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高中数学竞赛讲义十二


高中数学竞赛讲义(十二)
──立体几何

一、基础知识

公理 1 记作:a a.

一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,

公理 2

两个平面如果有一个公共点, 则有且只有一条通过这个点的公共直线, 即若 P

∈α

∩β ,则存在唯一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。

公理 3 平面.

过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个

推论 l

直线与直线外一点确定一个平面.

推论 2

两条相交直线确定一个平面.

推论 3

两条平行直线确定一个平面.

公理 4

在空间内,平行于同一直线的两条直线平行.

定义 1

异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间
0

任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 90 的角叫做两条 异面直线成角. 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线, 公垂线夹在两条 异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离.

定义 2

直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面

相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.

定义 3 面垂直.

直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平

定理 1

如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.

定理 2

两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.

定理 3

若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.

定理 4

平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面

平行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离.

定义 5

一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平

面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜 线在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.

结论 1

斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角.

定理 4

(三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 b,则 c a.逆定理:若 c a,则 c b.

a 内的一条直线,若 c

定理 5 平行

直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a

定理 6

若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b.

结论 2

若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b.

定理 7 个角相等.

(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两

定义 6 交.

平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相

定理 8

平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β .

定理 9

平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b.

定义 7

(二面角), 经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m, 称为二面角的
0

棱)所组成的图形叫二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上 任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP,BP,则∠APB(≤90 )叫做二面角的平面角.

它的取值范围是[0,π ].

特别地,若∠APB=90 ,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即α β .

0

定理 10

如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

定理 11 面内.

如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平

定理 12 直.

如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂

定义 8

有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形

的公共边(称为侧棱)都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱. 两个互相平行的面叫 做底面.如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面 是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是矩形的直棱柱叫做长方体. 棱长都相等的正四棱柱 叫正方体.

定义 9

有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公共顶点的三角形

的多面体叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥.

定理 13

(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则

V+F-E=2.

定义 10

空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几

何体叫做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心.

定理 14

如果球心到平面的距离 d 小于半径 R, 那么平面与球相交所得的截面是圆面,
2 2 2

圆心与球心的连线与截面垂直.设截面半径为 r,则 d +r =R .过球心的截面圆周叫做球大 圆.经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离.

定义 11

(经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬

线. 纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度. 用经过南极和北极 的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线, 经线所在的平面与本初子午 线所在的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经.

定理 15

(祖

原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的

任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.

定理 16

(三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个
0

角.其中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于 360 .

定理 17

(面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S 球面=4π R 。若一个圆

2

锥的母线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl.

定理 18

(体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球=

;若棱柱(或圆柱)的底面

积为 s,高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积

为 V=

定理 19

如图 12-1 所示, 四面体 ABCD 中, 记∠BDC=α , ∠ADC=β , ∠ADB=γ , ∠BAC=A, 平面 ABC 于 H。

∠ABC=B,∠ACB=C。DH

(1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。

(2)正弦定理:

(3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA.

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα .

(4)四面体的体积公式

DH?SΔ ABC

=

(其中 d 是 a1, a 之间的距离,

是它们的夹角)

SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。

二、方法与例题

1.公理的应用。

例1

直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。

[证明]

设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交, 两者确定一个平面, 设为 a. β .又过 b,d 的平面是唯一的,所以α ,β 是同一个平面,所以 a α .

又因为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β 。因为 A∈α ,所以 A∈β ,因为 B∈b,所 以 B∈β ,所以 d 同理 c α .即 a,b,c,d 共面。

例2

长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件?

[解]

充要条件。先证充分性,设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六边 平面 CC1D1D,又 O∈直线 SR,所以 O∈平
0

形截面,延长 PQ,SR 设交点为 O,因为直线 SR 面 CC1D1D,又因为直线 PQ

平面 A1B1C1D1,又 O∈直线 PQ,所以 O∈平面 A1B1C1D1。所以 O∈

直线 C1D1,由正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=60 ,所以Δ ORQ 为正三角形,因为 CD//C1D1,

所以

=1。 所以 R 是 CC1 中点, 同理 Q 是 B1C1 的中点, 又Δ ORC1≌Δ OQC1, 所以 C1R=C1Q,

所以 CC1=C1B1,同理 CD=CC1,所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证 明。

2.异面直线的相关问题。

例3

正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对?

