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山东省淄博市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题


绝密★启用并使用完毕前

高三复习阶段性诊断考试试题

理科数学(解析版)
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分,考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:

[来源:Z*xx*k.Com]

1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式:
1. 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ;如果事件 A,B 独立,那么 P( AB) ? P( A) ? P( B) . 2.球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)已知复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 (A) 2i 【答案】 :B (B) ? 2i

z1 z2 等于 i
(C) 2 ? i (D) ?2 ? i

2 x (2)设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? y y ? e , x ? R ,则A I B ?

?

?

?

?

(A)

3? ? 0,

(B)

2? ? 0,

(C)

? 0,1?

(D) ?1,2?

【答案】 :A
(3)已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象过点 (0, 3) ,则 f ( x) 的图象的一个对称

中心是 (A) ( ?

? , 0) 3

(B) ( ?

? , 0) 6

(C) (

? , 0) 6

(D) (

? , 0) 4

【答案】 :B
(4)下列四个结论: ①命题“ ?x ? R, x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? ln x0 ? 0 ” ; ②命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ” ; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立. 其中正确结论的个数是 (A) 1 个 (B) 2 个 【答案】 :C (5)已知函数 f ? x ? ? (C) 3 个 (D) 4 个

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】 :A (6) 如图是一个算法的流程图. 若输入 x 的值为 2 , 则输出 y 的
值是 (A) 0 (B) ?1 【答案】 :C (C) ?2 (D) ?3
开始

输入 x

2 (7)已知函数 f ? x ? ? ? x ? 1? ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? b ? 1? ? 的三个

y ? 1 x ?1 2
y ? x ? 1?

2 2 零点值分 别可以作为抛物线、 椭圆、 双曲线的离心率, 则a ?b

x ? 2y


的取值范围是 A. ? 5, ??

?

?

B.

?

5, ??

?

C. ?5, ?? ?

D. ? 5, ?? ?

是 输出 y

【答案】 :D (8)用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不
在左右两端,2,4,6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻, 则这样的六位数的个数为 (A) 432 (B) 288 (C) 216

结束

(D) 144
2 2 C3 A2 ? 6

【答案】 : B; 法一: 从 2, 4, 6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体”, 方法有
种.先排 3 个奇数:①若 1 排在左端,方法有

2 A2 种;则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在

1 的左边,方法有

1 C2 C1 种,另一个偶数插在 2 个奇数形成的 3 个空中,方法有 3 种, 根据分步

计数原理求得此时满足条件的六位数共有

2 1 1 6 A2 C2C3 ? 72 种.②若 1 排在右端,同理求得满足
2 A2 种,则将“整体”和另一个偶数插入 3 个

条件的六位数也有 72 种,③若 1 排在中间,方法有

奇数形成的 4 个空中,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有

2 2 6 A2 A4 ? 144 种.综

2 2 3 2 2 2 上,满足条件的六位数共有 72+72+144=288 种,故选 B;法二:C3 A2 ( A3 A4 ? 2 A2 A3 ) ? 288 .
2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 (9)已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上恒成立, ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0

则实数 a 的取值范围是 (A)

? ??, ?2?

(B)

? ??,0?

(C)

? 0, 2 ?

(D)

? ?2,0?

【答案】 :A

x2 y 2 (10)已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的半焦距为 c,过右焦点且斜率为 1 的直线与双曲 a b
线的右支交于两点,若抛物线 y ? 4cx 的准线被双曲线截得的弦长是
2

2 2 2 be ( e 为双曲线的 3
6 或 3 2

离心率) ,则 e 的值为 (A)

3

(B)

6 2

(C)

2 或3 3

(D)

2

【答案】 :B

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 【答案】 :6 第 11 题图
2 (12)若 a ? 1 ,函数 f ? x ? ? x ? 2x ? 2a与g ? x ? ? x ?1 ? x ? a 有相同的最小值,则



? f ? x ?dx ? ___________.
1

a

【答案】 :

(13)设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? 0,则 a ? c ? b ? c 的最大值为________.

r r r

28 3

r r

?

r

r

??

r

r

?

