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高三数学精讲精练


高三数学精讲精练 1、三角函数求值
? ( 3 sin x , sin x ) , b ? (cos x, sin x) , x ? [0, ] 2 (1)若 | a |?| b | ,求 x 的值; (2)设函数 f ( x ) ? a ? b ,求 f ( x) 的值域. ? 3 答案: (1) x ? ; (2) [ 0, ] 6 2
1、设向量 a

r />
?

.

2、解三角形
1 f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ? , x ? R 2 (1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期; (2)已 知 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a, b 的值. 2、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 ( 2a ? c )BA ? BC ? cCB ? CA . (1)求角 B 的大小; (2)若 | BA ? BC |? 6 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值.
1、已知函数 答案: (1) B

,且

c?3

,

f (C ) ? 0

.若向量

?

? 3( 2 ? 1) (2) S max ? 4 2

3、平面向量的数量积
3x 3x x x ? , sin ) , b ? (cos ,? sin ) 且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2 (1)求 a ? b 及 | a ? b | ; 3 (2)若 f ( x ) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ? ,求 ? 的值. 2 x x 2 x 2、已知向量 m ? ( 3 sin ,1) , n ? (cos , cos ) 4 4 4 2? (1)若 m ? n ? 1 ,求 cos( ? x ) 的值; 3 f ( x ) ? m ? n , 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 (2)记
1、已知向量 a

? (cos



a, b, c

,且满足

(2a ? c) cos B ? b cos C ,求 f ( A) 的取值范围. 1 3 答案:(1) (2) (1, ) 2 2

4、三角、向量与其他知识的交汇问题
1、已知二次函数

f ( x) 对任意 x ? R 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立,设向量 a ? (sin x,2) ,

1 b ? ( 2 sin x , ) , c ? (cos 2 x,1) , d ? (1,2) ,其中 x ?[0,? ], 2 (1)当 a ? b ? c ? d 时,求 x 的值; (2)求不等式 f (a ? b) ? f (c ? d ) 的解集. ? 3? ? 3? 答案: (1) x ? 或x? ; (2) { x | 0 ? x ? 或 ? x ??} 4 4 4 4 x2 y2 x2 y2 2、已知椭圆 C 的方程为 ,双曲线 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1的两条渐近线为 l1 , l2 ,过椭 a 2 b2 a 2 b2 圆 C 的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,且 l 与 l2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下依次为点 A, B ,如图 (1)当 l1 与 l2 夹角为 60? ,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程;
(2)当 FA ?

? AP 时,求 ? 的最大值.
y P A x O B F l1 l l2

答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1 (2) 2 ? 1 ; 3

创新演练
1、设 ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,向量 m

? ( 3 sin A, sin B ) , n ? (cos B, 3 cos A) ,若

m ? n ? 1 ? cos( A ? B) ,则 C ? () ? ? 2? 5? A、 B、 C、 D、 6 3 3 6 ? 2、设 0 ? ? ? ,向量 a ? (sin 2? ,2 cos ? ) , b ? (1,? cos ? ) ,若 a ? b ? ?1,则 tan? ? 2
.

3、已知 A, B 是 ?ABC 的两个内角, a 单位向量,若 | a |?

? cos

A? B 5 A ? B ,其中 i , j 为相互垂直的 i? sin j 2 2 2

3 2 ,则 . tan Atan B ? 4 ? ? 4、已 知 向 量 OP ? ( 2 cos( ? x ),?1) , OQ ? ( ? sin( ? x ), cos 2 x ) , 定 义 函 数 2 2 f ( x ) ? OP ? OQ . (1)求函数 f ( x) 的表达式,并指出其最大值和最小值; (2)在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 1, bc ? 8 , 求 ?ABC 的面积 S . 5、已 知 向 量 a ? (m, cos 2 x ), b ? (sin 2 x, n) , 函 数 f ( x ) ? a ? b 且 y ? f ( x ) 的 图 像 过 点 ? 2? ( , 3 ) 和点 ( ,?2) . 12 3 (1)求 m, n 的值; ? 1 (2)先将函数 y ? f ( x ) 的图像向左平移 个单位,再将所得图像上个点的横坐标缩短为原来的 , 12 2 5? 纵坐标不变,得到函数 y ? g( x) 的图像,求 g( x ) 在 [ 0, ] 上的值域. 24 ?x ?x 6、已知 a ? ( 2 cos , 3 ) ,b ? ( 3 cos , sin?x ) ,其中 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? b ? 3 的部 2 2 分图像如图所示, A 为图像的最高点, B, C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求 ? 的值及函数 f ( x) 的值域; 10 2 8 3 ,且 (2)若 f ( x ) ? x ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 0 0 3 3 5
y A

B O

C

x

答案:1、 C ;2、 ? 1 ?

