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浙江省绍兴一中2013-2014学年高二上学期期末数学文试题 Word版含答案


绍兴一中

2013 学年 第一学期

高二数学(文科)期末考试题卷

注意:须把本试卷的所有答案填写在答题纸上 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定

?p 为
2

A. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

2. 已知平面 ? ,直线 l ? ? ,直线 m? ? ,则“直线 l ∥ ? ”是“ l ∥m”的 [ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 圆 x ? y ? 6 x ? 0 过点 ?4,2 ? 的最短弦所在直线的斜率为
2 2

1 1 D. 2 2 2 2 4. 过 (2, 2) 点且与曲线 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 相交所得弦长为 2 3 的直线方程为
A.2 B.-2 C. ? A. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 y ? 2 B. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 D. x ? 2 或 y ? 2

5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是 A.
3 3 4

ks5u C.
3 4

B.

3 3

D.

3 12

6 .设抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线 N :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦 a 2 b2

点.若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过 F,则双曲线 N 的离心率 e 的值为 A. 2 B. 2 ? 1
2 2

C. 3 ? 2

D .

2 ?1

7. 如果直线 ax ? by ? 2 与圆 x ? y ? 4 相切,那么 a ? b 的最大值为 A. 1 B. C. 2 D.

8.设 ? 表示平面,a、b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题:①若 a∥ ? ,a⊥b,则 b ⊥ ? ;②若 a∥b,a⊥ ? ,则 b⊥ ? ;③若 a⊥ ? ,a⊥b,则 b∥ ? ;④若 a⊥ ? ,b⊥ 的是 ? ,则 a∥b.其中为假命题 ... A.②③ B. ①③ C.②④ D.①③④

9. 已知定直线 l 与平面 ? 成 60°角,点 P 是平面 ? 内的一动点,且点 p 到直线 l 的距离为 3,则动点 P 的轨迹是

A.圆

B.椭圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 垂直于 x 轴 a2 b2 的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范
10. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 围是 A. (1,??) B. (1, 3 ) C. (1, 2) D. (1,1 ? 2 )

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=___▲___. 12. 已知命题 p : 不等式 x ? m 的解集是 R,命题 q : f ( x) ?

函数,若命题“ p ? q ”为真,则实数 m 的范围是___▲___.

2?m 在区间 (0,??) 上是减 x

13. 从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 ▲ . 14. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积 相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 ▲ .

15. 已知恒过定点(1,1)的圆 C 截直线 x ? ?1 所得弦长为 2, 则圆心 C 的轨迹方程为 ▲ .

x2 y2 16.设双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个 a b
公共点,则双曲线的离心率为 ▲ .

B , N ? BC1 , 且 17. 如 图 , 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱 长 为 1 , 点 M ? A 1

A M? B N ? 2 ,有以下四个结论:
① AA1 ? MN , ② A1C1 // MN ;③ MN // 平面 A1 B1 C1 D1; ④ MN 与

A1C1 是异面直线.其中正确结论的序号是__▲___ (注:把你认为正确命
题的序号都填上) ks5u

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分)

18.(本小题满分 8 分) 已知圆 C:x +(y-2) =5,直线 l:mx-y+1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.
2 2

19. (本小题满分 8 分) 如右图为一组合几何体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积.

20. (本小题满分 8 分) 已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2 的面积.

21. (本小题满分 9 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面

ABCD 是 ?ADC ? 60? 的菱形, M 为 PB 的中点. ks5u
(Ⅰ)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证: PA ? 平面 CDM ; (Ⅲ)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值.

22. (本小题满分 9 分) 已知椭圆 C1 、抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C 2 的顶点均为原点 O ,从每条曲 线上取两个点,将其坐标记录于下表中: x 3

?2
0

4

2
2 2

y

?2 3

?4

(Ⅰ)求 C1 , C 2 的标准方程; (Ⅱ)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C 2 的焦点 F ;②与 C1 交于不同两点 M ,N , 且满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

2013 年高二(上)期末考试卷(数学(文科) )
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则命题 p 的否定 ?p 为(
2



A. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

答案:D 2. 已知平面 ? ,直线 l ? ? ,直线 m? ? ,则“直线 l ∥ ? ”是“ l ∥m”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B 3. 圆 x ? y ? 6 x ? 0 过点 ?4,2 ? 的最短弦所在直线的斜率为(
2 2

)[



A.2 答案:C

B.-2

C. ?

1 2

D.

1 2

4. 过 (2, 2) 点 且 与 曲 线 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 相 交 所 得 弦 长 为 2 3 的 直 线 方 程 为
2 2

(

) A. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 y ? 2 B. 3x ? 4 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 D. x ? 2 或 y ? 2

答案:C

Ks5u

5.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( A. 答案:C 6 .设抛物线 M : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 是双曲线 N :
2

) C.
3 4

3 3 4

B.

3 3

D.

3 12

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右焦 a 2 b2
)

点.若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过 F,则双曲线 N 的离心率 e 的值为 ( A. 2 B. 2 ? 1
2 2

C. 3 ? 2

D .