【答案】 :1 ? 2 (1 4)在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,对任意 a, b ? R , a ? b 为唯一确定的实数,且具有 性质: (Ⅰ)对任意 a ? R , a ? 0 ? a ; (Ⅱ)对任意 a, b ? R , a ? b ? ab ? (a ? 0) ? (b ? 0) .

1 的性质,有如下说法:①函数 f ( x) 的最小值为 3 ;②函数 f ( x) 为偶 ex 函数;③函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ??, 0] .
x 关于函数 f ( x ) ? (e ) ?

其中所有正确说法的序号为 【答案】 :①② (15) 已知函数 f ? x ? ?



2 * , 点 O 为坐标原点, 点 An ? n, f ? n ? ? ? n ? N ? , 向量 m ? ? 0,1? ,?n x ?1 uur cos ?2015 cos ?1 cos ?2 cos ?3 是向量 OAn 与 m 的夹角, 则 的值为__________. ? ? ? ?????? ? sin ?1 sin ?2 sin ?3 sin ?2015
【答案】 :

2015 1008

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 设向量 m ? (sin 2? x,cos 2? x) , n ? (cos ?,sin ? ) ,其中 ? ?

?
2

, ? ? 0 ,函数

? f ( x) ? m ? n 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 P( ,1) ,在 6 5? , 0) . 原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q( 12
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若 f (C ) ? ?1, CA CB ? ? 且 a ? b ? 2 3 ,求边长 c . 解:解: (I)因为 f ( x) ? m n ? sin(2? x ? ? ) , 由题意 -----------------------------1 分 -----------------------------3 分

3 , 2

T 5? ? ? ? ?T ? ? ?? ? 1 , 4 12 6

将点 P (

?
6

,1) 代入 y ? sin(2 x ? ? ) ,得 sin(2 ? 6 ? 2k? , (k ? ?) ,又因为 | ? |?

?
6

? ?) ? 1 ,

所以 ? ?

?

?
2

,?? ?

?
6

-------------------5 分 ---------------------6 分

即函数的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? (II)由 f (C ) ? ?1 ,即 sin(2C ? 又

?
6

), ( x ? R) .

?
6

) ? ?1
------------------------8 分

0 ? C ? ? ,? C ?

2? 3

由 CA CB ? ? 所以 ab ? 3

3 3 ,知 ab cos C ? ? , 2 2
-----------------10 分

由余弦定理知 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 2ab ? 2ab cos C

1 ? (2 3) 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 9 2 所以 c ? 3 ----------------------------------------------------12 分
(17) (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中点,

?ABC =?ACD ? 90? , ?BAC =?CAD ? 60? , AC ? AP ? 2 .
(Ⅰ)求证: PC ? AE ; (Ⅱ)求二面角 A ? CE ? P 的余弦值. 解: (Ⅰ)取 PC 的中点 F ,连接 EF , AF , 则 EF ∥ CD . 因为 AC ? AP ? 2 所以 PC ? AF .????????????1分 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD B C A D P E

所以 PA ? CD 又 AC ? CD 所以 CD ⊥平面 PAC ???????????????????????3 分 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 CD ⊥ PC ; 又 EF ∥ CD ,所以 EF ? PC ; 又因为 PC ? AF , AF

EF ? F ;

所以 PC ⊥平面 AEF ???????????????????????5分

因为 AE ? 平面 AEF ,所以 PC ? AE (注:也可建系用向量证明)

??????????6分 P E

(Ⅱ)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

B ? xyz .


B ? 0,0,0? ,

A ? 0,1,0? , C

?

3, 0, 0

?

, z B

y F A D x C

D 2 3,3, 0 , E

?

? ?

3, 2,1 , P ? 0,1,2?

?

AC ?

?

3, ?1, 0 , CE ? ? 0,2,1? .

?

??????????????????8 分 设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ?

? AC ? n1 ? 0, ? ? ?CE ? n1 ? 0.