1 ;4、 2 和 ? 2 ;5、 (1) m ? 3 , n ? 1 , (2) 9 [?1,2] ;6、(1) [?2 3 ,2 3 ],(2) 7 6 . 5

2 ;3、

5、等差数列、等比数列的判断与证明
1、已知数列 {an } 的通项公式为 a n

? ( n ? 2)(

9 n ) (n ? N ? ) ,则数列 {an } 的最大项是(B) 10

A、 第 6 项或第 7 项 C、第 8 项或第 9 项 2、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n A、 an C、 a n

B、第 7 项或第 8 项 D、第 7 项

? 6n ? 3

? 3n2 ? 4 ,则数列 {an } 的通项公式是(B) ? ? 1( n ? 1) B、 a n ? ? ? 6 n ? 3( n ? 2 )
D、 a n

?1 ? ?? ? 6 n ? 3( n ? 2 )

? ? 1( n ? 2 ) ?? ? 6n ? 3

6、等差、等比数列的性质
1、等差数列 {an } 的前 16 项和为 640 ,前 16 项中偶数项和与奇数项和之比为 22 : 18 ,则公差 d , 的值分别是(D)

a9 a8

10 10 11 11 B、 9, C、 9, D、 8, 9 9 9 9 2、已知数列 {an } 中, a2 ? p ( p 是不等于 0 的常数) , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对任意的正整 n( an ? a1 ) . 数 n 都有 S n ? 2 (1)证明:数列 {an } 为等差数列; S n ? 2 S n ?1 ? (2)记 bn ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; S n ?1 S n ? 2 5 (3)记 cn ? Tn ? 2n ,是否存在正整数 N 使得当 n ? N 时,恒有 cn ? ( ,3) ,若存在,证明你的 2 结论,并给一个具体的 N 值;若不存在,请说明理由. 1 1 答案:(2) Tn ? 2n ? 3 ? 2( ? ) n?1 n? 2
A、 8,

7、数列的通项及前 n 项和
1、在数列 {an } 中, a n 为(D) A、

?

1 1 2 n ,又 bn ? ,则数列 {bn } 的前 n 项和 ? ? ... ? an an?1 n?1 n?1 n?1
B、

n 2

n n?1

C、

2n n?1

D、

4n n?1

2、设数列 {an } 满足 a1

? 3a2 ? 3 2 a3 ? ... ? 3 n?1 an ?

n , n? N* . 3

(1)数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn

?

n an

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

1 答案: (1) an ? n ( n ? N ? ) . 3

3 ( 2n ? 1) ? 3 n?1 . (2) S n ? ? 4 an

8、不等式的概念与性质
1、已知一元二次不等式

2、已知函数

1 f ( x ) ? 0 的解集为 { x | x ? ?1 或 x ? } ,则 f (10 x ) ? 0 的解集为(D) 2 A、 { x | x ? ?1 或 x ? lg 2} B、 { x | ?1 ? x ? lg 2} { x | x ? ? lg 2} C、 D、 { x | x ? ? lg 2} 2 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 ,若存在实数 t ,当 x ?[1, t ] 时, f ( x ? a ) ? 4 x 恒成立,则实
B、 7 C、 8 D、 9

数 t 的最大值是(D) A、 4

9、简单的线性规划问题
1、 (线性规划)在直角坐标系中,不等式 ? A、 12 B、

5、若

16 ?x ? y ? 0 ? 满足条件 ? x ? y ? 0 且 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 5 ,则实数 a 的值为 ? ? y?a

?( x ? y ? 3)( x ? y ) ? 0 所示的平面区域的面积是(A) ? 1 ? x ? 2 ? C、 18 D、 24
1

10、基本不等式问题
1、(直线与数列)若点 A( m, n) 在第一象限,且在直线 A、 3 B、 4 C、 7

x y ? ? 1 上,则 mn 的最大值是(A) 3 4 D、 12
对 x ? (0,??) 恒成立, 则实数 a 的

2、 (不等式与恒成立) 关于 x 的不等式 x 取值范围为 (-1,3) .

?

4 ? 1 ? a 2 ? 2a ? 0 x

创新演练
1、已知等比数列 {an } 满足 a1 A、 ? 6(1 ? 3?10 )

? 4 ,公比 q ? ?
B、

1 , 3

则 {an } 的前 10 项和等于()

1 D、 3(1 ? 3?10 ) (1 ? 3 ?10 ) C、 3(1 ? 3?10 ) 9 2、已知等差数列 {an } 中, a1 ? 142 , 公差 d ? ?2 ,从第一项起,现每隔两项取出一项,构成一数列 {bn } ,则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn 取得最大值时, n 的值是() A、 23 B、 24 C、 25 D、 26

3、已知数列

{an } 的 首 项 为 a1 ? 1 , 且 满 足 对 任 意 的 n ? N * an? 2 ? an ? 3 ? 2n 成立,则 a2014 ? ()
A、 22014

都有

an ?1 ? an ? 2 n



? 1 C、 22015 ? 1 D、 22015 ? 1 ? y ? 2 | x | ?1 4、 (线性规划)若实数 x, y 满足条件 ? ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为() ? y? x?1 A、 9 B、 11 C、 12 D、 16 5、 (数列与函数、 不等式) 已知数列 {an } , 点 P(n, an ) 都在经过 A(?1,0) {bn } , 对于任意的 n ? N * , 1 与 B ( ,3 ) 的直线 l 上,并且点 C (1,2) 是函数 f ( x ) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的图像上一点,数列 {bn } 2 的前 n 项和 Sn ? f (n) ? 1 . (1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; 1 1 }的前 n 项和 Tn ? (2)求证:数列 { an ? ln bn?1 2 ln 2 解答:1、C;2、B;3、A;4、B;5、 (1) an ? 2n ? 2 ; bn ? 2n?1 ( n ? N * )
B、 22014 11、已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C) A、

?1

(4 ? ? ) 3 3

B、

(4 ? ? ) 3 2

C、

(4 ? ? ) 3 6
2

D、 (4 ? ? )

3

1 主视图

2

2 侧视图

1 俯视图

2

12、空间点、直线、平面之间的位置关系
1、已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下面命题中真命题的个数是(B) ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ;②若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ③若 m // ? , ?