[解]

每条棱与另外的四条棱成异面直线, 重复计数一共有异面直线 12×4=48 对, 而

每一对异面直线被计算两次,因此一共有

24 对。

例4

见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。

[解] 所以 A1C1

连结 AC,B1C,因为 A1A AC。

B1B

C1C,所以 A1A

C1C,所以 A1ACC1 为平行四边形,

所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性质 AB1=B1C=AC,所以∠ B1AC=60 。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 60 。
0 0

3.平行与垂直的论证。

例5 是矩形。

A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,求证:四边形 ABCD

[证明]

若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面,设过 A,B,C 的平面 α 于 D1,见图 12-4,连结 AD1,CD1,因为 AB AB,所以 AB
0

为α ,过 D 作 DD1 又 AB

AD1,又因为 DD1

平面α ,

α ,所以 DD1

平面 ADD1,所以 AB
2 2

AD1。同理 BC
2

CD1,所以 ABCD1 , 与

为矩形, 所以∠AD1C=90 , 但 AD1<AD,CD1<CD, 所以 AD +CD =AC = <AD +CD 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形。
2 2

例6

一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。

[证明] 所以 AE

见图 12-5,设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O,因为 AE 平面 ACD,所以 BF CD,所以 CD 平面 ABO,所以 CD AB, 又 AB PD 于

平面 BCD,

CD,BF

AB。设四面体 CD, 所以 AB 平面

另两条高分别为 CM, DN, 连结 CN, 因为 DN 平面 CDN,所以 AB CDN,所以 AB

平面 ABC, 所以 DN

CN。设 CN 交 AB 于 P,连结 PD,作 ,所以 平面 ABD,即

,因为 AB

为四面体的高,所以

与 CM 重合,

所以 CM,DN 为Δ PCD 的两条高,所以两者相交。

例7

在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,并使 AC=AD,见图 平面 BCDE。

12-6。求证:平面 ABE

[证明] 以 OM 所以 AO

取 BE 中点 O,CD 中点 M,连结 AO,OM,OD,OC,则 OM//BC,又 CD CD,所以 CD 平面 AOM,所以 AO

BC,所

CD。又因为 AC=AD,所以 AM

CD。又因为 AB=AE,

BE。 因为 ED≠BC, 所以 BE 与 CD 不平行, 所以 BE 与 CD 是两条相交直线。 所以 AO 平面 ABE。所以平面 ABE 平面 BCDE。

平面 BC-DE。又直线 AO

4.直线与平面成角问题。

例8

见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正
0

方形沿 EF 折成 120 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角。

[解]设边长 AB=2,因为 EF

AD,又 AD

AB。所以 EF

AB,所以 BG=



又 AE

EF,BE

EF,所以∠AEB=120 。过 A 作 AM

0

BE 于 M,则∠AEM=60 ,ME=

0



AM=AEsin60 =

0

.由余弦定理 MG =BM +BG -2BM?BGcos∠

2

2

2

MBG= BE,所以 EF 平面 AEB,所以 EF AM,又 AM

=2, 所以 MG= BE,所以 AM

因为 EF

AE, EF

平面 BCE。所以∠AGM 为 AG

与平面 EBCF 所成的角。而 tan∠AGM=

。所以 AG 与平面 EBCF 所成的角为

.

例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB

α 于 B,C 在α 内,且 AC

OC,∠AOC=

α ,∠AOB=β ,∠BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cosγ .

[证明]

因为 AB

α , AC

OC, 所以由三垂线定理, BC

OC, 所以 OAcosβ =OB,OBcos

γ =OC,又 RtΔ OAC 中,OAcosα =OC,所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ,所以 cosα =cosβ ?cos γ .