2 ?1


7. 如果直线 ax ? by ? 2 与圆 x ? y ? 4 相切,那么 a ? b 的最大值为 ( A. 1 答案:D B. C. 2 D.

8.设 ? 表示平面,a、b 表示两条不同的直线,给定下列四个命题:①若 a∥ ? ,a⊥b,则 b ⊥ ? ;②若 a∥b,a⊥ ? ,则 b⊥ ? ;③若 a⊥ ? ,a⊥b,则 b∥ ? ;④若 a⊥ ? ,b⊥

的是( ? ,则 a∥b.其中为假命题 ... A.②③ 答案:B B. ①③

) C.②④ D.①③④

9. 已知定直线 l 与平面 ? 成 60°角,点 P 是平面 ? 内的一动点,且点 p 到直线 l 的距离为 3,则动点 P 的轨迹是( A.圆 答案:D B.椭圆的一部分 ) C.抛物线的一部分 D.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过点 F1 垂直于 x 轴 a2 b2 的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范
10. 已知 F1 , F2 分别是双曲线 围是 A. (1,??) 答案:D Ks5u 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11.若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=________. 答案 1 12. 已知命题 p : 不等式 x ? m 的解集是 R,命题 q : f ( x) ? B. (1, 3 ) C. (1, 2) D. (1,1 ? 2 )

函数,若命题“ p ? q ”为真,则实数 m 的范围是______. 答案: ? ??, 2 ?

2?m 在区间 (0,??) 上是减 x

13. 从一个棱长为 1 的正方体中切去一部分,得到一个几何体,其三视图如右图,则该几何 体的体积为 . 答案:

5 6
.

14. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积和半球的体积 相等,则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为 答案:

5 5

15. 已知恒过定点 (1,1) 的圆 C 截直线 x ? ?1 所得弦长为 2 ,则圆心 C 的轨迹方程 为 . 答案: y ? 4 x ? 2 y
2

16.设双曲线 心率为

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离 2 a b
.

答案:

5

B , N ? BC1 , 且 17. 如 图 , 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱 长 为 1 , 点 M ? A 1

A M? B N ? 2 ,有以下四个结论:
① AA1 ? MN , ② A1C1 // MN ;③ MN // 平面 A1 B1 C1 D1; ④ MN 与

A1C1 是异面直线.其中正确结论的序号是________ (注:把你认为正确
命题的序号都填上) 答案:①③

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18.(本小题满分 8 分) 已知圆 C:x +(y-2) =5,直线 l:mx-y+1=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解析:(1)证明:法一:直线系 l:mx-y+1=0 恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆 C:x +(y -2) =5 内部,所以对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点.--------3 分 法二:直线方程与圆的方程联立,消去 y 得(m +1)x -2mx-4=0, ∵Δ =4m +16(m +1)=20m +16>0,∴对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. |0-2+1| 1 法三:圆心到直线的距离 d= = 2 ≤1< 5,所以对 m∈R,直线 l 与圆 C 2 m +1 m +1 总有两个不同交点. (2)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),--------4 分 2m 2 2 由方程(m +1)x -2mx-4=0,得 x1+x2= 2 ,--------5 分 m +1 m y-1 ∴x= 2 ,由 mx-y+1=0,得 m= ,--------6 分 m +1 x m y-1 2 y-1 代入 x= 2 ,得 x[( ) +1]= , m +1 x x 3 2 1 2 化简得 x +(y- ) = . 2 4 --------8 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2

19. (本小题满分 8 分)ks5u 如右图为一组合几何体,其底面 ABCD 为正方形,

PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? AD ? 2 EC ? 2
(Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积; (Ⅲ)求该组合体的表面积. 解: (2 分+3 分+3 分)

20. (本小题满分 8 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△PF1F2 的面积. 解 (1)依题意得|F1F2|=2, 又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b =3. 2 2 x y ∴所求椭圆的方程为 + =1. ----------3 分 4 3 (2)设 P 点坐标为(x,y),∵∠F2F1P=120°, ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)·tan 120°, 即 y=- 3(x+1).----------4 分
2

? ?y=- 3?x+1?, 解方程组?x2 y2 + =1, ? ?4 3
8 x=- , ? ? 5 并注意到 x<0,y>0,可得? 3 3 ? ?y= 5 .

----------6 分

1 3 3 3 3 ∴S△PF1F2= |F1F2|· = . ----------8 分 2 5 5

21. (本小题满分 9 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PDC 是边长为 2 的正三角 形, 且与底面垂直, 底面 ABCD 是 ?ADC ? 60 的菱形,M 为
?