? ? ? n ,则 m // n ;④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? . A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 2 、 如 图 所 示 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , BC ? 3 AD , AD // BC , E 1 PE ? EC ,求证: DE // 平面 PAB . 2



PC

上一点,且

P E B C A D

13、利用空间向量解决立体几何问题
1、 如图所示, 在四棱锥 P ? 底面 ABCD 是直角梯形,AD // BC , ABCD 中,PA ? 底面 ABCD , 1 ?ABC ? 90? ,且 PA ? AB ? BC ? AD ? 1 . P 2 (1)求 PB 与 CD 所成的角; (2)求直线 PD 与平面 PAC 所成的角的余弦值; (3)求二面角 B ? PC ? D 的余弦值. A D B 答案: (1) 60? (2) C

15 5

(3) ?

3 2

14、立体几何中的探索性问题和平面图形的翻折问题
ABCDE 中 , CD ? AC ? 4 , BC ? 2 , CD ? 4 , BE ? 1 ,. (1)求证:平面 ADC ? 平面 BCDE .
1、如 图 所 示 , 在 多 面 体 平面

ABC

,

BE // CD

,

AB ? 2 5

,

(2)试问在线段 DE 上 是否存在点 S ,使得 AS 与平面 ADC 所成的角的余弦值为 确定 S 的位置;若不存在,请说明理由. 答案: (2) DS D

3 5 ?若存在, 7

?

2 DE 3
C A E B

2、如图所示,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2 , AD ? 4 .将 ?CBD 沿 BD 折起 到 ?EBD 的位置,使平面 ?EBD ? 平面 ABD ,如图所示. (1)求证: AB ? DE ; (2)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积和体积.

E D C

D

A B (1) 答案: (2) S A (2) B

? 8 ? 2 3 ;V ?

4 3 3

创新演练
1、设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中假命题的个数是() ①若 ?

? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;②若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n m ? ? , n ? ? 则 ? ? ? ;④若 m ? ? , m // n , n // ? 则 ? ? ? ; A、 4 B、 3 C、 2 D、 1

;③若 m ? n ,

2、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

1

1

P 1 侧视图 D E A C B

2 正视图 1 (1)

第 2 小题 俯视图

第 3 小题

1 1 3 C、 D、 3 2 2 3、如 图 所 示 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , PA ? 底 面 ABC , PA ? AB , ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? ,点 D, E 分别为棱 PB, PC 的中点. (1)求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (2)求 AD 与平面 PAC 所成角的余弦值;
A、 1 B、

(3)求点 P 到平面 AED 的距离. 4、如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形,?BAD ? 60? ,Q 为 AD 的中点, PA ? PD ? AD ? 2 . (1)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PA // 平面 MQB ,若存在,说明 M 的位置;若不存在,说明 理由. (2)在(1)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD ,求二面角 M ? BQ ? C 的大小. P M P A A1

Q A

D B 第 4 小题

C B

C O B1 第 5 小题

C1

5、如图所示,三棱柱 ABC ? 面 BB 1C1C . (1)证明: B1C

A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平

? AB; (2)若 AC ? A 1B , ?CBB 1 ? 60? , BC ? 1 .求三棱柱 ABC ? A 1B1C1 的高. 1 14 ; 2 21 ; 3、 4、 答案:1、B 2、B (2) cos ? ? (3) (1) PM ? PC 3 4 7 21 5、 (2) 7

(2) 60?

15、直线与圆的有关问题
1、若直线

l : ax ? by ? 1 ? 0
5
B、 5

始终平分圆

M : x2 ? y2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0

的周长,则

(a ? 2)2 ? (b ? 2)2 的最小值为(B)
D、 10 5 2、已知圆的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 ,点 P ( 2,2) 是该圆内一点,过点 P 的最长弦和最短弦分 别为 AC 和 DB ,则四边形 ABCD 的面积是(D) A、 3 5 B、 4 5 C、 5 7 D、 6 7 A、 C、 2

16、圆锥曲线的概念与性质
x2 y2 1、已知抛物线 y ? 4 x 与双曲线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的一 a 2 b2 个交点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为(D) A、 2 ? 2 B、 5 ? 1 C、 3 ? 1 D、 2 ? 1
2

2、抛物线 值为

y 2 ? 8 x 的焦点为 F ,点 P( x, y) 为该抛物线上的动点,又点 A(?2,0) ,则

| PA | 的最大 | PF |

2

.

