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2017届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考数学(理科)试题


2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考试卷 数学(理科)
命题学校:广州市第二中学 命题人:刘 敏

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.

注意事项: 1. 答题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相 关信息填写在答题卡指定区域内. 2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 选做部分,执信、广雅、六中的同学做题类 A,二中的同学做题类 B. 5. 考生必须保持答题卡的整洁.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? y y ? 2 A. y y ? 0

2. (题类 A) “ ? ? ? ”是“ cos ? ? cos ? ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件

?

?

?

x

? , B ? ?y y ?
B. y y ? 0

?

?

x ? 1 ,则 A ? B 等于
C. y y ? 1

?

?

?

D. y y ? 1 (

?



?





2. (题类 B) A. ?

1 ? 3i 等于 ( 3 ? i )2
B. ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





1 3 ? i 4 4

1 3 ? i 4 4

C.

1 3 ? i 4 4


D.

1 3 ? i 4 4

3.运行如图所示程序语句后,输出的结果是 A.17 B.19 C.21 D.23 个数 b ,则 b ? a 的概率是



4.从 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取一个数 a ,从 ?1, 2,3? 中随机选取一

4 A. 5 2 C. 5

3 B. 5 1 D. 5
数学(理科)试卷





i=1 DO i = i+2 S = 2i+3 i = i-1 LOOP UNTIL i≥8 PRINT S END

第 1 页,共 4 页

5. 已知等比数列 ?an ? 中, 各项都是正数, 且 a1 、 a3 、2 a2 成等差数列, 则

1 2

a9 ? a10 ?( a7 ? a8
D. 3 ? 2 2



A. 1 ? 2
1 2

B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

6.给定函数① y ? x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ? x ? 1 ,④ y ? 2 x ?1 ,其中在区间 (0,1) 上
2

单调递减的函数序号是 A.①②

( B.②③ C.③④ D.①④



7. (题类 A)双曲线

支上) ,另一焦点为 F2 ,则 ?ABF2 的周长为 A. 4a ? 2m B. 4a

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,过焦点 F1 的弦 AB 长为 m ( A 、 B 在同一 a 2 b2
C. 4a ? m D. 4a ? 2m ( C. 2 x sin x 2 D. 2 x cos x 2 ( )

7. (题类 B)设 f ( x ) ? sin x 2 ,则 f '( x ) 等于 A. sin 2 x B. cos x 2



? x ? ?1 ? 8.若变量 x 、 y 满足条件 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? 2 y ? 5 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 9.某几何体的三视图如图所示(均为直角边长为 2 的等腰直角 三角形) ,则该几何体的表面积为 ( ) A. 4 ? 4 2 C. 6 ? 2 3 B. 4 ? 4 3 D. 8





10.若 a , b 是非零向量,且 a ? b , a ? b ,则函数 f ( x ) ? ( xa ? b ) ? ( xb ? a ) 是(

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



11.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. [1 ? 2 2,1 ? 2 2] C. [ ?1,1 ? 2 2] A. a ? b B. a ? b B. [ ?1, 3] D. [1 ? 2 2, 3] C. a ? b

A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数

B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数 ( )

12.正实数 a 、 b 满足 a b ? b a ,且 0 ? a ? 1 ,则 a 、 b 的大小关系是
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( D.不能确定



第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 份,共 20 分. 13.已知 cos x ? sin x ?

14. (题类 A)抛物线 y ? ax 2 的焦点坐标为 (0, ) ,则 a ? __________; 14. (题类 B)计算定积分

3 2 cos 2 x ,则 ? __________; ? 5 sin( x ? ) 4

15.已知正实数 x 、 y 满足 2 x ? y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小 值为__________; 16.如图,正三棱锥 A ? BCD 的侧棱长为 2,底面 BCD

?

?1

1

( x 2 ? sin x)dx ? __________;

3 8

A

的边长为 2 2 ,E 、F 分别为 BC 、 BD 的中点,则三棱

锥 A ? BEF 的外接球半径 R ? __________,内切球半径 r ? __________.

B

E

F C

D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分) 的零件, 为检验质量, 随机从中各抽取 5 件, 测量结果如图.请说明哪个机床加工的零 件较好? 甲、 乙两机床同时加工直径为 100 mm
99 99 100 100 98 102 100 99 103 100

甲 乙

18. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD ? 33 ,sin B ?

