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1.3.2函数的奇偶性2


函数的奇偶性

永强中学

陈宪平

复习:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。

2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称。 它的图象关于y 轴对称。

☆注意:
(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
[-b,-a] o [a ,b] x

(2).奇、偶函数定义的逆命题也成立,即:

若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 奇函数

说明:根据奇偶性,

偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数

例1.判断函数f(x)=

√1-x2 |x+2|-2

的奇偶性。

☆ 说明:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立。

思考题:
1.已知y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则
y=f(x)在(0,+∞)上是 A.增函数 B.减函数 ( )

C.非单调函数 D.单调性不确定

2.已知偶函数y=f(x)在(0,4)上是增函数, 试比较f(-2),f(-3), f(1)的大小。

3.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)

例2.若( f x)=(k-2)x 2+(k-) 1 x + 3为偶函数, 求k的值。 例3.若( f x)为偶函数,当x ? 0时,( f x)=x 2+2 x, 求x ? 0时f ( x)的解析式.
若为奇函数呢?

例4、若f ( x)为奇函数,且(2)=0, f f ( x)在(0,+?)为增函数, 求x满足f ( x) ?0的取值范围。

练习:
1. 已知奇函数 y = f ( x ) 在其定义域上是增函数, 那么 y = f ( - x ) 在它的定义域上 ( B )
A . 既是奇函数,又是增函数. B . 既是奇函数,又是减函数. C . 既是偶函数,又是先减后增函数. D . 既是偶函数,又是先增后减函数.

练习2:

已知f ( x) g ( x)均为R上的奇函数, 判断下列函数的奇偶性。 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x) ? f ( x).g ( x) F ( x) ? f [ g ( x)]


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