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2011-2012学年高一下学期期末考试数学试题


肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012 学年第二学期统一检测题 高一数学 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ) 1. cos 225 ? 的值等于 A. ?
2 2

B.

2 2

C. -1

D. 1

2.已知 AB ? (1,3) ,且点 A(-2,5),则点 B 的坐标为 A.(1,8) B.(-1,8) C.(3,-2) D.(-3,2)

3.已知?是第一象限角,则 A. 第一象限角 C. 第一或第二象限角 4. AB ? AC ? BC 等于 A. 0 B. 2 BC

? 是 2
B. 第二象限角 D. 第一或第三象限角

C. ? 2BC

D. 2 AC

5.设数列{an}的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a8 的值为 A. 15 B. 16 C. 49 D. 64

6.设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则下列命题中错误的是 A. | a |? x12 ? y12 C. a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 7.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? B. a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 D. a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

?
6

) 的图象,只需把函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象

? 个长度单位 2 ? C. 向左平移 个长度单位 4
A. 向左平移

? 个长度单位 2 ? D. 向右平移 个长度单位 4
B. 向右平移

8.已知不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是(-1,2),则 a ? b 的值为 A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 1

9.已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x (x?R). 若 f(x)?1,则 x 的取值范围是 A. {x | 2k? ? C. {x | 2k? ?

?
?
3

? x ? 2k? ? ? , k ? Z }
? x ? 2k? ? 5? , k ? Z} 6

B. {x | k? ?

?
3

? x ? k? ? ? , k ? Z }
? x ? k? ? 5? , k ? Z} 6

6

D. {x | k? ?

?
6

10.已知 a、b、a+b 成等差数列,a、b、ab 成等比数列,且 logc (ab) ? 1 ,则 c 的取值范围是 A. 0 ? c ? 1 B. 1 ? c ? 8 C. c ? 8 D. 0 ? c ? 1 或 c ? 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11.函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 9 的定义域为 ▲ .

?4 x ? 3 y ? 8 ? 0, ? 12.不等式组 ? x ? 0, 表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ?



.

13.平面上三个力 F1 、 F2 、 F3 作用于一点且处于平衡状态, | F1 |? 1N , | F2 |? 夹角为 45?,则 | F3 |? ▲ N. .

6? 2 N , F1 与 F2 的 2

1 14.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? (1 ? )a n ,则 {an } 的通项公式为 ▲ n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出证明过程或演算步骤. ) 15.(本小题满分 13 分)
1 ? 已知 sin(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? ) 的值. 2 2

16.(本小题满分 13 分) 已知数列{an}的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p、q 为常数. (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

17.(本小题满分 13 分)

2

已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) (A>0,x?(-?,+?),0<?<?)在 x ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式;
2 ? 12 (3)若 f ( ? ? ) ? ,求 sin?. 3 12 5

?
12

时取得最大值 4.

18.(本小题满分 13 分) 已知矩形的周长为 36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形的长、宽各为多少时,旋转形成的圆 柱的侧面积最大?最大侧面积是多少?

19.(本小题满分 14 分) 设?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c. 已知 sin( A ? (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求 b+c 的最大值.

?
6

) ? cos A .

20 .(本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1( n ? N * ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 4b1 ?14b2 ?1 4b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ( n ? N * ),证明:数列{bn}是等差数列; (3)证明:
1 1 1 2 ? ??? ? ( n ? N * ). a 2 a3 a n?1 3

3

2011—2012 学年第二学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B

二、填空题 11.R 12. (-1,-1) 13. 1 ? 3 14. an ? 2n

三、解答题 15.(本小题满分 13 分)
1 1 解:由 sin(? ? ? ) ? ? ,得 sin ? ? . 2 2

(3 分) (5 分) (7 分) (8 分)

因为 sin ? ? 0 ,且 sin ? ? 1 ,所以 ? 是第一或第二象限角.
1 3 由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,得 cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? . 2 4

当 ? 为第一象限角时, cos? ?

3 3 , ? 4 2

sin( ? ? ) ? cos? 2 所以 tan( ? ? ) ? ? ? 3; ? 2 sin ? cos( ? ? ) 2
当 ? 为第二象限角时, cos? ? ?

?

