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2014届高考数学一轮复习 第7章《立体几何》(第5课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 7 章《立体几何》 (第 5 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1. (2013·北京海淀区期末)已知平面 α 、 β , 直线 l, 若 α ⊥β , α ∩β =l, 则( ) A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α 、β 都垂直 解析:选 D.对于 A,垂直于平面 β 的平面与平面 α 平行或相交,故 A 错;对于 B,垂 直于直线 l 的直线与平面 α 垂直、斜交、平行或在平面 α 内,故 B 错;对于 C,垂直于平 面 β 的平面与直线 l 平行或相交,故 C 错;易知 D 正确. 2.(2012·高考浙江卷)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l∥α ,l⊥β ,则 α ⊥β C.若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l⊥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 解析:选 B.对于选项 A,两平面可能平行也可能相交;对于选项 C,直线 l 可能在 β 内也可能平行于 β ;对于选项 D,直线 l 可能在 β 内或平行于 β 或与 β 相交,故选 B. 3.(2013·洛阳统考)已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则 下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n B.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥β 解析:选 C.对于选项 A,若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n 或 m,n 是异面直线,所以 A 错误;对于选项 B,n 可能在平面 α 内,所以 B 错误;对于选项 D,m 与 β 的位置关系还可 以是 m? β ,m∥β 或 m 与 β 斜交,所以 D 错误;由面面垂直的性质可知 C 正确. 4.(2012·高考浙江卷)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在 的直线进行翻折,在翻折过程中,( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 解析:选 B.对于 AB⊥CD,因为 BC⊥CD,可得 CD⊥平面 ACB,因此有 CD⊥AC.因为 AB= 1,BC= 2,CD=1,所以 AC=1,所以存在某个位置,使得 AB⊥CD. 5.(2012·高考安徽卷)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 α ⊥β ,因为 α ∩β =m,b? β ,b⊥m,则根据两个平面垂直的性质定 理可得 b⊥α ,又因为 a? α ,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a, 但不能保证 b⊥α ,所以不能推出 α ⊥β . 二、填空题 6.

1

如图,∠BAC=90°,PC⊥平面 ABC,则在△ABC,△PAC 的边所在的直线中:与 PC 垂直 的直线有________;与 AP 垂直的直线有________. 解析:∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC; ∵AB⊥AC,AB⊥PC, ∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥AP.与 AP 垂直的直线是 AB. 答案:AB,B C,AC AB 7.已知 a、b 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列 四个命题: ①若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ; ②若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ; ③若 α ∥β ,a? α ,b? β ,则 a∥b; ④若 α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b. 其中正确命题的序号有________. 解析:垂直于同一直线的两平面平行,①正确;α ⊥β 也有可能成立,②错;a、b 也 可以异面,③错;由面面平行性质知,a∥b,④正确. 答案:① ④ 8.

如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边 都相等,M 是 PC 上的一 动点,当点 M 满足__________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件 即可) 解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD, 而 PC? 平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:D M⊥PC(或 BM ⊥PC 等) 三、解答题 9.

(2011·高考课标全国卷)如图 ,四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB =60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 解:(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 2 2 2 所以 BD +AD =AB ,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,所以 BD⊥PD.
2

所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)

如图,作 DE⊥PB,垂足为 E. 已知 PD⊥底面 ABCD,故 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD, 因为 BC∥AD, 所以 BC⊥BD. 所以 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC,即 DE 为棱锥 D-PBC 的高. 由 PD=AD=1 知 BD= 3,PB=2. 3 由 DE· PB=PD·BD 得 DE= , 2 所以棱锥 D-PBC 的高为 10. 3 . 2

(2012·高考安徽卷)如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 A1B1C1D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点. (1)证明:BD⊥EC1; (2)如果 AB=2,AE= 2,OE⊥EC1,求 AA1 的长 . 解:(1)证明:如图,连接 AC,A1C1,相交于点 O. 由底面是正方形知,BD⊥AC.

