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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4直线平面平行的判定与性质教师用书文


2018 版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面平行 的判定与性质教师用书 文 新人教版

1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直 判定定理 线平行, 则该直线与此平面平行(简记 为“线线平行? 线面平行”) 一条直线与一个平面平行,则过这条 性质定理 直线的任一平面与此平面的交线与该 直线平行(简记为“线面平行? 线线 平行”) 图形语言 符号语言 ∵l∥a,

a? α ,l?α ,
∴l∥α ∵l∥α ,l? β ,α ∩β =

b,∴l∥b

2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 一个平面内的两条相交直 线与另一个平面平行,则 判定定理 这两个平面平行(简记为 “线面平行? 面面平 行”) 如果两个平行平面同时和 性质定理 第三个平面相交,那么它 们的交线平行 ∵α ∥β ,α ∩γ =a, β ∩γ =b,∴a∥b ∵a∥β ,b∥β ,a∩b =P, 图形语言 符号语言

a? α , b? α , ∴α ∥β

【知识拓展】 重要结论: (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β ; (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b; (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ .

1

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α .( × ) (6)若 α ∥β ,直线 a∥α ,则 a∥β .( × ) ) ) )

1.(教材改编)下列命题中正确的是(

)

A.若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B.若直线 a 和平面 α 满足 a∥α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α ,b?α ,则 b∥α 答案 D 解析 A 中,a 可以在过 b 的平面内;B 中,a 与 α 内的直线可能异面;C 中,两平面可相交; D 中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α ,正确. 2.设 l,m 为直线,α ,β 为平面,且 l? α ,m? β ,则“l∩m=?”是“α ∥β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B 解析 当平面与平面平行时, 两个平面内的直线没有交点, 故“l∩m=?”是“α ∥β ”的必 要条件;当两个平面内的直线没有交点时,两个平面可以相交,∴l∩m=?是 α ∥β 的必要 不充分条件. 3.(2016·烟台模拟)若平面 α ∥平面 β ,直线 a∥平面 α ,点 B∈β ,则在平面 β 内且过 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

B 点的所有直线中(

)

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A. 4.(教材改编)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与平面 AEC 的位置关
2

系为________.

答案 平行 解析 连接 BD,设 BD∩AC=O,

连接 EO,在△BDD1 中,O 为 BD 的中点, 所以 EO 为△BDD1 的中位线, 则 BD1∥EO,而 BD1?平面 ACE,EO? 平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 5 .过三棱柱 ABC - A1B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有 ________条. 答案 6 解析 各中点连线如图,只有面 EFGH 与面 ABB1A1 平行,在四边形 EFGH 中有 6 条符合题意.

题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 1 例 1 如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 2 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点.

3

(1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD. 证明 (1)连接 EC,

1 ∵AD∥BC,BC= AD, 2 ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点,∴FO∥AP,

FO? 平面 BEF,AP?平面 BEF,
∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H, ∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH? 平面 OHF, ∴GH∥平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例2 (2017·长沙调研)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均

为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH⊥平面 ABCD,

BC∥平面 GEFH.

4

(1)证明:GH∥EF; (2)若 EB=2,求四边形 GEFH 的面积. (1)证明 因为 BC∥平面 GEFH,BC? 平面 PBC, 且平面 PBC∩平面 GEFH=GH, 所以 GH∥BC. 同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF. (2)解 如图,连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK.

因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO⊥AC, 同理可得 PO⊥BD. 又 BD∩AC=O,且 AC,BD 都在底面内, 所以 PO⊥底面 ABCD. 又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD, 且 PO?平面 GEFH,所以 PO∥平面 GEFH. 因为平面 PBD∩平面 GEFH=GK, 所以 PO∥GK,且 GK⊥底面 ABCD, 从而 GK⊥EF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB=8,EB=2 得 EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 1 1 从而 KB= DB= OB,即 K 为 OB 的中点. 4 2 1 再由 PO∥GK 得 GK= PO, 2 1 即 G 是 PB 的中点,且 GH= BC=4. 2 由已知可得 OB=4 2,

PO= PB2-OB2= 68-32=6,

5

所以 GK=3. 故四边形 GEFH 的面积 S= = 4+8 ×3=18. 2

GH+EF
2

·GK

思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a?α ,b? α ,a∥b? a∥α ); (3)利用面面平行的性质定理(α ∥β ,a? α ? a∥β ); (4)利用面面平行的性质(α ∥β ,a?α ,a?β ,a∥α ? a∥β ). 如图所示,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E,F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上, 且 CD⊥AB.求证:四边形 EFGH 是矩形.