(10 分)

3 3 , ?? 4 2

(11 分)

sin( ? ? ) cos? 2 所以 tan( ? ? ) ? ? ? ? 3. ? 2 sin ? cos( ? ? ) 2

?

?

(13 分)

16 .(本小题满分 13 分) (1)证明:因为当 n>1 时,

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p ,
又 p 为常数, 所以{an}是等差数列.

(4 分) (6 分) 4

(2)当 n=1 时, a1 ? p ? q . 所以 S n ?
n(a1 ? a n ) n[( p ? q) ? ( pn ? q)] 1 2 1 ? ? pn ? ( p ? 2q)n . 2 2 2 2

(8 分) (13 分)

17.(本小题满分 13 分) 解:(1)f(x)的最小正周期 T ? (2)由题意可得 A=4 且 sin( 3 ? 则? ?
2? . 3 ? ? ) ? 1,

(3 分) (5 分) (6 分) (7 分) (8 分) (10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

?
12

?
4

?

?
2

? 2k? ,得 ? ?

?
4

? 2k? (k ? Z ) .

因为 0<?<?,所以 ? ? 所以 f ( x) ? 4 sin( 3 x ?

?
4 ).

.

?
4

2 ? ? 12 (3)因为 f ( ? ? ) ? 4 sin( 2? ? ) ? 4 cos 2? ? , 3 12 2 5 3 所以 cos 2? ? . 5 1 1 所以 sin 2 ? ? (1 ? cos 2? ) ? , 2 5

所以 sin ? ? ?

5 . 5

18.(本小题满分 13 分) 解:设矩形的长和宽分别为 x 和 y,圆柱的侧面积为 z, (1 分) (7 分)

?2( x ? y) ? 36, 依题意,得 ? ? z ? 2? ? x ? y.
? x ? y ? 18, ? 即? x? y 2 z ? 2? ? ( ) ? 162? . ? 2 ?

(11 分)

当 x=y,即长和宽均为 9 时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积为 162?. (13 分)

19.(本小题满分 14 分)

5

解法一:(1)由 sin( A ?

?
6

) ? cos A ,得 sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? cos A , (2 分)

即 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 . 又 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2)由正弦定理得 b ?

(4 分) (6 分)

?
3

.

a ? sin B 4 3 a ? sin C 4 3 ? sin B , c ? ? sin C , (8 分) sin A 3 sin A 3

故b ? c ?

4 3 (sin B ? sin C ) . 3
2? , 3

(9 分)

因为 B ? C ? ? ? A ?

所以 sin B ? sin C ? sin B ? sin( 所以 b ? c ? 4 sin( B ? 因为 0 ? B ? 所以当 B ?

2? 3 3 ? ? B) ? sin B ? cos B ? 3 sin(B ? ) . (11 分) 3 2 2 6

?
6

).

(12 分)

?
6

2? ? ? 5? ,所以 ? B ? ? . 3 6 6 6 ?

?

2

,即 B ?

?

3

时, sin( B ?

?
6

) 取得最大值 1,b+c 取得最大值 4.(14 分)

解法二:(1)同解法一. (2)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 4 ? b 2 ? c 2 ? bc , 所以 (b ? c) 2 ? 3bc ? 4 , 即 (b ? c) 2 ? 3(
b?c 2 ) ? 4 ,b ? c ? 4. 2

(8 分) (10 分) (12 分) (14 分)

所以,当且仅当 b=c,即?ABC 为正三角形时,b+c 取得最大值 4.

20.(本小题满分 14 分) 解:(1)因为 an?1 ? 2an ? 1,所以 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . 所以数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. 所以 an ? 1 ? 2 n , an ? 2n ? 1 . (2)因为 4b1 ?14b2 ?1 4b3 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,所以 4 (b1 ?b2 ???bn ?n ) ? 2 nbn . 即 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) 6

所以 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1

② ③

(7 分) (8 分) (9 分) (10 分)

②-①得: 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 所以 (n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④

④-③得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?2 ,即 2bn?1 ? bn ? bn?2 . 所以数列{bn}是等差数列. (3)因为
1 1 1 1 , ? n?1 ? n?1 ? an?1 2 ? 1 2 ? 2 2an

(12 分)

设S ?

1 1 1 , ? ??? a 2 a3 an?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n?1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? . a 2 an?1 3 a n?1 3

则S ?

(13 分)

所以 S ?

(14 分)

7


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