17、直线与圆锥曲线的位置关系
1、已知点 A(?2,0) , (2,0) 过点 A 作直线 l 与以 A, B 为焦点的椭圆交于 M , N 两点,线段 MN 的中 点到

y

轴的距离为

4 5

,且直线

l

与圆

x2 ? y2 ? 1

相切,则该椭圆的标准方程为

x2 y2 . ? ?1 8 4 x2 y2 6 ,过椭圆上一点 作直线 MA, MB 分别交椭 2、已知椭圆 M ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b 圆 于 A, B 两 点 , 且 斜 率 分 别 为 k1 , k2 , , 若 点 A, B 关 于 原 点 对 称 , 则 k1 ? k2 的 值 为 1 . ? 3 x2 y2 3、如图,椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上下顶点分别为 A, B ,已知点 B 在直线 l : y ? ?1上,且 2 a b 3. 椭圆的离心率 e ? 2
(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A, B 的任意一点, PQ ? y 轴, Q 为垂足, M 为线段 PQ 的中点,直线 AM 交直线 l 于点 C , N 为线段 BC 的中点,求证: OM ? MN .
2 x 答案:(1) ? y2 ? 1 ; 4

18、圆锥曲线的综合应用
x2 y2 1、已知椭圆 C : ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 ( ? 2 ,0), F2 ( 2 ,0) 点 M (1,0) 与 a 2 b2
椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,设点 N (3,2) ,记直线 AN , BN 的斜率分别为

k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值. x2 答案:(1) ? y 2 ? 1 (2) k1 ? k2 ? 2 3 y2 x2 2、已知双曲线 M : ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的上焦点为 F ,上顶点为 A , B 为虚轴的端点,离 a 2 b2

2 3, 3 .抛物线 的顶点在坐标原点,焦点为 . N F S?ABF ? 1 ? 3 2 (1)求双曲线 M 和抛物线 N 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 N 相切于点 P ,与抛物线的准线相交于点 Q ,则以 PQ 为直径的圆是否恒过 y
心率 e

?

轴上的一个定点?如果经过,试求出该点的坐标,如果不经过;试说明理由. 答案:(1) M 过该点.

y2 2 : ? x 2 ? 1 ; N : x ? 8 y (2)存在 y 轴上的定点 R(0,2) ,使得以 PQ 为直径的圆恒 3

创新演练
1、已知椭圆焦点为抛物线 (B)

y 2 ? 8 x 的准线与其对称轴的交点,且椭圆的离心率为

1 ,则椭圆的方程为 2

x2 ? 12 x2 C、 ? 48
A、 2、已知抛物线 x 2

y2 ?1 16 y2 ?1 64

x2 y2 ? ?1 16 12 x2 y2 D、 ? ?1 64 48
B、

1 的一个焦点重合,在抛物线上有一 2 动点 P 到 x 轴的距离为 m , P 到直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 n ,则 m ? n 的最小值是(C)

? 2 py( p ? 0) 的焦点与双曲线 x 2 ? y 2 ? ?

A、

5 2

B、

5

C、

5 ?1

D、

5 ?1

3、已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,对于左支上任意一点 P 都有 a 2 b2 ,则此双曲线的离心率 e 的取值范围是(C) | PF2 |2 ? 8a | PF1 | ( a 为实半轴) A、 (1,??) B、 ( 2,3] C、 (1,3] D、 (1,2]
2

y2 2 2 4、若双曲线 x ? ? 1(b ? 0) 的一条渐进线与圆 x ? ( y ? 2) ? 1 至多有一个公共点,则双曲线 2 b
离心率的取值范围是 5、已知椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程; (2) 已 知 直 线 l : .

3 , A, B, F 分别为椭圆的右顶点、右焦点,且 3. S?ABF ? 1 ? 2 2

y ? kx ? m 被 圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 所 截 弦 长 为 2 3 , 若 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 M , N 两点,求 ?O M N面积的最大值. x2 y2 2 6、从椭圆 C1 : ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和抛物线 C 2 : x ? 2 py ( p ? 0) 上各取两个点,将其坐标 2 a b
记录于下表中:

x

?3

0

1

5

y

9 4

2

1 4

3 2

(1)求椭圆 C1 和抛物线 C 2 的方程; (2)椭圆 C1 和抛物线 C 2 的交点记为 A, B , 点 M 为椭圆上任意一点,求 MA? MB的取值范围.
2 x 3 3、C 5 、 (1) 答案:1、B 2、C ? y 2 ? 1 (2)当 k ? ? 4 2 2 2 16 x y 2 (1) C : ? ? 1 , C 2 : x ? 4 y ;(2) MA ? MB ? [ ?1 ? 2 2 , ] 1 3 8 2

4、 (1,2]

时, Smax

? 1 .6、

19、函数的概念与性质
? 2 x ? 2, x ? 1 (a ? R) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 a 的值为(C) f ( x) ? ? ? ax ? 6 , x ? 1 ? A、 ? 1 B、 1 C、 2 D、 3 2 2、已知 P, Q 是函数 f ( x ) ? x ? ( m ? 1) x ? ( m ? 1) 的图像与 x 轴的两个不同交点,其图像的顶 点为 R ,则 ?PQR 面积的最小值是(A) 5 2 A、 1 B、 2 C、 2 2 D、 4 x 3、已知函数 f ( x ) ? b ? a (其中 a ? b 为常数且 a ? 0, a ? 1 )的图像经过点 A(1,6) , B( 3,24) .
1、设

f ( x ) ? b ? a x 的解析式; 1 2 1 2 (2)若对任意 x ? (??,1] , ( ) ? ( ) ? m ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; a b cxf ( x ) (3)若 g( x ) ? x 2 ( c ? 0, c 为常数) ,试讨论 g( x ) 在区间 (?1,1) 上的单调性. 2 ( x ? 1) 5 答案:(1) f ( x ) ? 3 ? 2 x ,(2) m ? ;(3)当 c ? 0 时, g( x ) 在 (?1,1) 上单调递减;当 c ? 0 时, g( x ) 6 在 (?1,1) 上单调递增.
(1)试确定

