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1.1.1任意角(教、学案)


临清三中数学组 编写人:孙文森

审稿人: 庞红玲 李怀奎

1.1.1 任意角

一、教材分析 “任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念,它又是学好本章教学内容的关键。 它是学生在学习了锐角三角函数后,对三角函数有一定的了解的基础上,进行的推广。它又 是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且,通过这部分内

容的学习,可以帮 助学生更加深入理解函数这一基本概念。 二、教学目标 1.理解任意角的概念; 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的书写。 三、教学重点难点 1.判断已知角所在象限; 2.终边相同的角的书写。 四、学情分析 五、教学方法 1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下,学生发现 就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出数形结合思想与方法 在概念形成与形式化、 数量化过程中的作用, 是一节体现数学的逻辑性、 思想性比较强的课. 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲 点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)复习引入: 1.初中所学角的概念。 2.实际生活中出现一系列关于角的问题。 (二)新课讲解: 1.角的定义:一条射线绕着它的端点 O ,从起始位置 O A 旋转到终止位置 O B ,形成 一个角 ? ,点 O 是角的顶点,射线 O A , O B 分别是角 ? 的终边、始边。 说明:在不引起混淆的前提下, “角 ? ”或“ ? ? ”可以简记为 ? . 2.角的分类: 正角:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 负角:按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 说明:零角的始边和终边重合。 3.象限角: 在直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负轴重合,则 (1)象限角:若角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角。 例如: 3 0 , 3 9 0 , ? 3 3 0 都是第一象限角; 300 , ? 60 是第四象限角。 (2)非象限角(也称象限间角、轴线角) :如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属 于任何象限。例如: 9 0 ,1 8 0 , 2 7 0 等等。 说明:角的始边“与 x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与 x 轴的正半轴重合” 。因为
? ? ? ? ? ? ? ?

1

x 轴的正半轴不包括原点, 就不完全包括角的始边, 角的始边是以角的顶点为其端点的射线。

4.终边相同的角的集合:由特殊角 30 看出:所有与 30 角终边相同的角,连同 30 角 自身在内, 都可以写成 30 ? k ? 360
? ? ? ? ? 反之, 所有形如 30 ? k ? 360 ? k ? Z ? ? k ? Z ? 的形式;

?

?

?

的角都与 30 角的终边相同。 从而得出一般规律: 所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合
S ? ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ? ,
?

即:任一与角 ? 终边相同的角,都可以表示成角 ? 与整数个周角的和。 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 5.例题分析: 例 1 在 0 与 3 6 0 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限 角? (1) ? 1 2 0
? ?

?

?

(2) 6 4 0
? ? ?

?

(3) ? 9 5 0 1 2 ?
?

解: (1) ? 120 ? 240 ? 360 , 所以,与 ? 1 2 0 角终边相同的角是 2 4 0 ,它是第三象限角; (2) 640 ? 280 ? 360 , 所以,与 6 4 0 角终边相同的角是 2 8 0 角,它是第四象限角; (3) ? 950 12 ? ? 129 48 ? ? 3 ? 360 ,
? ? ? ? ? ?

?

?

?

所以, ? 9 5 0 1 2 ? 角终边相同的角是 129 48 ? 角,它是第二象限角。
? ?

例 2 若 ? ? k ? 360 ? 1575 , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限。
? ?

解:∵ ? ? k ? 3 6 0 ? 1 5 7 5 ? ( k ? 5) ? 3 6 0 ? 2 2 5 ,
? ? ?

( k ? 5) ? Z
? ?

∴ ? 与 2 2 5 终边相同, 所以, ? 在第三象限。
?

例3

写出下列各边相同的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ? 360 ? ? ? 720 的元素 ?
?

写出来: (1) 6 0 ;
?

(2) ? 2 1 ;
?

?

(3) 363 14 ? .
?

解: (1) S ? ? ? | ? ? 6 0 ? k ? 3 6 0 , k ? Z ? ,
S 中适合 ? 3 6 0 ? ? ? 7 2 0 的元素是
? ?

60 ? 1? 360 ? ?300 , 60 ? 0 ? 360 ? 60 , 60 ? 1? 360 ? 420 .
? ? ? ? ? ?

?

?

?

(2) S ? ? ? | ? ? ? 2 1 ? k ? 3 6 0 , k ? Z ? ,
? ?

S 中适合 ? 3 6 0 ? ? ? 7 2 0 的元素是
? ?

?21 ? 0 ? 360 ? ?21 , ?21 ? 1? 360 ? 339 , ?21 ? 2 ? 260 ? 699
?

? ? ?

?

?

?

?

?

?
?

(3) S ? ? ? | ? ? 3 6 3 1 4 ? ? k ? 3 6 0 , k ? Z ? S 中适合 ? 3 6 0 ? ? ? 7 2 0 的元素是
? ?

3 6 3 1 4 ? ? 2 ? 3 6 0 ? ? 3 5 6 4 6 ?,
? ? ? ? ?