所以 ?

? 3 x ? y ? 0, ? ? ?2 y ? z ? 0.

令 x ? 1 .所以 n1 ? (1, 3, ? 2 3) .

????????9 分

由(Ⅰ)知 CD ⊥平面 PAC , AF ? 平面 PAC ,所以 CD ⊥ AF . 同理 PC ⊥ AF .所以 AF ? 平面 PCE 所以平面 PCE 的一个法向量 n2 ? AF ? (

3 1 , ? ,1) . 2 2

???????10 分

所以 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 6 , ?? n1 ? n2 4
6 . 4

????????11 分

由图可知,二面角 A ? CE ? P 为锐角, 所以二面角 A ? CE ? P 的余弦值为 (18 ) (本小题满分 12 分) 某单位要从甲、乙、丙、 丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛, 选拔赛采用单循环制 (即 每两个队比赛一场) ,并规定积分 前两名的队出线,其中胜一场积 3 分,平一场积 1 分, 负一场积 0 分.在经过三场比赛后,目前的积分状况如下:甲队积 7 分,乙队积 1 分,丙 和丁队各积 0 分. 根据以往的比赛情况统计:
[来源:学§科§网] [来源:Z|xx|k.Com]

????????12 分

乙队胜的概率 与丙 队比 赛

乙队平的概率

乙队负的概率

1 4

1 4

[来源:学科网 ZXXK]

1 2

与丁队比赛

1 3

1 3

1 3

注:各队之间比赛结果相互独立. (Ⅰ)选拔赛结束,求乙队积 4 分的概率; (Ⅱ)设随机变量 X 为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)在目前的积分情况下,M 同学认为:乙队至少积 4 分才能确保出线,N 同学认为: 乙队至少积 5 分才能确保出线. 你认为谁的观点对?或是两者都不对? (直接写结果, 不需证明) 解析: (Ⅰ)设乙队胜、平、负丙队为事件 A1、A2、A3,乙队胜、平、负丁队为事件 B1、B2、B3. 则 P( A 1 ) = P( A2 ) =

1 1 1 , P( A3 ) = ; P( B1 ) = P( B2 ) = P( B3 ) = ;????2 分 4 2 3 1 1 1 1 1 ? ? ? ? .???????4 分 4 3 2 3 4

设乙队最后积 4 分为事件 C, 则 P(C) ? P( A 1 ) P( B3 ) ? P( B 1 ) P( A 3) =

(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为:7,5,4,3,2,1.??????5 分

1 1 1 P( X ? 7) ? P( A1 ) P( B1 ) ? ? ? ; 4 3 12

1 1 1 1 1 P( X ? 5) ? P( A1 ) P( B2 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? ? ? ? ? ; 4 3 4 3 6 1 1 1 1 1 P( X ? 4) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A3 ) P( B1 ) ? ? ? ? ? ; 4 3 2 3 4 1 1 1 P( X ? 3) ? P( A2 ) P( B2 ) ? ? ? ; 4 3 12 1 1 1 1 1 P( X ? 2) ? P( A2 ) P( B3 ) ? P( A3 ) P( B2 ) ? ? ? ? ? ; 4 3 2 3 4 1 1 1 P( X ? 1) ? P ( A3 ) P( B3 ) ? ? ? ; 2 3 6

随机变量 X 的分布列为: X P 7 5 4 3 2 1

1 12

1 6

1 4

1 12

1 4

1 6

??????????????????8 分

E( X ) ? 7 ?