20、函数与方程
? 2e x ? 1 , x ? 2 1、设函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ( x1 ? x2 )有成立,则实数 a 的 log ( 2 x ? 2 ), x ? 2 ? 2 [1,2e ) . 取值范围是 1 ? 1 | ,若关于 x 的方程 f 2 ( x ) ? bf ( x ) ? c ? 0 恰有 6 个不同的实数解, 2、已知函数 f ( x ) ?| | x|

则 b, c 的取值情况不可能是(B) A、 ?1 ? b ? 0, c ? 0 C、 1 ? b ? c ? 0, c ? 0

B、 1 ? b ? c ? 0, c ? 0

D、 1 ? b ? c ? 0,0 ? c ? 1

21、导数的应用
a 2 ? ln a c ? 2 ? ? 1 ,则 (a ? c )2 ? (b ? d )2 的最小值为(D) b d A、 1 B、 4 C、 2 D、 2 3 ? ? ?3 2、 若函数 f ( x ) ? mx sin x ? ( m ? R ) , 若对 x ? [0, ] , f ( x) 的最大值为 , 则实数 m 的 2 2 2 . 取值为 m ?1 3 a 3、已知函数 f ( x ) ? ln x ? ? ,a? R . 2 x (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 [4,??) 上的最小值; 3 a (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ? . 2 x 1 2g ①若方程 e ( x ) ? ln x ? f ( x ) 在 [ , 2 ] 上有解,求实数 a 的取值范围; 2 ② 若 G ( k ) ? g ( k ) ? g ( k ? 1), k ? 2, k ? N * , 证 明 : 当 n ? 2, n ? N * 时 , 总 有 4 G ( 2) ? G ( 3) ? ... ? G ( n ) ? . 3 5 2 答案:(1) f min ( x ) ? f ( 4 ) ? ln 4 ? ;(2)① a ? [ ?5, ] 4 2 4、已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? (b ? a ) x ( a, b 是不同时为零的常数). 1 (1)当 a ? 时,若存在 x ?[?3,?1] ,使得 f ?( x) ? 0 成立,求 b 的取值范围; 3 (2)求证:函数 y ? f ?( x ) 在 (?1,0) 内至少有一个零点; (3)若 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 且 在 x ? 1 处 得 切 线 垂 直 于 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 关 于 x 的 方 程 1 f ( x ) ? ? t ,在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数解,求实数 t 的取值范围. 4 26 3 3 8 3 . 答案:(1) b ? ( ? ?, ) ;(3) t ? [? ,0) ? (0, )?{ } 15 2 2 9
1、若实数 a, b, c, d 满足

创新演练
1、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是() A、

y??

1 x

B、

1 y ? ( )x ? 2x 2

C、

y ? sin x

D、

y ? x3 ? x

2、函数

? f ( x ) ? e x sin x 在区间 [0, ] 上的值域为() 2
A、 [0,1] B、
?

D、以上都不对 [1, e 2 ] [ 0, e 2 ] 3、如果函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c ln x ( a, b, c 为常数, a ? 0 )在区间 (0,1) 和 (2,??) 上均单调 递增,在 (1,2) 上单调递减,则函数 f ( x) 的零点个数为() A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 1? x 1 1 4、已知函数 f ( x ) ? ? x ? log 2 . ? 2 ,则 f ( ) ? f ( ? ) 的值为 1? x e e ? ? ? 4 2 5 、 若 函 数 f ( x ) ? x ? x ? cos x , x ? [ ? , ] , 则 满 足 f ( x0 ) ? f ( ) 的 x0 取 值 范 围 2 2 3 是 6、已知函数

C、

?

f ( x) ? (2 x ? 4a) ln x ? x , a ? 0 . (1)求函数 g( x) ? xf ( x) 的单调区间; (2)若 ?x ?[1,??) ,不等式 f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 7、已知函数 f ( x ) ? ax ln x ? x ? 1 . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; 1 1 1 (2)求证:当 x ? 1 时, ? ? 恒成立; ln x x ? 1 2 1 1 n? a (3)证明:当 a ? 时, (1 ? ) ? e 对任意的 n ? N * 恒成立(其中 e 是自然对数的底). 2 n ? ? ? ? 2、C 3、B 4、4 5、 [ ? ,? ) ? ( , ] 6、 (1)单调递增区 答案:1、D 2 3 3 2 1 1 间: (0, ) 和 (a ,??) ;单调递减区间: ( , a ) (2) 0 ? a ? e 7、(1)单调递增区间: (1,??) ;单调 e e 1 1 1 递减区间 (0,1) :(2) x ? 1 时, ? ? 恒成立. ln x x ? 1 2

.