5 3 ,cos ?ADC ? , 求 AD . 13 5

19. (本小题满分 12 分) 在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正

S

三角形, 平面 SAC ? 平面 ABC , SA ? SC ? 2 3 ,

M 为 AB 的中点. (1)求证: AC ? SB ; (2)求二面角 S ? CM ? A 的平面角的余弦

C A M B

值.

数学(理科)试卷

第 3 页,共 4 页

20. (本小题满分 12 分)

c ( , 0) 、( m, n) ,G 、O ' 、 H 分别为 ?ABC 的重 2

如图, A 、 B 、 C 的坐标分别为 ( ?

c , 0) 、 2

y

C

心、外心、垂心. (1)写出重心 G 的坐标; (2)求外心 O ' 、垂心 H 的坐标; (3)求证: G 、 H 、 O ' 三点共线,且满足

GH ? 2 O ' G .

A

O' G H O

B x

21. (本小题满分 12 分)

数列 ?an ? 是公差 d 不为 0 的等差数列, a1 ? 2 , S n 为其前 n 项和.

(1)当 a3 ? 6 时,若 a1 , a3 , an1 , an2 ,…, ank 成等比数列(其中 3 ? n1 ? n2 ? ? ? nk ) , 求 nk 的表达式; (2) 是否存在合适的公差 d ,使得 ?an ? 的任意前 3n 项中,前 n 项的和与后 n 项的和的

比值等于定常数?若存在,求出 d ;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 12 分)

(题类 A) 以椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 短轴端点 A(0,1) 为直角顶点, 作椭圆内接等腰直角 a2

三角形,试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.

(题类 B)函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x , g ( x ) ? x ln x .

(1)求 f ( x ) 的最大值; (2)设 0 ? a ? b ,求证: 0 ? g (a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b ) ? (b ? a ) ln 2 . 2

数学(理科)试卷

第 4 页,共 4 页

2017 届高二上学期期末执信、广雅、二中、六中四校联考 数学(理科) 参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. BBCDC BDCAA DB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 份,共 20 分. 13. 14. 15. 18

6 5

2 3

16.1, 2 ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 10 分) 解: x甲 ?

99 ? 100 ? 98 ? 100 ? 103 ? 100 5 99 ? 100 ? 102 ? 99 ? 100 x乙 ? ? 100 5

…………1 分 …………2 分 …………3 分

故它们的整体水平相当;
2 s甲 ?



(99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (98 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (103 ? 100) 2 ? 2.8 5 (99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? (102 ? 100) 2 ? (99 ? 100) 2 ? (100 ? 100) 2 ? 1.2 5
…………7 分 …………9 分 …………10 分 …………5 分

2 s乙 ?



2 2 ,从而乙机床相对稳定; s甲 ? s乙

故乙机床加工的零件相对较好.

3 ? 0 ,? ?ADC 为锐角 5 又 ? ?ADC ? ?B ? ?BAD ,??B 亦为锐角 12 4 从而 cos B ? 1 ? sin 2 B ? , sin ?ADC ? 1 ? cos 2 ?ADC ? 13 5
18. (本小题满分 12 分) 解:? cos ?ADC ?

…………1 分 …………2 分 …………4 分

? sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B )

1 1

? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B 4 12 3 5 ? ? ? ? 5 13 5 13
数学(理科)参考答案 第 1 页,共 6 页

33 65 AD BD 又 ? ? sin B sin ?BAD
1

?

…………8 分 …………10 分 …………12 分

5 sin B ? AD ? BD ? ? 33 ? 13 ? 25 33 sin ?BAD 65

19. (本小题满分 12 分) 证明: (1)取 AC 的中点 O ,连接 OS 、 OB , …………1 分 ? SA ? SC ,? AC ? OS C …………2 分 D ? BA ? BC ,? AC ? OB O …………3 分 B 又 OS 、 OB ? 面 OSB , OS ? OB ? O M A …………4 分 ? AC ? 面 OSB …………5 分 ? AC ? SB …………6 分 (2)方法一: 平面 SAC ? 平面 ABC , SO ? AC 由面面垂直性质定理,有 SO ? 面 ABC …………8 分 过 O 作 OD ? CM 于 D ,连接 SD 由三垂线定理,有 SD ? CM ,从而 ?SDO 为二面角 N ? CM ? B 的平面角 …………10 分

S

? 二面角 N ? CM ? B 的平面角的余弦值为

又 SO ? 2 2 , OD ? 1 ,? SD ? 3

方法二: 平面 SAC ? 平面 ABC , SO ? AC 由面面垂直性质定理,有 SO ? 面 ABC 从而 OA 、 OB 、 OS 两两垂直 …………8 分 建立如图所示的空间直角坐标系

1 3

…………12 分

S

z

易知 S 、 C、 M 的坐标分别为 (0, 0, 2 2) 、 ( ?2, 0, 0) 、

(1, 3, 0) ,面 ACM 的一个法向量为 (0, 0,1)
设 n( x, y , z ) 为面 SCM 的一个法向量

?