1 1 1 1 1 1 10 ? 5 ? ? 4 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? .?????10 分 12 6 4 12 4 6 3

(Ⅲ)N 同学的观点对,乙队至少积 5 分才可以出线.?????12 分 当乙队积 5 分时,丙队或丁队的得分可能为 4,3,2,1,乙队为小组第 2 出线; 当乙队积 4 分时,丙队或丁队均 有可能为 6 分或 4 分,不能确保乙队出线; (19) (本小题满分 12 分) 下表是一个有正数组成的数表,数表中各列依次成等差数列, 各行依次成等比数列,且公比都相等.已知 a1,1 ? 1 , a2,3 ? 8 ,

a1,1
a2,1

a1,2

a1,3 a2,3
a3,3

a1,4

a3,2 ? 6 .
(Ⅰ)求数列 a2,n 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 前 n 和 Sn . 解:(Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为 d , 设第一行依次组成的等比数列的公比为 q(q ? 0) ,

a2,2
a3,2 a4,2

a2,4
a3,4 a4,4

? ?

a3,1

a2,n (a2, n ? 1)(a2,n?1 ? 1)

? (?1)n an,1 ,求数列 ?bn ? 的

a4,1

a4,3

2 2 ? ?a2,3 ? a2,1q ? (1 ? d )q ? 8 则? ????????????4 分 ? ?a3,2 ? a3,1q ? (1 ? 2d )q ? 6 7 解得: d ? ? 或d ? 1 ,因为等差数列是正数数列,所以 d ? 1 , q ? 2 ????5 分 8

a2,n ? a2,1qn?1 ? 2n
(Ⅱ)因为 an,1 ? a1,1 ? (n ?1)d ? n 所以 bn ?

????????????6 分 ????????????7 分

a2,n (a2, n ? 1)(a2,n?1 ? 1)

? (?1)n an,1

2n 1 1 ? n ? (?1)n n ? n ? n?1 ? (?1)n n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

????????9 分

1 1 1 1 1 1 1 Sn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( n ? n ?1 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? (?1) n n 3 3 7 7 15 2 ?1 2 ?1 1 ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? (?1) n n ????????????10 分 2

1 n ? n ?1 2 2 1 n ?1 当 n 为奇数时 S n ? 1 ? n ?1 ? 2 2
当 n 为偶数时 S n ? 1 ? (20) (本小题满分 13 分)

????????????11 分 ????????????12 分

x2 y2 2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M (-2,-1),离心率为 .过点 M 作倾斜角互补 a b 2 的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )证明:直线 PQ 的斜率为定值,并求这个定值; (Ⅲ )∠ PMQ 能否为直角?证明你的结论. 4 1 解: (Ⅰ )由题设,得 2+ 2=1,① a b a2-b2 2 = , ② a 2 由① 、② 解得 a2=6,b2=3, x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. …………………………………………………3 分 6 3 (Ⅱ )记 P (x1,y1)、Q (x2,y2).由题意知,直线 MP、MQ 的斜率存在. 设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 (1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 8k2-8k-4 -4k2+4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= . 2 ,x1= 1+2k 1+2k2 设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), -4k2-4k+2 同理得 x2= .………………………………………………………6 分 1+2k2 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 1+2k 故 kPQ= = = = =1, 8k x1-x2 x1-x2 x1-x2 2 1+2k 因此直线 PQ 的斜率为定值. ……………………………………………………9 分 (Ⅲ ) (方法一)设直线 MP 的斜率为 k,则直线 MQ 的斜率为-k, 假设∠ PMQ 为直角,则 k· (-k)=-1,k=± 1.…………………………11 分 若 k=1,则直线 MQ 方程 y+1=-(x+2), 与椭圆 C 方程联立,得 x2+4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若 k=-1 也不合题意. 故∠ PMQ 不可能为直角.…………………………………………………………13 分 (方法二)由(2)直线 PQ 的斜率为 1,设其方程为 y ? x ? m 且

y ?x ?1 ? ? 由? 6 3 ? ?y ? x ? m
2 2

2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0

?x ? x ? ?
1 2

4m 2m ? 6 ,x x ? 3 3
2 1 2

MP ? ( x ? 2, y ?1), MQ ? ( x ? 2, y ?1)
1 1 2 2

? MP ? MQ ? ( x ? 2)( x ? 2) ? ( y ? 1)( y ? 1)
1 2 1 2

=2x x ? (m ? 3)( x ? x ) ? m ? 2m ? 5
2 1 2 1 2

2m ? 6 ?3m ? (m ? 3) ? ? m ? 2m ? 5 3 3 =m ? 2m ? 1 =2 ?
2 2 2
2 假设 ?PMQ 为直角,则由 m ? 2m ? 1 ? 0 得 m ? 1 ………………………………11 分

