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《走向高考》2013高三数学(北师大版)一轮总复习 教师备课平台5 28


走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第五章

平 向 面 量

第五章

平面向量

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第四章
教 备 平 师 课 台

第五章

平面向量

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一、转化与化归思想在向量解题中的应用 向量的坐标表示,实际上是向量的代数表示.引入向量 的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合 起来,这样可以将许多几何问题转化为熟知的数量运算.这 也给我们解决几何问题提供了一种新的方法——向量坐标 法,即建立平面直角坐标系,将几何问题用坐标表示,通过 向量的坐标运算解决问题.

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[例1]

在以O为 点 直 坐 系 , 原的角标中点

A(4,-3)为△

→ → OB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的 坐 大 零 A 纵标于. → () 求向量AB的坐标; 1 () 求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程. 2

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[分析]

→ → → → → → 由AB =OB -OA ,得到OB =AB +OA ,再利用B

→ 点纵坐标的要求,对AB的坐标进行取舍.

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[解析]

→ ?→ ?|AB|=2|OA|, → () 设AB=(u,v).由题意知? 1 → → ?AB· =0, ? OA
?u=6, ? 解得? ?v=8, ? ?u=-6, ? 或? ?v=-8. ?

?u2+v2=100, ? 即? ?4u-3v=0, ?

→ → → 因为OB=OA+AB=(u+4,v-3),所以v-30 , > → 所以v=8,故AB=(8 6) , .

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→ () 由OB=(0) 2 15 ,

,得B(0) 15 ,



1 所以直线OB的方程为y= x. 2 由条件可知圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=10, 所以圆心坐标为(3,-1),半径为 10. 设圆心(3,-1)关于直线OB的对称点为(x,y),

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y-1 ?x+3 ? 2 -2× 2 =0, ? ? ?y+1=-2, ?x-3 ?

?x=1, ? 解得? ?y=3. ?

故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.

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[例2]

如所,点 图示若

D是△ABC内一点,并且满足AB2

+CD2=AC2+BD2, 证 求 : AD⊥BC.

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[分析]

借向的法分表出量然代 助量减,别示向,后入

已知条件证明.

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[证明]

→ → → 设AB=c,AC=b,AD=m,则

→ → → → → → BD=AD-AB=m-c,CD=AD-AC=m-b. ∵AB2+CD2=AC2+BD2, ∴c2+(m-b)2=b2+(m-c)2,即 ∴c2+m2-2m· 2=b2+m2-2m· 2, b+b c+c → → → 即2m· (c-b)=0,即AD· -AC)=0, (AB → → ∴AD· =0,∴AD⊥BC. CB

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二、函数与方程思想在向量解题中的应用 平面向量的坐标运算使平面向量代数化,而向量与代数 中的函数最值等问题结合,即是通过向量的数量积的坐标运 算联系起来的.向量与其他知识的结合,已成为高考命题的 热点.

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[例3]

已知a=(

?1 3,-1),b= ? , ?2 ?

3? ? ,且存在实数k和 2? ?

k+t2 t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y.试求 的最 t 小值. [分析] 本借 题 助 x⊥y建立k与t的函数关系,再利用函数

的有关知识解决.

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[解析]
2

∵a=(
2

?1 3,-1),b=? , ?2 ? ? ?1? 2 ? ? +? ? ?2? ?

3? ? ,|a|= 2? ? 3?2 ? =1. 2? ?

? 3? +?-1? =2,|b|=

1 3 ∵a· b= 3×2+(-1)× 2 =0,故有a⊥b. 由x⊥y,得[a+(t2-3)b] -ka+tb)=0, ( · 即-ka2+(t3-3t)b2+(t-kt2+3k)a· b=0, ∴-k|a|2+(t3-3t)|b|2=0.

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将|a|=2,|b|=1, 入 式 - 代上得

4k+t3-3t=0,

t3-3t k+t2 1 2 1 7 2 ∴k= ,∴ = (t +4t-3)= (t+2) - , 4 t 4 4 4 k+t2 7 故当t=-2时, t 有最小值-4.

