# 2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(A卷

Γ 于T .
⑴求证: MP MT = NP NT ; 求证:

,记 ⑵在弧 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) 记 AQC , △QCB 的 , 内心分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

【解析】⑴连 NI , MI .由于 PC ‖ MN , P ,C , M , N 共圆,故 PCMN 是等腰梯形.因 解析】 此 NP = MC , PM = NC .
P N I T A C M

B

∠MIC = ∠MAC + ∠ACI = ∠MCB + ∠BCI = ∠MCI ,

NC = NI .

NP = MI , PM = NI .

. 故四边形 MPNI 为平行四边形.因此 S△ PMT = S△ PNT (同底,等高) 又 P , N , T , M 四点共圆,故 ∠TNP + ∠PMT = 180° ,由三角形面积公式
S△ PMT = = 1 1 PM MT sin ∠PMT = S△ PNT = PN NT sin ∠PNT 2 2 1 PN NT sin ∠PMT 2

P N I I2 I1 A T Q C M

B

NT MT = . NI1 MI 2

NT MT = . MP NP

∠I1 NT = ∠QNT = ∠QMT = ∠I 2 MT ,

I1 NT ∽ I 2 MT .

∠I1QI 2 = ∠NQM = ∠NTM = ∠I1TI 2 .

1 n k 求证不等式: 求证不等式: 1 < ∑ 2 ln n ≤ , n = 1 ,2,… k +1 2 k =1

【解析】证明:首先证明一个不等式: 解析】 ⑴
x < ln(1 + x) < x , x > 0 . 1+ x

h( x) = x ln(1 + x) , g ( x) = ln(1 + x)

x . 1+ x

h′( x) = 1 1 1 x 1 > 0 , g ′( x) = = >0. 2 1 + x (1 + x) (1 + x)2 1+ x

h( x) > h(0) = 0 , g ( x) > g (0) = 0 .

1 得 n

1 1 1 < ln 1 + < . n +1 n n k 1 ln n ,则 x1 = , 2 k =1 k + 1
2 n

xn xn 1 = <

n 1 ln 1 + n2 + 1 n 1 n 1 n2 + 1 n 1 <0 (n + 1)n
2

=

1 . 2

n 1 1 ln n = (ln n ln(n 1)) + (ln(n 1) ln( n 2)) + + (ln 2 ln1) + ln1 = ∑ ln 1 + . k k =1

xn = ∑
n 1 k 1 ∑ ln 1 + k k =1 k + 1 k =1 n 2

n 1 n 1 1 k n k 1 = ∑ 2 ln 1 + + 2 > ∑ 2 k n + 1 k =1 k + 1 k k =1 k + 1

= ∑

n 1 1 1 ≥ ∑ k =1 ( k + 1) k k =1 ( k + 1) k
2

n 1

= 1 +

1 > 1 . n

3. .

l 【解析】证法一:对任意正整数 t ,令 m = k + t l ( k !) .我们证明 ( Ck , ) = 1 . 解析】 m

k !C k = ∏ (m k + i ) m
i =1 k k

≡ ∏ [(i + tl (k !)]
i =1 k

≡ ∏i
i =1

≡ k !( mod pα +1 ) .

k !Ck = ∏ (m k + i ) m
i =1 k k

≡ ∏ [(i + tl (k !) 2 ]
i =1 k

≡ ∏i
i =1

≡ k !( mod p ) .

k !C k = ∏ (m k + i ) m
i =1 k k 1

≡ ∏ [(i + tl (k !) 2 ]
i =1 k

≡ ∏i
i =1

≡ k !( mod pα +1 )

x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 P = x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 x x x x x x x x x 31 32 33 34 35 36 37 38 39

x18 , x38 , x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表 均大于.

x11 x12 x13 S = x21 x22 x23 x x x 31 32 33 x1k 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 x2 k ( k = 1 ,2,…,9)均存 , , ) x 3k

x1k * (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 x2 k* , k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 × 3 数表 x 3k* x11 x12 x1k * S ′ = x21 x22 x2 k* x31 x32 x 3k*

min { x11 ,x12 } , min { x21 ,x22 } , min { x31 ,x32 }

min { x21 ,x22 } = x22 , min { x31 ,x32 } = x32 .

S 中的对角线上数字. x11 x12 x13 S = x21 x22 x23 x x x 31 32 33

I = {k ∈ M | xik > min { xi1 ,xi 2 } ,i = 1 ,3} .

x11 x12 x1k * S ′ = x21 x22 x2 k* x31 x32 x 3k*

x1k * > min { x11 ,x12 } ≥ u1 , x3 k* > min { x31 ,x32 } ≥ u3 .

{

}

′ u2 = min x21 ,x22 ,x2 k* = x2 k* .下证对任意的 k ∈ M ,存在某个 i = 1 ,2,3 使

{

}

x11 x12 x1k =x x x S 21 22 2 k x x x 31 32 3k

u1 = min { x11 ,x12 ,x13 } = x11

⑷ u2 = min { x21 ,x22 ,x23 } = x22
u3 = min { x31 ,x32 ,x33 } = x33 x32 < x31 .

u1 = min { x11 ,x12 ,x1k } = x11 , ⑸ u 2 = min { x21 ,x22 ,x2 k } = x22 ,

u 3 = min { x31 ,x32 ,x3 k } = x3k .

u i ≥ xik * .由 k * ∈ I 及⑷和⑹式知, x1k * > x11 = u1 , x3k* > x32 = u 3 .于是只能有 ′ x2 k* ≤ u 2 = x2 k .类似地,由 S ′ 满足性质 (O) 及 k ∈ M 可推得 x2 k ≤ u2 = x2 k* .从

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