3 6 3 1 4 ? ? 1 ? 3 6 0 ? 3 1 4 ?,
? ?

3 6 3 1 4 ? ? 0 ? 3 6 0 ? 3 6 3 1 4 ?.
? ?

(三)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
2

设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (四)发导学案、布置预习。 九、板书设计 十、教学反思 以学生的学习为视角,可以对这节课的教学进行如下反思: (1)学生对课堂提问,回答是否积极?学生能否独立或通过合作探索出问题的结果? (2)学生处理课堂练习题情况如何?可能的原因是什么? (3)教学任务是否完成? 下面我们着重分析一下提问的效果。 在回答教学设计中的各项提问时,大多数学生存在一定困难,特别是“问题 1:任意画 一个锐角α ,借助三角板,找出 sinα 的近似值.”和“问题 5:现在,角的范围扩大了, 由锐角扩展到了 0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶 点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α ,sin α 怎样定义好呢?” 对于问题 1,除了由于时间久而遗忘有关知识外,学生不熟悉独立地由一个锐角α ,构 造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因, 他们更习惯于在给定的直角三角形中解 决问题。 对于问题 5,教师强调“在坐标系下怎么样?”后,有学生开始尝试回答。这说明这 个问题要求的思维概括水平较高, 学生仅利用锐角三角函数的有关知识, 难以形成当前研究 任意角三角函数的思想方法。因此,教师必须要提供必要的脚手架。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习,也 希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计(见下页)

3

临清三中数学组 编写人:孙文森

审稿人: 庞红玲 李怀奎

1.1.1 任意角
课前预习学案 一、预习目标 1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相 区分; 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性; 3、能用集合和数学符号表示象限角; 4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容 1.回忆:初中是任何定义角的? 一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB,就形成 角α 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫α 的顶点。 o o 在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转体 720 ” (即转体 2 周)“转体 1080 ” , (即转体 3 周) ;再如时钟快了 5 分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了 5 分钟, 又该如何校正? 2.角的概念的推广:? 3.正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题: 1.定义中说:角的始边与 x 轴的非负半轴重合,如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行, 为什么? 2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字? 3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?

4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的非负半轴上,作出下列各角,并指 出它们是哪个象限的角? 0 0 0 0 (1)420 ; (2)-75 ; (3)855 ; (4)-510 .

5.终边相同的角的表示

4

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2)理解任意角以及象限角的概念; (3)掌握所有与角 a 终边相同的角(包括角 a)的表示方法; 学习重难点: 重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程 例 1. 例 1 在 0 ? 360 范围内,找出与 - 950 ? 12 ' 角终边相同的角,并判定它是第几 象限角.(注: 0 - 3 6 0 是指 0 ? ? ? 3 6 0 )
? ?
? ?

?

?

例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合.

例 3.写出终边直线在 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ? 3 6 0 ? ?
? 720 的元素 ? 写出来.
?

?

(三) 【回顾小结】 1.尝试练习

5

(1)教材 P6 第 3、4、5 题. (2) 补充: 时针经过 3 小时 20 分, 则时针转过的角度为 , 分针转过的角度为 。 注意: (1) k ? Z ; (2)? 是任意角(正角、负角、零角)(3)终边相同的角不一定 ; 相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差 3 6 0 的整数倍. 2.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗? (2) 象限角是如何定义的呢? (3)你熟练掌握具有相同终边角 a 的表示了吗?
?

(四)当堂检测 1.设 E ? {小于 90 的角}  F ? {锐角}, G ={第一象限的角}
o



,那么有( ) . A. 2.用集合表示: (1)各象限的角组成的集合. (2)终边落在 轴右侧的角的集合. B. C. ( ) D.

3.在 (1)



间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 ; (2) ; (3) .

6

3.解:(1)∵
∴与 (2)∵ ∴与 (3) 终边相同的角是 ,它是第四象限的角; 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

所以与

角终边相同的角是
课后练习与提高

,它是第二象限角.

1. 若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是多少? 2. 下列命题正确的是: ( ) (A)终边相同的角一定相等。 (B)第一象限的角都是锐角。 (C)锐角都是第一象限的角。 (D)小于 90 0 的角都是锐角。 3. 若 a 是第一象限的角,则 ? a 是第
2

象限角。

4.一角为

,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o

_.

5.集合 M={α =k ? 90 ,k∈Z}中,各角的终边都在( ) A. 轴正半轴上, C. 6.设 C={α |α = k180 +45 ,k∈Z} ,
o o

B.

轴正半轴上, 轴正半轴或 , 轴正半轴上

轴或

轴上,

D.

则相等的角集合为_

_. 参考答案

1. 解:2 小时 40 分= 8 小时,? ? 180 '? 8
3
3


? ? 480

故分针走过的角为 480 2. C 3. 一或三 4.

5. C 6. _B=D,C=E

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