22、巧解互斥事件与对立事件的概率
1、亚航 QZ8501 航班于北京时间 28 日早上 7 时 17 分与地面塔台失去联系,12 月 30 日印尼国家搜救部 门派 3 架飞机在爪哇海进行搜救。 执行任务的人员在相关海域发现疑似飞机紧急滑道和舱门的物件, 若n 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率如下表所示: 飞行器同时搜索疑似残留物的架数 概率 2 架及以下 0.1 3架 0.46 4架 0.3 5架 0.1 6架 0.04 架或 5 架

(1)求 有 3 飞行器同时搜索疑似残留物的概率; (2)求至少有 4 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率; (3)求至少有 5 架飞行器同时搜索疑似残留物的概率; 答案: (1) P( B ? D) ? P( B) ? P( D) ? 0.46 ? 0.1 ? 0.56

? D ? E ) ? P(C ) ? P( D) ? P( E ) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.04 ? 0.44 (3) P 2 ? 1 ? P( E ) ? 1 ? 0.04 ? 0.96.
(2) P(C

2、小明在游乐园玩枪打气球游戏。5 元钱 5 发子弹,打完子弹为止,气球中枪个数越多奖越多,没中不 去领奖,没枪一个气球,若他每次打中的概率为

1 3

,则小明至多打中 4 个气球去领奖的概率为

1 1 70 P ? 1 ? (1 ? )5 ? ( )5 ? 3 3 81

.

23、古典概型与几何概型
1、2014 年 11 月 26 日,日本首相安倍晋三宣布加强对边境附近的离岛的监视,而钓鱼岛也被划在日本专 属经济区的调查范围之中,面对日本再次钓鱼岛领土问题的挑衅,我巡航编队加强了在钓鱼岛附近海域 的巡逻执法,某天有 137 号,135 号等共五艘海监船可供选择,计划选派两艘巡航执法,其中 137 号,135 号至少有一艘去执法的概率为(C) A、

1 5

B、

2 5

C、

7 10

D、

3 10

2、有一棱长为 cm 的密闭的正方体,其内部自由漂浮着一气泡(大小忽略不计) ,则该气泡距正方体的 顶点不小于 1cm 的概率为(B) A、

?

162

B、 1 ?

?

162

C、

? 324

D、 1 ?

?

324

24、条件概率与独立事件概率的求解
1、甲、乙两只青蛙从某个荷叶跳到另一个荷叶上成功的概率分别为 0.7,0.6,每次跳动成功与否互相之间 没有影响,求: (1)甲蛙跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两蛙在第一次跳动中至少有一个青蛙成功的概率; (3)甲、乙两蛙各跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率. 答案:(1) P ( A1 A2 A3 ) ? (2) P (3)

P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.063

? 1 ? P ( A1 ) P ( B1 ) ? 1 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.88 P ( D1 E0 ? D2 E1 ) ? P ( D1 E0 ) ? P ( D2 E1 ) ? P ( D1 ) P ( E0 ) ? P ( D2 ) P ( E1 )

1 1 ? C2 ? 0.7 ? 0.3 ? 0.42 ? 0.72 ? C2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3024

2、某电视台节目开展亲子闯关游戏,其规则是父母两人蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬过,并将水中 的 7 个粉色气球与 3 个蓝色气球随意用身体挤破(这些气球的形状都相同,随意漂浮在身旁,且都在父 母所触及的范围内) 。已知小光的父母参加游戏,并在第 1 次挤破一个蓝色的气球,则他们第 2 次挤破的 是粉色气球的概率为(C) A、

3 10

B、

2 9

C、

7 8

D、

7 9

25、三种随机抽样的应用
1、一个社会调查机构就某地居住的月收入调查了 10 000 人,并根据话出样本的频率分布直方图,为了分 析居民的月收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人 进行调查,则在 [2500 ,3000 ) 收入段应抽出的人数为(B) A、20 B、25 C、22 D、30

26、用样本估计总体
1、为提高学生复习效率,2015 年元旦前夕,某学校举行高考二轮复习技巧指导讲座,讲座分为知识综合 交汇积累、易错积累应用技巧、考场快速解题技巧三场讲座,由于学校要求自愿听取讲座,某班 60 名学 生听取讲座的情况如下表所示: 听讲座场数 所占比例 0 1 2 3

1 6

1 6

1 3

1 3

(1)若从全班 60 名学生中按照听取讲座的场数分层抽样,抽取 6 名学生进行座谈了解效果,再从中选 取 2 名学生进行深度探讨,求这 2 名学生至少 1 名听了 3 场次的概率; (2)在(1)中所选取的 6 名学生中,求听取讲座场数的均值与方法; (3)若讲座场数增加一倍,听取讲座场数也增加一倍,能否根据( 1)中样本估计出听取场数的均值与 方法. 答案:(1) P

?

9 3 11 41 11 11 2 41 .(3) x ? 2 ? ,s ? 4? . ? (2) x ? , s 2 ? ? 15 5 6 36 6 3 36

2、某学校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组

[90,100),[100,100),...,[140,150) 后得到如图所示的频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列
为题: (1)求分数在 内的频率,补全这个频率分布直方图,并根据直方图求众数,中位数; (2)统计方法中,同一组数据常用该区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

频率 组距

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

频率 组距

分数/分
0 90 100 110 120 130 140 150 0 90 100 110 120 130 140 150

分数/分

答案:(1) 125 ;