证明 ∵CD∥平面 EFGH, 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF. 同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF, ∴四边形 EFGH 为平行四边形. ∴CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角(或补角). 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形. 题型二 平面与平面平行的判定与性质

例3

如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,

求证:

6

(1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵G,H 分别是 A1B1,A1C1 的中点, ∴GH 是△A1B1C1 的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC, ∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E,F 分别是 AB,AC 的中点, ∴EF∥BC. ∵EF?平面 BCHG,BC? 平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形, ∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB? 平面 BCHG, ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 引申探究 1.在本例条件下,若 D 为 BC1 的中点,求证:HD∥平面 A1B1BA. 证明 如图所示,连接 HD,A1B,

∵D 为 BC1 的中点,H 为 A1C1 的中点, ∴HD∥A1B, 又 HD?平面 A1B1BA,

A1B? 平面 A1B1BA,
∴HD∥平面 A1B1BA. 2.在本例条件下,若 D1,D 分别为 B1C1,BC 的中点,求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明

7

如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 M, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴M 是 A1C 的中点,连接 MD, ∵D 为 BC 的中点, ∴A1B∥DM. ∵A1B? 平面 A1BD1,

DM?平面 A1BD1,
∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知,D1C1 綊 BD, ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形, ∴DC1∥BD1. 又 DC1?平面 A1BD1,BD1? 平面 A1BD1, ∴DC1∥平面 A1BD1, 又∵DC1∩DM=D,DC1,DM? 平面 AC1D, ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个 平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. (2016·西安模拟)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面 中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2.

(1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.
8

(1)证明 由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,B1D1? 平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形, ∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1,D1C? 平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又 BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又 AO= AC=1,AA1= 2, 2 ∴A1O= AA1-OA =1. 1 又 S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴ V三棱柱ABD? A B D =S△ABD·A1O=1.
1 1 1

2

2

题型三 平行关系的综合应用

例 4 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解 方法一 存在点 E,且 E 为 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1.

下面给出证明:

如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF, 则 DF∥B1C1,
9

∵AB 的中点为 E,连接 EF,ED, 则 EF∥AB1,B1C1∩AB1=B1, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE? 平面 DEF, ∴DE∥平面 AB1C1. 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E, 使得 DE∥平面 AB1C1,

如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,EF,ED,则 DF∥B1C1, 又 DF?平面 AB1C1,B1C1? 平面 AB1C1, ∴DF∥平面 AB1C1, 又 DE∥平面 AB1C1,

DE∩DF=D,
∴平面 DEF∥平面 AB1C1, ∵EF? 平面 DEF,∴EF∥平面 AB1C1, 又∵EF? 平面 ABB1,平面 ABB1∩平面 AB1C1=AB1, ∴EF∥AB1, ∵点 F 是 BB1 的中点,∴点 E 是 AB 的中点. 即当点 E 是 AB 的中点时,DE∥平面 AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常 用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,试问截面在什么 位置时其截面面积最大?

解 ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG,EH. ∴AB∥FG,AB∥EH,

10

∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 =

x CG , a BC

y BG x y b = ,两式相加得 + =1,即 y= (a-x), b BC a b a
∴S?EFGH=FG·GH·sin α =x· ·(a-x)·sin α =

b a

bsin α x(a-x). a

∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴

bsin α absin α x(a-x)≤ ,当且仅当 x=a-x 时等号成立. a 4 a b

此时 x= ,y= . 2 2 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大.