5.二面角问题。

例 10

见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=45 ,∠CSB=60 ,二面角 A—SB—C

0

0

为直角二面角,求∠ASC 的余弦值。

[解] 以平面 ASB 逆定理有 CN

作 CM

SB 于 M,MN

AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角,所 SB,所以 CM 平面 ASB,又 MN AS,所以由三垂线定理的

平面 BSC。又 CM

AS,所以 SC?cos∠CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB,所以 cos∠

ASC=cos45 cos60 =

0

0



例 11

见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点, 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

沿 CP 将此三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB=

[解]

过 P 作 PD

AC 于 D,作 PE

CP 交 BC 于 E,连结 DE,因为 A—CP—B 为直二面 CA,所以由三垂线定理知 DE
0

角,即平面 ACP

平面 CPB,所以 PE

平面 ACP,又 PD

AC,

所以∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。 设∠BCP=θ , 则 cos∠ECD=cosθ ?cos(90 -θ )=sin

θ cosθ ,由余弦定理 cos∠ACB=

,所以 sinθ cosθ =

,所以 sin2θ

=1.又 0<2θ <π ,所以θ =

,设 CP=a,则 PD=

a,PE=a.所以 tan∠PDE=

所以二面角 P—AC—B 的大小为



6.距离问题。

例 12

正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离。

[解]

以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P,Q 分别是 BC1,CA 上的点,



,各点、各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),

,所以

,所以

a×a+

a×a=0,

a×a-

a×a=0.所以

。 所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公垂线段,

所以两者距离为

例 13

如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为

的正三角形,棱 SC

的长为 2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离。

[分析]

取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化

为求点 C 到平面 SEF 间的距离。

[解]

设此距离为 h,则由体积公式

计算可得 SΔ SEF=3,

所以

7.凸多面体的欧拉公式。

例 14

一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个

顶点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V。

[解]

因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交于每个顶点,每个

顶点出发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每

个三角形面有三条棱,故三角形面有

个,类似地,五边形有

个,又因为每个面或者

是三角形或者是五边形,所以

=32,由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为

T=P=2,代入 V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V250。

8.与球有关的问题。

例 15

圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个?

[解]

最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球

O1 与球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6,……直到不能再放为止。

先计算过 O3O4 与过 O1O2 的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 设共装 K 层,则(22)R< R(K-1)+2R≤22R,解得 K=15,因此最多装 30 个。



9.四面体中的问题。

例 16

已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的
0

垂心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 30 ,SA=

。求三棱锥 S—ABC 的体积。

[解] 由题设,AH 故 SC CO

平面 SBC,作 BH

SC 于 E,由三垂线定理可知 SC

AE,SC

AB,

平面 ABE。 设 S 在平面 ABC 内射影为 O, 则 SO

平面 ABC, 由三垂线定理的逆定理知,

AB 于 F。同理,BO

AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ ,因为 CF AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由三垂
0

ABC 的中心,从而 SA=SB=SC= 线定理知,EF

AB,所以∠EFC 是二面角 H—AB—C 的平面角,故∠EFC=30 ,所以

OC=SCcos60 =

0

,SO=

tan60 =3,又 OC=

0

AB,所以 AB=

OC=3。所以 VS—

ABC

=

×3 ×3=

2



例 17 2d>h.

设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值, h 是四面体的最小高的长, 求证:

[证明] CN

不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h, AC 与 BD 间的距离为 d, 作 AF

BD 于点 F,

BD 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面

ACE,所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d, 作 EM AF 于 M, 则由 EC//平面 ABD 知, EM 为点 C 到面 ABD 的距离 (因 EM

面 ABD),于是 EM≥AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中,由 EM≥AH 得 EF≥AF。又因为Δ AEH

∽Δ FEG,所以

≤2。所以 2d>h.

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法, 请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有__________个.

2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙的__________条件。

3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则 点 P 运动的最大距离为__________。

4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心,G 为棱 CC1 中点, 直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α ,β 。则α +β =__________。

5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个。

6.CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将Δ ACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 60 ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。
0

7.已知 PA

平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC=

AB,则二面角 A—PC

—B 的大小为__________。

8.平面α 上有一个Δ ABC,∠ABC=105 ,AC= 使得 SA=SB=SC= ,TA=TB=TC=5,则 ST=_____________.

0

,平面α 两侧各有一点 S,T,

9.在三棱锥 S—ABC 中,SA

底面 ABC,二面角 A—SB—C 为直二面角,若∠BSC=45 ,

0

SB=a,则经过 A,B,C,S 的球的半径为_____________.

10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.