因为 AA1⊥平面 ABCD, BD? 平面 ABCD, 所以 AA1⊥BD. 又由 AA1∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AA1C1C. 再由 EC1? 平面 AA1C1C 知, BD⊥EC1. (2)设 AA1 的长为 h,连接 OC1. 在 Rt△OAE 中,AE= 2,AO= 2,
3

故 OE =( 2) +( 2) =4. 在 Rt△EA1C1 中,A1E=h- 2,A1C1=2 2, 2 2 2 故 EC1=(h- 2) +(2 2) . 2 2 2 在 Rt△OCC1 中,OC= 2,CC1=h,OC1=h +( 2) . 2 2 2 因为 OE⊥EC1,所以 OE +EC1=OC1, 2 2 2 2 即 4+(h- 2) +(2 2) =h +( 2) , 解得 h=3 2, 所以 AA1 的长为 3 2.

2

2

2

一、选择题 1.(2013·青岛质检)已知直线 l、m,平面 α 、β ,且 l⊥α ,m? β ,则 α ∥β 是 l ⊥m 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:

选 B.充分性:若 α ∥β ,∵l⊥α , ∴l⊥β , 又 m? β , ∴l⊥m, 是充分 条件; 必要性: 如图正方体 ABCD-A1B1C1D1, 取 ABCD 为平面 α ,ADD1A1 为平面 β ,直线 l 过点 B,B1,直线 m 过点 A,D,则符合条件,但不能推 出 α ∥β ,不是必要条件. 2.

如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP ⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( ) A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 解析:选 A.连接 AC、CB1、AB1(图略).易证 BD1⊥平面 AB1C.所以点 P 的轨迹是线段 B1C. 二、填空题 3.(2013·桂林质检)已知 l,m,n 为三条不同的直线,α 为一个平面,给出下列命题: ①若 l⊥α ,则 l 与 α 相交; ②若 m? α ,n? α ,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α ; ③若 l∥m,m∥n,l⊥α ,则 n⊥α ; ④若 l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则 l∥n. 其中正确命题的序号为________. 解析:由于垂直是直线与平面相交的特殊情况,故①正确;由于 m、n 不一定相交,故 ②不正确;根据平行线的传递性,故 l∥n,又 l⊥α ,故 n⊥α ,从而③正确;由 l∥m,m ⊥α ,n⊥α 知 m∥n,故 l∥n,故④正确.
4

答案:①③④ 4.

(2013·威海质检)如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长是 1,过 A 点作平面 A1BD 的 垂线,垂足为点 H,有下列三个命题: ①点 H 是△A1BD 的中心; ②AH 垂直于平面 CB1D1; ③AC1 与 B1C 所成的角是 90°. 其中正确命题的序号是________. 解析:由于 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,所以 A-A1BD 是一个正三棱锥,因此 A 点在平面 A1BD 上的射影 H 是三角形 A1BD 的中心,故①正确;又因为平面 CB1D1 与平面 A1BD 平行,所以 AH⊥平面 CB1D1,故②正确;因为 B1C⊥BC1,AB⊥B1C,且 AB∩BC1=B,所以 B1C⊥平面 ABC1, 即 AC1 与 B1C 垂直,所成的角等于 90°. 答案:①②③ 三、解答题 5.

如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明:(1)在△ABD 中,因为 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 所以 EF∥AD. 又 AD? 平面 ACD ,EF?平面 ACD, 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)在△ABD 中, 因为 AD⊥BD,EF∥AD,所以 EF⊥BD. 在△BCD 中,因为 CD=CB,F 为 BD 的中点, 所以 CF⊥BD. 因为 EF? 平面 EFC,CF? 平面 EFC, EF 与 CF 交于点 F,所以 BD⊥平面 EFC. 又因为 BD? 平面 BCD,所以平面 EFC⊥平面 BCD.

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