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广东省梅县东山中学2010-2011学年高一上学期期末考(数学)


广东梅县东山中学 2010-2011 学年度第一学期 高一数学期末测试题
2010-1-19

说明:1.本试卷共 20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟; 2.所有答案都必须写在答题卡上对应区域内,写在试卷上和其他地方的答 .. 案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只

有一项是符合题目要求的。 4? 1. 在 0 到 2? 范围内,与角 ? 终边相同的角是( ) 3 ? ? 2? 4? A. B. C. D. 3 3 6 3 2. 函数 f ( x) ? x ? 3 ? 7 ? x 的定义域是(
A. [3,7] B. (??,3] ? [7,??) ) C. [7,??) ) C. y ? sin 2 x ) D. y ? cos 4 x D. (??,3]

3. 下列函数中,周期为
A. y ? tan 4 x

? 的是( 2
B. y ? cos x

4 4. 已知 sin x = - ,且 x 在第三象限,则 tan x =( 5
A. 4 3 B. ? 4 3 C. 3 4

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D. ?

3 4


5. 在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC与BD 的交点, 下列结论中正确的是 (
A. AB ? CD, BC ? AD C. AO ? OD ? AC ? CD
2 1 1 1 1 5

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

B. AD ? OD ? DA D. AB ? BC ? CD ? DA

???? ????

??? ?

???? ????

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

1 6. 化简 (a 3 b 2 ) ? (?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果为( 3
A. 6 a B. ? a C. ? 9a



D. 9a

2

? ? ? ? 7. 已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a∥b ,则 x ? ( 2) 4)
A. ?

) D.2

1 2

B.

1 2

C. ? 2

?? ? 8. 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ?? ?
A.关于点 ? ,? 对称 0



?? ??

? ?

B.关于直线 x ?

? 对称 ? ? 对称 ?
) D. ?

C.关于点 ? ,? 对称 0

?? ??

? ?

D.关于直线 x ?

? ? ? ? 9. 若向量 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1, 2) ,则 c 等于(
A. ?

1? 3? a? b 2 2

B.

1? 3? a? b 2 2

C.

3? 1? a? b 2 2

3? 1? a? b 2 2

10. 已知函数 y ? ? sin
( A.9 )

?
3

x 在区间 ?0,t ? 上至少取得 2 个最大值,则正整数 t 的最小值是
B.10 C.11 D.12

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11. 已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) ,则 sin ? =
.

? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 12. 设 e1与e2 是两个不共线的向量,则 a ? 2e1 ? e2 与 b ? e1 ? ?e2 (? ? R) 共线时 ? 的值
为 . .
2

13. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 4 x ? 3) 的单调增区间为

14. 若3 ? sin x ? 2cos2 x ? a ? 0对?x ? R恒成立,则a的取值范围为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤。 sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) 15.( 12 分) 已知角 ? 是第三象限角,且 f (? ) ? tan( ? ? ) sin(?? ? ? ) ? (1)化简 f (? ) ; 3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. (2)若 cos( ? ? 2 5
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? 16. ( 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ), x ? R 4 (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f (x) 的图像可以由函数 y ? sin x( x ? R) 的图像经过怎样的变换得到?

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17. ( 14 分)已知二次函数 y ? f ( x)( x ?R) 的图象过点(0,-3) ,且 f ( x) ? 0 的解集 (1,3) .
(1)求 f (x) 的解析式; (2)求函数 y ? f (sin x ), x ? [0,

?
2

] 的最值.

18. ( 14 分)已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? , x ?R) 的部分图象如图 2 所 ?
2
示, (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求直线 y ? 3 与函数 f ( x) 图象的所有交点的坐标.

?

19.(14 分) f ( x) 是定义在 R 上的函数,对 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0, f (?1)=2 。 (1)求证: f ( x ) 为奇函数; (2)求证: f ( x ) 是 R 上的减函数;
(3)求 f ( x ) 在 ?-2, 上的最值。 4?

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20.(14 分) 定义:若函数 f (x) 对于其定义域内的某一数 x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是
f (x) 的一个不动点. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) .
(1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f (x) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下, y ? f (x) 图象上两个点 A、 的横坐标是函数 f (x) 的不动点, A、 若 B 且 B 的中点 C 在函数 g ( x ) ? ? x ?

a 的图象上,求 b 的最小值. 5a ? 4 a ? 1
2

(参考公式: A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的中点坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ?) 2 ? ? 2

梅县东山中学 2010-2011 学年度高一第一学期期末测试题 参考答案
一、选择题 1-5:CADAC 6-10:CDABC

二、填空题 11.

4 5

12. ?

1 2

13. ? ??,1?

14. ?4,???

三、解答题 15.(12 分) 解:(1) (2)∵ cos( ? ?

f (? ) ?

3? 1 )? , 2 5

sin ? ? cos ? ? (? tan ? ) = ? cos? ……………………(6 分) tan ? ? sin ? 1 ∴ sin ? ? ? , 又∵ ? 是第三象限角 5
∴ f (? ) = ? cos? =



cos? ? ?

2 6 5

2 6 5

……………………(12

分) 16.(12 分) 解: (1) T ? ? ; ……………………(2 分)

2 3? ? ? f ( x)的单调增区间为(k? ? , k? ? )(k ? Z ) 8 8
(6 分) (2)将函数 y ? sin x 图象向左平移 分) 再将图象上每一点的横坐标变成原来的

由2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?

得k? ?