361 .(2)121. 3

27、随机变量的分布列
1、2014 年 12 月初,南京查获了一批问题牛肉,滁州市食药艰巨经民众举报获知某地 5 个储存牛肉的冷 库有 1 个冷库牛肉被病毒感染,需要通过对库存牛肉抽样化验病毒 DNA 来确定感染牛肉,以免民众使用 了有损身体健康.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验样品,直到能确定感染冷库为止. 方案乙:将样品分为两组,每组 3 个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒 DNA,则表明感染牛肉在 这 3 个样品当中,然后逐个化验,直到确定感染冷库为止.若结果不含病毒 DNA,则在另外一组样品中逐 个进行化验. (1)求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率; (2)首次化验费 10 元,第二次化验费 8 元,第三次及其以后每次化验费都是 6 元,列出方案甲所需化验费

用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少元? (3)试比较两种方案,估计哪种方案有利于尽快查到感染冷库. 答案:
3 2 C5 1 C5 1 1 1 (1) 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? (2) P (? ? 1) ? P (? ? 10 ) ? ; C6 C3 C6 C3 3 6 5 1 1 P (? ? 2) ? P (? ? 18 ) ? ? ? ; 6 5 6 5 4 1 1 P (? ? 3) ? P (? ? 24 ) ? ? ? ? ; 6 5 4 6 5 4 3 1 1 P (? ? 4) ? P (? ? 30 ) ? ? ? ? ? ; 6 5 4 3 6 5 4 3 2 1 P (? ? 5) ? P (? ? 36 ) ? ? ? ? ? . 6 5 4 3 3

? P

10

18

24

30

36

(3) E (? ) ?

E(? ) ,所以方案乙化验次数的期望值较小,可以尽快查到感染冷库.

1 6

1 6

1 6

1 6

1 3

28、变量间的相关关系与独立性检验
1、现在科技发达,手机上网已成为人们生活中不可缺少的一部分,为了调查大学生性别对爱好手机上网 的影响情况,某高校从大二学生中抽取 80 名学生进行调查,得到下面的数据表: 不爱好手机上网 爱好手机上网 总计 10 50 60 男 10 10 20 女 20 60 80 总计 (1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查该学校的 3 名男生,设调查的 3 名学生爱好手机上网的 人数为 X,求 X 的分布列和数学期望; (2)根据以上数据,能否有 99%的把握认为“大学生爱好手机上网与性别有关”? 答案:(1) X 0 1 2 3 P 1/216 5/72 25/72 125/216 Ex=5/2. (2) K
2

?

80 ? 8,889 ? 6.635 ,有 99%的把握认为“爱好手机上网与性别有关系.” 9

2、据研究,人的身高和体重比例失调会引起心脏各种疾病,尤其是对于男士来说更为明显,某医院为研 究心脏疾病与身高体重比例失调的关联情况,在某商场里随机抽取 5 名顾客,测得他们的身高与体重关 系如下表: 172 174 176 178 180 身高 (x) 74 73 76 75 77 体重 (y) (1)从这 5 名顾客中随机抽取 2 名,求这两名顾客体重之差的绝对值不小于 2kg 的概率; (2)求回归直线方程

?x ? a ? ?b ?. y

答案:(1) P

?

6 3 ? ? 0.4 x ? 4.6 . ? ;(2) y 10 5

创新演练
1、鲜花培育中心共有红、白、粉特种玫瑰 18 株,其中有白玫瑰 6 株,粉玫瑰株数十红玫瑰株数的 3 倍, 为研究玫瑰培育技术,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有白玫瑰 2 株,从样本中选 3 株组成培育实验组,则这些培育组中恰有三类玫瑰各一株的概率为()

2 3 1 8 B、 C、 D、 5 10 3 15 2 2 2、已知点 P( x, y) 满足 x ? y ? 2 ,则满足到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 d ?[1,3] 的点 P
A、 的概率为() A、

1 1 ? 2 ?

B、

1 1 ? 2 ?

C、

1 1 ? 4 2?

D、

1 1 ? 4 2? 5 3 , ) 内的概率为() 4 2

3、已知如图所示的程序框图,则函数的定义域为 ( ?3,4) ,则输出函数的值在 (

1 3 2 4 B、 C、 D、 7 7 7 7 4、已知 k ?[?2,3] ,则事件“函数 f ( x) ?| ln | 2 x ? 1 || 在定义域的某个 子区间 (k ? 1, k ? 1) 上不具有单调性”
A、 发生的概率为 .

开始 输入 x
x ? [?1,1]?

否 是

f ( x) ? 2 ? 1

x

f ( x ) ? 2? x ? 1

输出 f ( x ) 结束 5、某电视台在元宵节上映了一种“猜灯谜”游戏,其规则是在编号为 1,2,3,4 的不透明的箱子内各放有 3 个不同的灯笼,每个灯笼上都有一个谜语,参赛者从任意一个箱子中随机抓取若干个灯笼进行谜语破解. (1)小陈随机抓了 4 个灯笼,从至少有 3 个事 3 号、4 号箱子没的灯笼的概率; (2)设小陈对 3 号、4 号箱子内的灯笼上的谜语猜对的概率为 的概率为

4 ,对 1 号,2 号箱子内的灯笼上的谜语猜对 5

个数 ? 的分布列和期望. 答案:1、B 5、(1) P ( A) ? 2、B

3 ,若他从 1 号、3 号、4 号箱子内各抓取一个灯笼进行谜语破解,求他能够破解正确的谜语的 5
3、A 4、

1 5

3 1 4 C6 C6 ? C6 3 ? ;(2) 4 11 C12

?