11.异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ,求证:α //β 。

12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示Δ ABC,Δ SBC,Δ SCA,Δ SAB 的面积,求证:

13. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, E 在棱 BB1 上, 截面 A1EC (2)若 AA1=A1B1,求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。

侧面 AA1C1C, (1) 求证: BE=EB1;

四、高考水平训练题

1.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N 为 B1C 与 BC1 的交点,平面 AMN 交 B1C1 于 P,



=_____________.

2.空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= 所成的角为_____________.

,且 AD

BC,BD=

,AC=

,则 AC 与 BD

3.平面α 且 CD

平面β ,α

β =直线 AB,点 C∈α ,点 D∈β ,∠BAC=45 ,∠BAD=60 ,

0

0

AB,则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_____________.

4.单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A—BD1—B1 大小为_____________.

5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上,点 B, C,D 都在α 上,且 AB=2AD,∠DAN=45 ,∠BAD=60 ,若◇ABCD 在半平面β 上射影为为菜, 则二面角α —MN—β =_____________.
0 0

6. 已知异面直线 a,b 成角为θ , 点 M, A 在 a 上, 点 N, B 在 b 上, MN 为公垂线, 且 MN=d, MA=m,NB=n。则 AB 的长度为_____________.

7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=45 ,过点 A 作截面与侧棱 SB,SC 分别交 于 M,N,则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________.

0

8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b,二面角 A—l2—B 大小为θ ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________.

9.在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦 PA,PB,PC,则 PA +PB +PC =_____________.
2 2 2

10.过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈α ,则∠BAC 与∠ B1A1C1 的大小关系是_____________.

11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=90 ,∠ABC=60 ,∠BAD=45 ,二面角 A—CD—B 为直 角二面角。(1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角;(2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角;(3)二面角 M—AE—B 的大小。

0

0

0

12.四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形,PD

底面 ABCD,PD=6,M,N 分别是 PB,

AB 的中点,(1)求二面角 M—DN—C 的大小;(2)求异面直线 CD 与 MN 的距离。

13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为Δ ABC 的重心,D 为 AB 中 点,作与 SC 平行的直线 DP,证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 为三棱锥 S—ABC 外接球球心。 ,则

五、联赛一试水平训练题

1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5,

的三角形四个,边

长分别为

,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_________个四面体。

2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这两个多

面体的内切球的半径之比是一个既约分数

,那么 mn=_________。

3.已知三个平面α ,β ,γ 每两个平面之间的夹角都是

,且

=a, _________条件。

,命题甲:

;命题乙:a,b,c 相交于一点。则甲是乙的

4.棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA 棱锥的最大球的半径为_________.

AB,如果Δ AMD 的面积为 1,则能放入这个

5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六 面体,并且该六面体的最短棱长为 2,则最远两个顶点间距离为_________。

6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条。

7. 一个球与正四面体的六条棱都相切, 正四面体棱长为 a, 这个球的体积为_________。

8.由曲线 x =4y,x =-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1, 满足 x +y ≤16,x +(y-2) ≥4,x +(y+2) ≥4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转
2 2 2 2 2 2

2

2

体的体积为 V2,则

_________。

9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的点,B 是底面圆内的 点,O 为底面圆圆心,AB OB,垂足为 B,OH PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则

当三棱锥 C—HPC 体积最大时,OB=_________。

10.

是三个互相垂直的单位向量,π 是过点 O 的一个平面,



别是 A, B, C 在π 上的射影, 对任意的平面π , 由

构成的集合为_________。

11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的四个 集合有公共点。

12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=90 ,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是Δ ABC 的垂心,试 证:(AB+BC+CA) ≤6(AD +BD +CD ),并说明等号成立时是一个什么四面体?
2 2 2 2

0

13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直 线与四面体的底面夹角为α ,β ,γ ,求 tan α +tan β +tan γ 之值。
2 2 2

六、联赛二试水平训练题

1.能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四面体?

2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证:

3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ ,这里θ 为已 知锐角,试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。

4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D, 使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。

5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1,D1 分别为垂足)。 三条高上的内点 A2,B2,C2 满足 AA2:AA=BB2:B2B1=CC2:C2C1=2:1。证明:H,A2,B2,C2,D1 在同一个球面上。

6.设平面α ,β ,γ ,δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A,B,C,D。证明: 如果平面α 与β 的交线与直线 CD 共面,则γ 与δ 的交线与直线 AB 共面。


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