3? ? ? x ? k? ? 8 8
……………………

? ?? ? 个单位,得到函数 y ? sin ? x ? ? 的图象;……(8 4 4? ?
1 ?? ? 倍,得到 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象; (10 分) 2 4? ?

最后将图象上每一点的纵坐标变成原来的 2 倍,得到 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

) 的图象 (12 分)

17.(14 分)解: (1)由题意可设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0)

……………………(2 分)

?图像过点(0,-3)
…(5 分)

? f (0) ? a ? (?1) ? (?3) ? ?3, 解得:a ? ?1 …………………
……………………(7

? f ( x) ? ?( x ?1)( x ? 3) ? ? x2 ? 4x ? 3 ,
分)

? f ( x) 的解析式为 f (x) = ? x 2 ? 4 x ? 3 .
分)
2 (2) y ? f (sin x) ? ? sin x ? 4sin x ? 3 ? ? ? sin x ? 2 ? ? 1 2

……………………(8

……………………

(10 分) 分)

? x ? [0, ] 2

?

?s i n ? [ 0 , 1 ] x

……………………(11

?当sin x ? 0时,ymin ? ?3;当sin x ? 1时,ymax ? 0
(14 分) 18.(14 分)解:(1)由图象得 A ? 2 , T ? 则? ? 分) 又 图像过点( , 2) 2
7π ? π ? ? ? ? ? ? 4π . 2 ? 2?

……………………

……………………(2 分) ……………………(4

2π 1 ?1 ? ? .故 f (x) ?2sin ? x ? ? ? . T 2 ?2 ?

?

1 ?π? ? 1 ? ? 2 s i n ( ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? 2 2 ?2? 2 2 2

?? ? 2k? ?
分)

?
4

,k ?Z

?? ?

?
2

?? ?

π . 4

……………………(7

π? ?1 ? f ( x) ? 2sin ? x ? ? 4? ?2

……………………(8

分)
π? ?1 (2)由条件知 3 ? 2sin ? x ? ? , 4? ?2

1 π π 1 π 2π x ? ? 2kπ ? (k ?Z) 或 x ? ? 2kπ ? (k ?Z) . 2 4 3 2 4 3 (11 分)


……………………

π 5π ? x ? 4kπ ? (k ?Z) 或 x ? 4kπ ? (k ?Z) . 6 6 分) π 5π ? ? ? ? ? 则所有交点坐标为 ? 4kπ ? , 3 ? 或 ? 4kπ ? ,3 ? (k ? Z) 6 6 ? ? ? ?
分)

……………………(12

……………………(14

19.(14分) (1)证明:f ( x)定义域为R 令x ? y ? 0, 则f (0) ? f (0) ? f (0), f (0) ? 0 ? ????????(2分)

令y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x),即0 ? f ( x) ? f (? x) ? f (? x) ? ? f ( x),即f ( x)为奇函数
(2)证明:任取x1, x2 ? R, 且x1 ? x2,则

????????(5分)
???????? (6分)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (?x1 ) ? f ( x2 ? x1 )

???????? (8分)

? x2 ? x1>0

? f ( x2 ? x1 ) ? 0

???????? (9分)

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0

即f ( x2 ) ? f ( x1 )

? f ( x)在R为减函数

???????? (10分)

(3)解: f (?1)=2 ?
? f ( x)为奇函数

? f (?2)=f (?1) ? f (?1) ? 4
? f (2) ? ? f (?2) ? ?4

???????? (11分)
? f (4)=f (2) ? f (2)=-8 ??????? (12分)

? f ( x)在?-2, 上为减函数 4?

? f ( x)max ? f (?2) ? 4, f ( x)min ? f (4) ? ?8?????? (14分)

20.(14 分)解: (1) f ( x) ? x 2 ? x ? 3 ,由 x ? x ? 3 ? x , 解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,所以所求的不动点为 ? 1 或 3. 分
2

……………………1 分 ……………………3

(2)令 ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 ①
2

由题意,方程① 恒有两个不等实根,所以 ? ? b 2 ? 4a(b ? 1) ? 0 , 分 即 b ? 4ab ? 4a ? 0对?b ? R 恒 成 立 , ……………………6 分
2
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……………………5



#



#



#



#

则 ?? ? 16a ? 16a ? 0 , ? 0 ? a ? 1 分 (3)依题意设 A( x1 , x1 ) , B( x2 , x2 ) ( x1 ? x2 )
2

……………………8 ……………………9



? x1 ? x2 x1 ? x2 ? , ? 2 ? ? 2 a 又 AB 的中点在直线 g ( x ) ? ? x ? 上 2 5a ? 4 a ? 1 x ?x x ?x a a ? 1 2 ?? 1 2 ? 2 x ∴ 1 ? x2 ? , 2 2 2 5a ? 4a ? 1 5a ? 4a ? 1
则 AB 中点 C 的坐标为 ? 10 分 又 x1 , x2 是方程① 的两个根,

……………………

b b a ? x1 ? x2 ? ? ,即 ? ? 2 , a a 5a ? 4 a ? 1 1 a2 1 b ∴ ?? 2 ==…………………… 2 1 5a ? 4a ? 1 ? 1 ? 2 ?1? ? ? ? 4? ? ? 5 ( a ? 2) ? 1 ?a? ?a?
12 分

?0 ? a ? 1

1 ? ?1 a 1 1 ? 2 即a ? 时,bmin= ? 1 ∴ 当 a 2


……………………14


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