所以直线 PQ 的方程为 y ? x ? 1 因为点 M(-2,-1)在直线 y ? x ? 1 上,即点P或点Q中有一点与点M重合,不符合题意. 所以 ?PMQ 不可能为直角.………………………………13 分 (21) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)=ln(1+x) ?

ax . x?a

(Ⅰ)证明:当 a ? 1 , x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若 a ? 1 ,讨论 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调性; (Ⅲ)设 n ? N * ,比较

1 2 n ? ? ??? ? 与 n ? ln(1 ? n) 的大小,并加以证明. 2 3 n ?1
1 ( x ? 1) ? x x 2 ? x x ? ? , f ?( x)= ??1 分 1+x ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2 x ?1

解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x)=ln(1+x) ?

所以 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 又 f (0)=0 , f ( x) ? f (0) ? 0 ; 结论得证.?????????????????????4 分

(Ⅱ)由题设, x ? ? 0 , ? ? ? , f ? ? x ? ?

2 ? x? ? x ? ? a ? 2a ? ?

? x ? 1?? x ? a ?

2

.???????5 分

① 当 a 2 ? 2a ? 0 ,即 1 ? a ? 2 时, 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数.???????7 分 ② 当 a 2 ? 2a ? 0 ,即 a > 2 时,
2 2 有 x ? 0 , a ? 2 a 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 0 , a ? 2 a 上是减函数;

?

?

?

?

x ? ? a 2 ? 2a , ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? a 2 ? 2a , ? ? ? 上是增函数.??9 分
综上可知,当 1? a ? 2 时,

f ? x ? 在 ? 0 , ? ?? 上 是 增 函 数 ; 当 a > 2 时 , f ? x ? 在

?0 , a

2

? 2a ? 上是减函数,在 ? a 2 ? 2a , ? ? ? 上是增函数.??10 分

(Ⅲ)

1 2 n ? ? ??? ? ? n ? ln(n ? 1) ,证明如下: 2 3 n ?1

1 1 1 方法一:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 x 由(Ⅰ),可得 ln(1+x)> ,x>0. 1+x n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 <ln .????????????11 分 n n n+1 下面用数学归纳法证明. 1 ① 当 n=1 时, <ln 2,结论成立.????????????12 分 2 1 1 1 ②假设当 n=k 时结论成立,即 + +?+ <ln(k+1). 2 3 k+1 k+2 1 1 1 1 1 那么,当 n=k+1 时, + +?+ + <ln(k+1)+ <ln(k+1)+ln =ln(k+2), 2 3 k+1 k+2 k+2 k+1 即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立.?????????????????????14 分 1 1 1 方法二:上述不等式等价于 + +?+ <ln(n+1), 2 3 n+1 x 由(Ⅰ),可得 ln(1+x)> ,x>0. 1+x n+1 1 1 令 x= ,n∈N+,则 ln > .????????????11 分 n n n+1

1 故有 ln 2-ln 1> , 2 1 ln 3-ln 2> , 3 ?? 1 ln(n+1)-ln n> , n+1 1 1 1 上述各式相加可得 ln(n+1)> + +?+ , 2 3 n+1 结论得证.?????????????????????14 分 x 1 n x 方法三: 如图, dx 是由曲线 y= , x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积, 而 + ? 2 x+1 ? x+1
0

2 n +?+ 是图中所示各矩形的面积和,????????????12 分 3 n+1 错误!未找到引用源。 1 2 n x ∴ + +?+ > n dx= 2 3 n+1 ? x + 1 ?
0
[来源:学科网]

1 ? n?1- ? x + 1?dx=n-ln(n+1), ? ?0 结论得证.?????????????????????14分


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