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三、数形结合思想在向量解题中的应用 利用向量解决平面几何问题是一种基本方法.以向量为 工具,应用向量的加、减法的几何意义,也可用基底或坐标 表示,然后经过推理论证得出结论.高考中向量与平面几何 的结合越来越密切,甚至在整个解析几何综合题中充当“主 角”.

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[例4]

已知AC、BD是四边形AC 的对角线,且AC和 BD

BD互相平分.求证:四边形AC 是平行四边形. BD [分析] 利向证四形平四形,需 用量明边为行边时只证

明表示四边形两条对边的向量相等即可.

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[证明]

如所,四形 图示设边

AC 的对角线AC、BD交 BD

→ → → → → → → 于点O且互相平分,于是AO=OC,OB=DO.则AB=AO+OB → → → → → → → → → =OB+AO=DO+OC=DC,因此AB∥DC且|AB|=|DC|.

所以四边形AC 为平行四边形. BD

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四、分类讨论思想在向量解题中的应用 [例5] (02 21· 烟台模拟)已知平面上三点A、B、C, .

→ → BC=(2-k,3),AC=(4 2) ,

() 若三点A、B、C不能构成三角形,求实数k应满足的条 1 件; () 若△ABC为直角三角形,求k的值. 2

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[分析] 三点共线.

() 三点A、B、C不能构成三角形,即A、B、C 1

() 对A、B、C谁为直角顶点进行分类讨论. 2

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[解析]

() 由三点A、B、C不能构成三角形,得A、B、 1

→ → C在同一直线上,即向量BC与AC平行, 1 → → ∵BC∥AC,∴4 -k)-2×3=0,解得k= . ( 2 2 → → () ∵BC=(2-k,3),∴CB=(k-2,-3), 2 → → → ∴AB=AC+CB=(k,1). ∵△ABC为直角三角形,

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→ → → → 则当∠BAC是直角时,AB⊥AC,即AB· =0, AC ∴2k+4=0,解得k=-2; → → → → 当∠ABC是直角时,AB⊥BC,即AB· =0, BC ∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1; → → → → 当∠A B 是直角时,AC⊥BC,即AC· =0, C BC ∴16-2k=0,解得k=8. 综上得k∈{-2,-1,3,8}.

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五整思在量的用 、体想向中应 向具几和数双性数形紧结是 量有何代的重,与的密合向 量特.量坐表,际是量代表 的点向的标示实上向的数 示引向 ,入 化平向 .面量 量坐表后使量运坐化即数 的标示,向的算标,代 → OA 与 A(x,y)之 建 了 一 应 系 对 点 间立一对关,平 → OA =(x, “整 .

面量讲有小有向是个体对 向来既大又方,一整; y),(x,y)也 一 整 , 量 许 运 都 以 这 是个体向的多算可用个 体”来 决 这 是 量 坐 运 的 体 想 解,就向的标算整思

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[例6]

如所, 图示在

Rt△ABC中,已知BC=a,若长为

→ → 2a的线段PQ以点A为中点,问: PQ 与 BC 的夹角θ取何值时, → → BP· 的值最大?并求出这个最大值. CQ

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[分析]

解本的键要合形利向的 答题关是结图,用量三

角形法则找出向量之间的关系;或建立适当的坐标系,利用 向量的坐标形式来解答.

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[解析]

以角点 直顶

A为坐标原点,两直角边所在直线为

坐标轴建立平面直角坐标系. 设B(b,0),C(0,c), 以 b2+c2=a2. 所 设P点坐标为(x,y),则Q点坐标为(-x,-y), → → 且x2+y2=a2,则BP=(x-b,y),CQ=(-x,-y-c). → → BP· =(x-b)(-x)+y(-y-c)=-(x2+y2)+(bx-cy). CQ → → 又BC=(-b,c),PQ=(-2x,-2y).

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→ → 而BC· =2a2cs θ=2bx-2cy, PQ o → → ∴BP· =a2cs θ-a2. CQ o → → → ∴当cs θ=1时, BP · 有最大值0,即当θ=0 即 PQ 与 o CQ ° ( → → → BC的方向相同)时,BP· 最大,最大值为0. CQ

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