5.立体几何中的探索性问题

典例 (12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形,其中 AD∥BC,∠BAD 2 =90°,SA⊥底面 ABCD,SA=AB=BC=2,tan∠SDA= . 3

(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)在棱 SD 上找一点 E,使 CE∥平面 SAB,并证明. 规范解答 2 解 (1)∵SA⊥底面 ABCD,tan∠SDA= ,SA=2, 3 ∴AD=3.[2 分] 由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形,且 SA=AB=BC=2,

VS-ABCD= ·SA· ·(BC+AD)·AB

1 3

1 2

11

1 1 10 = ×2× ×(2+3)×2= .[6 分] 3 2 3 (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时,可使 CE∥平面 SAB.[8 分]

证明如下: 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E,取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F,连接 CE,EF,BF, 2 2 则 EF 綊 AD,BC 綊 AD, 3 3 ∴BC 綊 EF,∴CE∥BF.[10 分] 又∵BF? 平面 SAB,CE?平面 SAB, ∴CE∥平面 SAB.[12 分]

解决立体几何中的探索性问题的步骤: 第一步:写出探求的最后结论; 第二步:证明探求结论的正确性; 第三步:给出明确答案; 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

1.(2017·保定月考)有下列命题: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则直线 l∥α ; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α ; ③若直线 a∥b,b∥α ,则 a∥α ; ④若直线 a∥b,b∥α ,则 a 平行于平面 α 内的无数条直线. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 命题①:l 可以在平面 α 内,不正确;命题②:直线 a 与平面 α 可以是相交关系, 不正确;命题③:a 可以在平面 α 内,不正确;命题④正确.故选 A. )

12

2.(2016·滨州模拟)已知 m,n,l1,l2 表示直线,α ,β 表示平面.若 m? α ,n? α ,l1 ? β ,l2? β ,l1∩l2=M,则 α ∥β 的一个充分条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥l2 答案 D 解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平 行”可得,由选项 D 可推知 α ∥β .故选 D. 3.设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 答案 B 解析 l∥α ,l∥β ,则 α 与 β 可能平行,也可能相交,故 A 项错;由“同垂直于一条直 线的两个平面平行”可知 B 项正确; 由 l⊥α , l∥β 可知 α ⊥β , 故 C 项错; 由 α ⊥β , l∥α 可知 l 与 β 可能平行,也可能 l? β ,也可能相交,故 D 项错.故选 B. 4.已知平面 α ∥平面 β ,P 是 α ,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α ,β 分别交于 A,C 两 点,过点 P 的直线 n 与 α ,β 分别交于 B,D 两点,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为 ( ) 24 B.24 或 5 D.20 ) B.m∥β 且 n∥β D.m∥l1 且 n∥l2 )

A.16 C.14 答案 B 解析 由 α ∥β 得 AB∥CD. 分两种情况: 若点 P 在 α ,β 的同侧,则 16 24 ∴PB= ,∴BD= ; 5 5 若点 P 在 α ,β 之间,则 = ∴PB=16,∴BD=24.

PA PB = , PC PD

PA PB , PC PD

5.(2016·全国甲卷)α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β ; ②如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n;

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③如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β ; ④如果 m∥n,α ∥β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④ 解析 当 m⊥n,m⊥α ,n∥β 时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④ 均正确,故正确答案为②③④. 6.设 α ,β ,γ 是三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α ∩β =m,n? γ , 且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α ∥γ ,n? β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m? γ . 可以填入的条件有________. 答案 ①或③ 解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β ,m? γ 时,n 和 m 在同一平面内,且 没有公共点,所以平行,③正确. 7.如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 的中点,动点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动, 则 M 满足条件________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

答案 M∈线段 FH 解析 因为 HN∥BD,HF∥DD1,所以平面 NHF∥平面 B1BDD1,故线段 FH 上任意点 M 与 N 相连, 都有 MN∥平面 B1BDD1.(答案不唯一) 8.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命 题称为“可换命题”.给出下列四个命题: ①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两 直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的 序号) 答案 ①③ 解析 由线面垂直的性质定理可知①是真命题, 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题, 故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不 是“可换命题”;由公理 4 可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题, 故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命
14