0

1

2

3

P
E? ? 11 . 5

2 125

19 125

56 125

48 125

29、集合的关系与运算
1、已知集合 A ? { x | ( x ? 2014)( x ? 2015) ? 0} , B ? { x || x ? a |? 2014} ,若 B ? 实数 a 的取值范围是(B) A、 [0,2014] B、 [0,1] C、 [?2014,1] D、 [1,2015] 2 、 设 全 集

A ,则

6 ? 1} x?1 (CU M ) ? N ? {4,5} ,则 M ? (A) A、 {1,2,3} B、 {?1,1,2,3} U ? {x ? Z |



M ? N ? {1,2}
{1,2}



CU ( M ? N ) ? {0}



C、

D、 {?1,1,2

30、推理与证明
a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ... ? nan ,则数列 {bn } 也是等差数列.;类 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 比上述结论,若数列 {cn } 是正项等比数列,类比写出数列 {dn } ,使数列 {dn } 也为等比数列.
1、数列 {an } 是正项等差数列,若 bn

?

答案:

dn ? 2、求证: a, b, c 均为正实数的充要条件是 a ? b ? c ? 0 且 ab ? bc ? ac ? 0 和 abc ? 0 .(反证法)
2 3 (c1c2 c3

1 n 1? 2? 3? ...? n ? ? ? cn ) }

31、算法初步
1、执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 4,则输入的实数 的值为(D)
S ? S ? sin n? 4

开始 输入 x 否 x <1? 是 y=|x+1| 输出 y
y ? 2x

开始 S = 0, n=1 否 x <=2015? 是
S ? S ? sin n? 4

第 2 小题

输出 y 结束

S ? S ? sin

n = n +1 4

n?

结束

第 1 小题

? x ? 1 ? 2 sin? C :? x ? y ? 1 ? 0[90,100 ),[100,100

2、如图所示的程序框图,输出的 S 的值为

0

.

32、复数的概念及运算问题
1、 在复平面内, 复数 3 ? 4i ,i (2 ? i ) 对应的点分别为 A, B , 则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 (D) A、

?2 ? 2i

B、 2 ? 2i

C、 ?1 ? i

D、 1 ? i

33、计数原理
1、某学校高三(1)班周二安排有语文、数学、英语、化学、体育六节课,要求数学不排在第一节课, 体育不排在第四节课,则这天的课表不同排法种数为(D) A、 600 B、 288 C、 480 D、 504 2、设 ( 5 x ? 3

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 240 ,则展 x
B、 20 C、 ? 40 D、 40

开式中常数项为(B) A、 ? 20

34、选考部分
1、如图所示, AB 是半径为 1 的圆的直径,过点 A, B 分别引弦 AD 和 BE ,相交于点 C ,过点 C 作 CF ? AB ,垂足为 F ,已知 ?CAB ? 30? , ?DCB ? 60? . (1)求 ?EAB 的大小; (2)求 AC ? AD ? BC ? BE 的值. D E 答案:(1) ?EAB ? 60? C (2) AC ? AD ? BC ? BE = 4

A

F

B C

2、若极点与直角坐标系原点重合,极轴与 x 正半轴重合,已知直线 l : ? cos ? 线C

? ? sin? ? 1 ? 0 和曲

? x ? 1 ? 2 sin? :? ( ? 为参数) y ? ? 1 ? 2 cos ? ? (1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 是否相交,若相交,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 2 2 答案:(1) x ? y ? 1 ? 0 ; ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 .

2 2 ) ? 14 . 2 3、已知 f ( x ) ?| x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (1)若 f ( x ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)对于任意非零实数 m ,不等式 | 2m ? 1 | ? | 1 ? m |?| m | f ( x ) 恒成立,求实数 x 的取值范围.
(2) 2

22 ? (

答案:(1) [

5 ,? ? ) (2) (? ?,?3] ? [?1,? ?) . 2

创新演练
? i 2 ? i 的实部和虚部分别是() A、 ?1, i B、 ?1,1 C、 1, i D、 1,1 2、如图是一个算法的程序框图,当输入的 x ? (?1,3] 时,输出的 y 的范围为() A、 [1,19) B、 [?1,1) ? [2,4] C、 [?2,2) D、 [?2,0] ? [1,3] n n n?1 n? 2 3 、如果 ( x ? 2) ? an x ? an?1 x ? an? 2 x ? ... ? a1 x ? a0 ,且 n 为 3,9 的等差中项,则
1、设 i 为虚数单位,则复数 z C、 ?63 D、 ? 31 4、南充市教科所派 4 名调研员到 3 个县调研该县的高三复习备考情况,要求每个县至少派 1 名调研员, 则不同的分配方案有 种.

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an 的值为() A、 31 B、 63

1 ? x ? t ? 2 5、已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相 3 ?y ? t ? 2?2 3 ? 2 同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线交于 P, Q 两点,求实数 | PQ | . 6、已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? a | , g( x ) ? 3 x ? 2 . (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x ) ? g( x ) 的解集; 1 1 (2)设 a ? ? ,存在 x ? [a ,? ] 使 f ( x ) ? g( x ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2 2 2、B 3、C 4、36 5、 答案:1、B (1) y ? 3 x ? 2 ? 2 3 ; ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . 5 1 (2) | PQ |? 2 22 ? 12 ? 2 3 . 6、 (1) ( ? ?, ) ; (2) ( ? ?, ? ) 2 2


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