…………9 分

A

O

C M B y

? ??? ? ? ?n ? CS ? 2 x ? 2 2 z ? 0 则 ? ? ???? , ? n ? CM ? x ? 3 y ? 2 2 z ? 0 ? ?

x

数学(理科)参考答案

第 2 页,共 6 页

取 z ? ?1 ,则 n ? ( 2, 6, ?1)

?

…………11 分

故二面角 N ? CM ? B 的平面角的余弦值为

(0, 0,1) ? ( 2, 6, ?1) 1 ? 3 1? 2 ? 6 ? 1

…………12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)重心 G 的坐标为 (

(2)设外心 O ' 、垂心 H 的坐标分别为 (0, y1 ) 、 ( m, y2 ) , BC 中点为 D

m n , ); 3 3

…………1 分



?

? 4 m 2 ? 4n 2 ? c 2 y ? ? ? 1 8n ? 2 2 ? y ? ?4m ? c 2 ? 4n ?

c ? m ? ????? ??? ? ? 2 ? (m ? c ) ? ( n ? y ) ? n ? 0 ?O ' D ? BC ? 1 2 2 2 ? ? ? ???? ??? c c ? AH ? BC ? (m ? ) ? (m ? ) ? y2 ? n ? 0 ? 2 2

…………3 分

…………5 分

故外心 O ' 的坐标为 (0, (3) GH ? (

????

????? m ?12m 2 ? 4n 2 ? 3c 2 2m ?12m2 ? 4n 2 ? 3c 2 , ) , O 'G ? ( , ) 3 12n 3 24n

4m 2 ? 4 n 2 ? c 2 ?4m 2 ? c 2 ) ,垂心 H 的坐标为 (m, ) ; ……7 分 8n 4n

有 故

G 、 H 、 O ' 三点共线,且满足 GH ? 2 O ' G .
a3 ? a1 6 ? 2 ? ?2 3 ?1 3 ?1

???? ????? GH ? 2O ' G

…………10 分 …………12 分

解: (1)数列 ?an ? 的公差 d ? 21. (本小题满分 12 分)

…………1 分 …………2 分

? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n

另一方面,数列 a1 , a3 , an1 , an2 ,…, ank 的公比 q ?

? ank ? a1 ? 3( k ? 2) ?1 ? 2 ? 3( k ? 2) ?1 ? 2 ? nk
从而

a3 6 ? ?3 a1 2

…………3 分 …………5 分 …………6 分

nk ? 3k ?1
数学(理科)参考答案 第 3 页,共 6 页

(2)等差数列 ?an ? 中, S n ? na1 ? 从而

11





d ? 5d ? ? ? ? ?2 2 ? ?2 ? d ? ? (2 ? d ) ? ? 2 2

n d d ( n ? 1) d ? ? n 2 ? (2 ? ) ? n …………7 分 2 2 2 d d d d S3n ? S 2 n ? [ ? (3n) 2 ? (2 ? ) ? 3n] ? [ ? (2n)2 ? (2 ? ) ? 2 n] 2 2 2 2 5d 2 d …………9 分 ? ? n ? (2 ? ) ? n 2 2 5d d d d S3 n ? S 2 n ? ? Sn ,则 ? n 2 ? (2 ? ) ? n ? ?[ ? n 2 ? (2 ? ) ? n] 2 2 2 2

?d ? 4 ? d ? 0 ?? 或? (舍) ?? ? 5 ? ? ? 1

…………11 分 …………12 分

即是说

d ? 4 满足题意,且定常数为 5 .