PB 的中点. ks5u
(Ⅰ)求 PA 与底面 ABCD 所成角的大小; (Ⅱ)求证: PA ? 平面 CDM ; (Ⅲ)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值. 解: (3 分+3 分+3 分) (I)取 DC 的中点 O,由 Δ PDC 是正三角形,有 PO⊥DC. 又∵平面 PDC⊥底面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD 于 O. 连结 OA,则 OA 是 PA 在底面上的射影.∴∠PAO 就是 PA 与底面所成角. ∵∠ADC=60°,由已知 Δ PCD 和 Δ ACD 是全等的正三角形,从而求得 OA=OP= 3 . ∴∠PAO=45°.∴PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45°. (II)由底面 ABCD 为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有 OA⊥DC. 建立空间直角坐标系如图, 则 A( 3, 0, 0), P(0, 0, 3), D(0, ?1, 0) , B( 3, 2, 0), C(0, 1, 0) . 由 M 为 PB 中点,∴ M (
3 3 , 1, ). 2 2

???? ????? ? 3 3 ??? ), PA ? ( 3, 0, ? 3), DC ? (0, 2, 0) . ∴ DM ? ( , 2, 2 2
??? ? ????? 3 3 ? 3 ? 2? 0 ? (? 3) ? 0 , ∴ PA ? DM ? 2 2 ??? ? ???? PA ? DC ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 .

∴PA⊥DM,PA⊥DC. (III) CM ? (
???? ?

∴PA⊥平面 DMC.

? 3 3 ??? , 0, ), CB ? ( 3, 1, 0) . 2 2

? 令平面 BMC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,ks5u
则 n ? CM ? 0 ,从而 x+z=0; ??①,

? ? ????

? ? ??? n ? CB ? 0 ,从而 3x ? y ? 0 . ??②
由①、②,取 x=?1,则 y ? 3, z ? 1 . ∴可取 n ? (?1,

?

3, 1) .

由(II)知平面 CDM 的法向量可取 PA ? ( 3, 0, ? ? ? ??? ? n ? PA ?2 3 10 ? ??? ? ? ?? ∴ cos ? n, PA ?? ? ??? . 5 | n | | PA | 5? 6 ∴所求二面角的余弦值为- 法二: (Ⅰ)方法同上

??? ?

3) ,

10 . 5

(Ⅱ)取 AP 的中点 N ,连接 MN ,由(Ⅰ)知,在菱形 ABCD 中,由于 ?ADC ? 60 ,
?

则 AO ? CD ,又 PO ? CD ,则 CD ? 平面APO ,即 CD ? PA , 又在 ?PAB 中,中位线 MN //

1 1 AB ,CO // AB ,则 MN //CO ,则四边形 OCMN 为 ? , 2 2
, 故A P ? M C 而 MC ? CD ? C ,

所以 MC // ON , 在 ?APO 中,AO ? PO , 则O N ? A P 则 PA ? 平面MCD

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 MC ? 平面PAB ,则 ?NMB 为二面角 D ? MC ? B 的平面角,在

Rt ?PAB 中,易得 PA ? 6, PB ? PA2 ? AB 2 ?
cos ?PBA ? AB 2 10 ? ? ,ks5u PB 5 10

6 ? 2 2 ? 10 ,

2

cos ?NMB ? cos(? ? ?PBA) ? ?

10 10 故,所求二面角的余弦值为 ? 5 5

22. (本小题满分 9 分)ks5u 已知椭圆 C1 、抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C 2 的顶点均为原点 O ,从每条曲 线上取两个点,将其坐标记录于下表中: x 3

?2
0

4

2
2 2

y

?2 3

?4

(Ⅰ)求 C1 , C 2 的标准方程;

(Ⅱ)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C 2 的焦点 F ;②与 C1 交于不同两点 M ,N , 且满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)设抛物线 C 2 : y ? 2 px ( p ? 0) ,则有
2

y2 ? 2 p ,据此验证 4 个点知 3,?2 3 , x

?

?

?4,?4? 在抛物线上,易求 C 2 : y 2 ? 4 x .
设 C1 :

? 2? x2 y2 ? 代入得 2 , ? 2 ? 1 ,把点 ?? 2,0 ?, ? 2 ? 2 ? a b ? ?

4 ? ? a2 ? 1 ?a 2 ? 4 x2 ? y2 ? 1. ,解得, ? 2 ,? C1 的方程为: ?2 1 4 b ? 1 ? ? 2 ? 2 ?1 2b ?a
综上, C1 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 , C 2 的方程为: y 2 ? 4 x 。----------4 分 4

(Ⅱ) 假 设 存 在 这 样 的 直 线 l , 设 其 方 程 为 x ? 1 ? my , 两 交 点 坐 标 为

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,

? x ? 1 ? my ? 2 2 由 ? x2 消去 x ,得 ?m ? 4?y ? 2my ? 3 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ?4

? y1 ? y 2 ?

? 2m ?3 , y1 y 2 ? 2 ,① 2 m ?4 m ?4

x1 x2 ? ?1 ? my1 ??1 ? my 2 ? ? 1 ? m? y1 ? y 2 ? ? m 2 y1 y 2

? 1? m ?

? 2m ?3 4 ? 4m 2 2 ? m ? ? ,②----------6 分 m2 ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4

? OM ? ON ,? OM ? ON ? 0,? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0, ③
将①②代入③得,

4 ? 4m 2 ?3 1 ? 2 ? 0, 解得 m ? ? ----------8 分 2 2 m ?4 m ?4

所 以 假 设 成 立 , 即 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 且 l 的 方 程 为 y ? 2x ? 2 或

y ? ?2 x ? 2 .----------9 分


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