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必修1-2.1.2 指数函数及其性质


2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质 1.指数函数的定义 一般地,函数 y=__ax__(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是__自变量__. [知识点拨] 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的结构特征: (1)底数:大于零且不等于 1 的常数; (2)指数:仅有自变量 x; (3)系数:ax 的系数是 1. 2.指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质如下表所示: a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 性 质 过定点 单调性 奇偶性 R __(0,+∞)__ 过定点__(0,1)__,即 x=0 时,y=1 在 R 上是__增函数__ 在 R 上是__减函数__ 非奇非偶函数 [知识点拨] (1)a>1 是一撇,0<a<1 是一捺;(2)图象位于 x 轴上方; (3)当 x=0 时,y=1;(4)在 y 轴右侧,a 越大,图象越高,即逆时针方向,底数依次增大. 1.下列函数中一定是指数函数的是 ( C ) A.y=2x +1 B.y=x2 C.y=3 -x D.y=-2· 3x 1 [解析] 只有 y=3-x=( )x 符合指数函数的概念,A,B,D 选项中函数都不符合 y=ax(a>0,且 a≠1) 3 的形式. 2.指数函数 y=ax 与 y=bx 的图象如图所示,则 ( C ) A.a<0,b<0 C.0<a<1,b>1 B.a<0,b>0 D.0<a<1,0<b<1 [解析] 指数函数在底数大于 1 时单调递增,底数大于 0 小于 1 时单调递减,故选 C. 3.y=( 3)x 的值域是 ( D ) A.R B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(0,+∞) 4.若函数 y=(k+2)ax+2-b(a>0,且 a≠1)是指数函数,则 k=__-1__,b=__2__. ? ? ?k+2=1, ?k=-1, [解析] 根据指数函数的定义,得? 解得? ? ? ?2-b=0, ?b=2. 5.若指数函数 y=(a-2)x 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是__(3,+∞)__. [解析] 因为指数函数 y=(a-2)x 在 R 上为增函数,所以 a-2>1,即 a>3. 命题方向 1 ?指数函数的概念 典题 1 下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=10x;(2)y=10x 1;(3)y=-4x;(4)y=xx;(5)y=xα(α 是常数);(6)y=(2a-1)x. + [思路分析] 利用指数函数的定义进行判断. [解析] (1)y=10x 符合定义,是指数函数; (2)y=10x+1 指数是 x+1 而非 x,不是指数函数; (3)y=-4x 中系数为-1 而非 1,不是指数函数; (4)y=xx 中底数和指数均是自变量 x,不符合指数函数的定义,不是指数函数. (5)y=xα 中底数是自变量,不是指数函数. (6)y=(2a-1)x 中由于底数可能不大于 0 或可能为 1,故不一定是指数函数. 『规律方法』 判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合 y=ax(a>0,a≠1)这一结构形 式. 〔跟踪练习 1〕下列函数中为指数函数的是__(1)、(4)、(6)__. 1 (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=(-4)x;(4)y=πx;(5)y=4x2;(6)y=(2a-1)x(a> 且 a≠1). 2 [解析] (2)中底数 x 不是常数,而 4 不是自变量; (3)中底数-4<0,∴不是指数函数; (5)中指数不是自变量 x,而是

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