22. (本小题满分 12 分) (题类 A) 解:假设存在符合条件的等腰直角三角形,则两条直角边的斜率均存在,且为一正一负,不 妨设其中正的斜率为 k ( k ? 0)

此时直角边的直线方程为 y ? kx ? 1

…………1 分

联立椭圆



(a 2 k 2 ? 1) ? x 2 ? 2a 2 k ? x ? 0

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) ,有 x 2 ? a 2 (kx ? 1) 2 ? a 2 2 a
…………2 分 …………3 分 …………4 分

?

x ?0或x ? ?

2a 2 k a2k 2 ? 1

从而该直角边长为

1 2a 2 ( ? ) 1 2 2a 2 k ? 1 ? (? ) ? 2 ? k 2 ?1 同理可得另一条直角边长为 2 1 k a ?k a 2 (? ) 2 ? 1 k


2a 2 k 2a 2 k 2 ? 1 ? k ? ? 1? k 2 a2k 2 ? 1 a 2k 2 ? 1

……6 分



k 3 ? a 2 k 2 ? a 2 k ? 1 ? 0 , (k ? 1)[k 2 ? (1 ? a 2 )k ? 1] ? 0

2a 2 k 2a 2 2 ? 1 ? k ? ? k 2 ? 1 ,则 k (a 2 ? k 2 ) ? a 2 k 2 ? 1 2 2 2 2 a k ?1 a ?k

?

k ? 1 或 k 2 ? (1 ? a 2 )k ? 1 ? 0
数学(理科)参考答案 第 4 页,共 6 页

…………8 分

考虑

综合:

1 ? a ? 3 时,能作出 1 个符合条件的三角形; a ? 3 时,能作出 3 个符合条件的三角形.
1 x ?1 ? ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
…………12 分

??k ? (1 ? a 2 )2 ? 4 ? 0 ? ? 2 ? ?1 ? a ? 0

f (k ) ? k 2 ? (1 ? a 2 )k ? 1 ,若其有非1 的正的零点(两零点之积为 1 ) ,必须 ? a? 3
…………10 分

解: (1) f '( x ) ? 从而

(题类 B)

…………1 分 …………2 分 …………3 分

上单调递增,在 (0, ?? ) 上单调递减 f ( x ) 在 (?1,0)



f ( x) max ? f (0) ? 0
(2)下面用两种方法分别证明不等式的左、右两边

左边:要证

即要证





11

a?b )?0 2 a?b a?b a?b a ln a ? b ln b ? 2 ? ln ? ( a ? b) ln 2 2 2 a?x h1 ( x ) ? a ln a ? x ln x ? (a ? x ) ln ( x ? a ? 0) 2 1 a?x 1 1 h1' ( x ) ? ln x ? x ? ? [ln ? ? ? (a ? x)] a?x 2 x 2 2 2x a?x ? ln ? ln ?0 a?x a?x g ( a ) ? g (b ) ? 2 g (

…………4 分 …………5 分

即是说

h1 ( x) 在 ( a , ?? ) 上单调递增

从而

b ? a 时, a ln a ? b ln b ? ( a ? b) ln
g ( a ) ? g (b) ? 2 g (

a?b 2

…………6 分

故不等式左边成立; 右边:要证

即要证

a?b ) ? (b ? a ) ln 2 2 a?b a?b a ln a ? b ln b ? 2 ? ln ? (b ? a ) ln 2 2 2
a ln a ? b ln b ? ( a ? b) ln( a ? b ) ? 2a ln 2 ? 0

…………7 分



a ln a ? b ln b ? (a ? b)[ln( a ? b) ? ln 2] ? (b ? a ) ln 2 ? 0





x?

b ,有 b ? ax ( a ? 0 , x ? 1) a
数学(理科)参考答案

…………8 分

第 5 页,共 6 页

即要证

a ln a ? ax ln(ax ) ? ( a ? ax ) ln( a ? ax ) ? 2a ln 2 ? 0 x ln x ? (1 ? x ) ln(1 ? x ) ? 2 ln 2 ? 0
…………9 分 …………10 分





h2 ( x) ? x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 2 ln 2( x ? 1)



11

1 1 x ' h2 ( x ) ? ln x ? ? x ? [ln(1 ? x) ? ? (1 ? x)] ? ln x 1? x 1? x x ? ln ? ln1 ? 0 1? x

即是说

h2 ( x ) 在 (1, ?? ) 上单调递增

…………11 分

从而

x ? 1 时, x ln x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 2 ln 2 ? h2 (1) ? 0

故不等式右边成立.

…………12 分

数学(理科)参考答案

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