题,故④不是“可换命题”. 9.在四面体 A-BCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行 的是________. 答案 平面 ABD 与平面 ABC 解析 如图,取 CD 的中点 E,

连接 AE,BE. 则 EM∶MA=1∶2,

EN∶BN=1∶2,
所以 MN∥AB. 所以 MN∥平面 ABD,

MN∥平面 ABC.
*10.在三棱锥 S-ABC 中,△ABC 是边长为 6 的正三角形,SA=SB=SC=15,平面 DEFH 分别 与 AB,BC,SC,SA 交于点 D,E,F,H.D,E 分别是 AB,BC 的中点,如果直线 SB∥平面 DEFH, 那么四边形 DEFH 的面积为________. 答案 45 2

解析 如图,取 AC 的中点 G, 连接 SG,BG.

易知 SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故 AC⊥平面 SGB, 所以 AC⊥SB. 因为 SB∥平面 DEFH,SB? 平面 SAB,平面 SAB∩平面 DEFH=HD, 则 SB∥HD. 同理 SB∥FE. 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点, 则 H,F 也为 AS,SC 的中点,
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1 从而得 HF 綊 AC 綊 DE, 2 所以四边形 DEFH 为平行四边形. 又 AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC, 所以 DE⊥HD, 所以四边形 DEFH 为矩形, 1 1 45 其面积 S=HF·HD=( AC)·( SB)= . 2 2 2 11.如图,E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点.求证:

(1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB, 易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥EG, 由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D.

(2)由题意可知 BD∥B1D1. 如图,连接 HB、D1F, 易证四边形 HBFD1 是平行四边形,故 HD1∥BF. 又 B1D1∩HD1=D1,

BD∩BF=B,
所以平面 BDF∥平面 B1D1H. 12.(2016·贵州兴义八中月考)在如图所示的多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 a 的 菱形,且∠DAB=60°,DF=2BE=2a,DF∥BE,DF⊥平面 ABCD.

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(1)在 AF 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 ABCD,请证明你的结论; (2)求该多面体的体积. 解 (1)当点 G 位于 AF 中点时,有 EG∥平面 ABCD.

证明如下:取 AF 的中点 G,AD 的中点 H,连接 GH,GE,BH. 在△ADF 中,HG 为中位线, 1 故 HG∥DF 且 HG= DF. 2 1 因为 BE∥DF 且 BE= DF, 2 所以 BE 綊 GH,即四边形 BEGH 为平行四边形, 所以 EG∥BH. 因为 BH? 平面 ABCD,EG?平面 ABCD, 所以 EG∥平面 ABCD. (2)连接 AC,BD.

因为 DF⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形, 所以 AC⊥平面 BDFE. 所以该多面体可分割成两个以平面 BDFE 为底面的等体积的四棱锥. 即 VABCDEF=VA-BDFE+VC-BDFE=2VA-BDFE

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1 a+2a 3 3 3 =2× × ×a× a= a . 3 2 2 2 *13.如图所示,斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,D1 分别为 AC,A1C1 上的点.

(1)当

A1D1 等于何值时,BC1∥平面 AB1D1? D1C1 AD DC

(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1,求 的值. 解 (1)如图所示,取 D1 为线段 A1C1 的中点,

此时

A1D1 =1. D1C1

连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质知,四边形 A1ABB1 为平行四边形, ∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1 中,点 O,D1 分别为 A1B,A1C1 的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1? 平面 AB1D1,BC1?平面 AB1D1, ∴BC1∥平面 AB1D1. ∴当

A1D1 =1 时,BC1∥平面 AB1D1. D1C1

(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1, 且平面 A1BC1∩平面 BC1D=BC1, 平面 A1BC1∩平面 AB1D1=D1O, 得 BC1∥D1O,同理 AD1∥DC1, ∴

A1D1 A1O A1D1 DC = , = , D1C1 OB D1C1 AD

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又∵

A1O DC AD =1,∴ =1,即 =1. OB AD DC

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