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命题及其关系、充分条件与必要条件习题及答案


命题及其关系、充分条件与必要条件
(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 7 分,共 35 分) 1.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x

≤-1,则 x2≥1 2.已知集合 M={x|0<x<1},集合 N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2010· 陕西)“a>0”是“|a|>0”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( ) ( )
2

(

)

4.(2009· 重庆)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 5.已知集合 A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A?B”是“a>5”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 二、填空题(每小题 6 分,共 24 分) 6.(2009· 江苏)设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分 别平行于 β 内的两条相交直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号__________(写出所有真命题的序号). ... B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

7.已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件.现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件;②p 是 q 的充分条件而不是必要条件;③r 是 q 的必要条件而不 是充分条件;④綈 p 是綈 s 的必要条件而不是充分条件;⑤r 是 s 的充分条件而不是必 要条件. 则正确命题序号是________. 8.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________. 9.已知 p:?x|?
? ?x+2≥0 ? ? ? ? ? ,q:{x|1-m≤x≤1+m,m>0},若 q 是 p 的必要非充分条件, ? ? ? ? ?x-10≤0?

则实数 m 的取值范围是____________. 三、解答题(共 41 分) 10.(13 分)已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围. 11.(14 分)求证:关于 x 的一元二次不等式 ax2-ax+1>0 对于一切实数 x 都成立的充要条件 是 0<a<4. 12.(14 分) 答案 1.D 2.B 3.A 4.B 5.B

6.①②

7.①②④ 8.[1,2) 9.[9,+∞)

10.解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5. q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件,
?m-1≥1, ? ∴? ? ?m+1≤5.

∴2≤m≤4.

11.证明 (1)必要性:若 ax2-ax+1>0 对 x∈R 恒成立, 由二次函数性质有:
? ?a>0 ?a>0 ? ,即? 2 ,∴0<a<4. ?Δ<0 ? ?a -4a<0

(2)充分性:若 0<a<4,对函数 y=ax2-ax+1, 其中 Δ=a2-4a=a(a-4)<0 且 a>0, ∴ax2-ax+1>0 对 x∈R 恒成立. 由(1)(2)知,命题得证.

12.已知全集 U=R,非空集合 A=?x| 1 (1)当 a= 时,求(?UB)∩A; 2

? ? x-a2-2 ? x-2 <0?,B=?x| <0?. x-a ? x-?3a+1? ? ? ? ?

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

9 x- ?x|x-2<0? ? ? ? 4 5? 9? 1 ? 1 5 ?=?x|2<x< ? B= x| <0 =?x| <x< ? 12.解 (1)当 a= 时,A=? 2? 1 4? 2 ? 2 ? x-2 ? ? ? x- ? 2 1 9? ? ∴?UB=?x|x≤2或x≥4?. ? ? 5? ? 9 ∴(?UB)∩A=?x|4≤x<2?.
? ?

? ? ?

? ? ?

(2)∵a2+2>a,∴B={x|a<x<a2+2}. 1 ①当 3a+1>2,即 a> 时,A={x|2<x<3a+1}. 3 ∵p 是 q 的充分条件,∴A?B.
? ?a≤2 3- 5 1 ∴? ,即 <a≤ . 2 3 2 ? ?3a+1≤a +2

1 ②当 3a+1=2,即 a= 时,A=?,符合题意; 3 1 ③当 3a+1<2,即 a< 时,A={x|3a+1<x<2}, 3 由 A?B 得?
? ?a≤3a+1 ?a +2≥2 ?
2

1 1 ,∴- ≤a< . 2 3

? 1 3- 5?. 综上所述:a∈?- , ? 2 ? ? 2


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