、 q ( p ? 1 且 q ? 1 )使 a1 、 a p 、 aq 成等比数列?若存 在,求出所有这样的 等比数列;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数. ⑴ ?a ? R ,试证明函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1 , f (1)) 处的切线经过定点; ⑵若函数 y ? f ( x) 图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围.

小测 6
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), (? ? 0, A ? 0, ? ? (0, 的部分图象如图所示,其中点 P 是图象的一个最高点。 (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 已知 ? ? (

?
2

)) .

?
2

, ? ) 且 sin ? ?

5 ? ,求 f ( ) . 13 2

17. (本小题满分 12 分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从 2014 年开始,将对二氧化碳排 放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税。检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各 抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km) 。

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km 。 (1) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过

130 g / km 的概率是多少?
(2) 求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角 形,D、 E、F 分别是 PC、AC、BC 的中点。 . (1) 证明:平面 DEF//平面 PAB; (2) 证明: AB ? PC ; (3) 若 AB ? 2PC ? 2 ,求三棱锥 P ? ABC 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 在正项等比数列 ?an ? 中,公比 q ? (0,1) , a3 ? a5 ? 5 且 a3 和 a5 的等比中项是 2. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若 bn ?

1 (log 2 a1 ? log 2 a2 ? n

? log 2 an ) ,判断数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 是否存在

最大值,若存在,求出使 Sn 最大时 n 的值;若不存在,请说明理由。

小测 7
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分 钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学 路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,
x

频率/组距

[20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] .
(1)求直方图中 x 的值; (2) 如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生可申请在学校 住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿.
0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

17. (本题满分12分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ? 10 , cos ?C ? (1)求边 AB 的长; (2)求 cos A 的值和中线 CD 的长.
B

2 5 ,点 D 是 AB 的中点. 5
A D

C

18.(本题满分14分)

ED ? 面 ABCD , ?BAD ? BDEF 是矩形, 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形,
(1)求证:平 面BCF / /面AED ; (2))若 BF ? BD ? a ,求四棱锥 A ? BDEF 的体积.
D A B E

?
3



F

C

19.(本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 单调区间; (2) 若函数 f ( x ) 在区间[1,2]上的最小值为 4 ,求 a 的值.

20.(本题满分14分) 已知 ?an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a , 恰为等比数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (用 a 表示) ; (2)若数列 {kn } 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn .

?an ? 的部分项 ak

1

、 ak2 、…、 akn

21.(本题满分14分) 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设 动直线 l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为直径 的圆记为圆 C . (1)求 p 的值; (2)证明:圆 C 与 x 轴必有公共点; (3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标; 若不存在,说明理由.

小测 8
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? π) 的图像经过点 ( (1)求 ? 的值; (2)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 2 ? b2 ? c2 ? ab , 且 f(

π , 1) . 12

A π 2 .求 sin B . ? )? 2 12 2

17.(本小题满分 12 分) 某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在 2013 年 11 月 11 日的的网购金额,所得 数据如下图(1) :

已知网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3:2 (1)试确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图(如图 4(2)) . (2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这 200 网友中,用分层抽样的方法从 网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定 5 人中进行问卷调查,若需从这 5 人中 随机选取 2 人继续访谈,则此 2 人来自不同群体的概率是多少?

18. (本小题满分 14 分) 如图 5,在平行四边形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=135°,∠C=60°,AB=AD,M,N 分别是边 AB,CD 上的点,且 2AM=MD,2CN=ND,如图 5,将△ABD 沿对角线 BD 折叠,使得 平面 ABD⊥平面 BCD,并连结 AC,MN(如图 6) 。 (1)证明:MN∥平面 ABC; (2)证明:AD⊥BC; (3)若 BC=1,求三棱锥 A-BCD 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 且 (1)求 (2)当 . ; 时,求 的最小值与最大值. 中, ,数列 前 n 项和为 Sn,


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