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2014高考数学备考学案(文科)能力提升第74课 抽样方法与统计图表


考纲要求
1.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本. 2.了解分层抽样和系统抽样方法. 3.会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图, 理解它们各自的特点.

知识梳理
1.简单随机抽样

不放回 (1) 定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个________地抽取 n 个个体作为样本
(n ?

N ) ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 相等 ,就把这种抽 样方法叫作简单随机抽样.

抽签 (2) 简单随机抽样主要有_______法和 随机数表 法. _________
2.分层抽样 (1) 定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例 ,从各层 独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样 方法叫作分层抽样. (2) 分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

3.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本.

编号 (1)编号:先将总体的 N 个个体_____.
(2)分段:确定__________,对编号进行分段. 分段间隔k 当

N N ( n 样本容量)是整数时,取 k ? . n n

(3) 确定首个个体:在第 1 段用 简单随机抽样确定第一个个体编号 l (l ? k ) . (4) 获取样本:按照一定的规则抽取样本.通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体

l+k l+2k 编号_______,再加上间隔 k 得到第 3 个个体编号_______,依次进行下去,
直到获取整个样本.

4.频率分布直方图 (1)横坐标表示组距,纵坐标表示 频率 . 组距 (2)小长方形的面积 ? 组距 ? 频率 ? 频率 . 组距 (3)各小长方形的面积总和等于 1. 5.画频率分布直方图是步骤: (1)求极差(即一组数中最大值和最小值的差) . (2)决定组距与组数. (3)将数据分组. (4)列频率分布表. (5)画频率分布直方图.

6.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 就得频率分布折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分组数增加, 减小, ,

相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.

基础自测
1. (2012 门头沟一模)某高中校三个年级人数见下表: 年级 人数 高一 300 高二 300 高三 400

通过分层抽样从中抽取 40 人进行问卷调查,现在从答卷中随机抽取一张, 恰好是高三学生的答卷的概率是( )

1 A. 10
【答案】D 【解析】 P ?

1 B. 40
400 2 ? . 1000 5

2 C. 3

2 D. 5

2. (2012 湖北高考)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表 分组 频数

[10, 20)
2

[20,30)
3

[30, 40)
4

[40,50)
5


[50,60)
4

[60,70)
2

则样本数据落在区间 [10, 40] 的频率为( A. 0.35 B. 0.45

C. 0.55

D. 0 . 6 5

【答案】B 【解析】 P ?

2?3? 4 ? 0.45 . 20

3. (2012 茂名二模)在一次班级聚会上,某班到会的女同学比男同学多 6 人,

2 从这些同学中随机挑选一人表演节目.若选到女同学的概率为 ,则这 3
班参加聚会的同学的人数为( ) A.12 B.18 C. 24 D.32

【答案】B 【解析】设男同学有 x 人,则女同学有 x ? 6 人,

2 ∵选到女同学的概率为 , 3 x?6 2 ? ,解得 x ? 6 , ∴ x?6? x 3
∴这班参加聚会的同学的人数为 2 x ? 6 ? 18 .

4. (2012 山东高考)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们 随机编号为 1 , 2 ,?, 960 ,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 [1, 450] 的人做问卷 A ,编号落入区间 [451,750] 的 人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 B.9 C.10 D.15 )

【答案】C 【解析】从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人, ∵第一组号码为 9,则第二组为 39,公差为 30. ∴通项为 an ? 9 ? 30(n ? 1) ? 30n ? 21 , 由 451 ? 30 n ? 21 ? 750 ,即 15

22 21 ? n ? 25 , 30 30

∴ n ? 16,17, ???, 25 ,共有 25 ? 16 ? 1 ? 10 人,选 C.

典例剖析
考点1 简单随机抽样
【例 1】 2011 年 8 月 12 日在深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会中, 在 深圳大学为了支持大运会,从报名的 24 名大三学生中选 6 人组成志愿小组,请用 抽签法设计抽样方案.
【解析】抽签法: 第一步:将 24 名志愿者编号,编号为 1,2,3,?,24; 第二步:将 24 个号码分别写在 24 张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签; 第三步:将 24 个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀; 第四步:从盒子中逐个抽取 6 个号签,并记录上面的编号; 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.

【变式】 (2012 嘉定质检)某学校领导采用系统抽样方法,从该校高一年级 800 名学生 中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得间隔数

800 k= = 16 ,即每 16 人抽取一个人.在1 ~ 16 中随机抽取一个数,如果抽到的是 7 , 50
则从 33 ~ 48 这 16 个数中应取的数是 ( A. 40 B. 39 ) C. 38 D. 37

【答案】B 【解析】 16 ? 2 ? 7 ? 39 ,故选 B.

考点2 系统抽样与分层抽样
【例 2】 (2012 惠州一模)某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用 分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女生比男生少抽了 10 人,则 该校的女生人数应是
【答案】 760 【解析】设抽了女生 x 人,则男生 x ? 10 人, ∴ x ? ( x ? 10) ? 200 ,得 x ? 95 ∴该校的女生人数是 1600 ?

人.

95 ? 760 . 200

【变式】 (2012 嘉定质检) 某学校领导采用系统抽样方法, 从该校高一年级 800 名 学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,求得 间隔数 k =

800 = 16 ,即每 16 人抽取一个人.在 1 ~ 16 中随机抽取一个数,如果 50
) D. 37

抽到的是 7 ,则从 33 ~ 48 这 16 个数中应取的数是 ( A. 40 B. 39 C. 38

【答案】B 【解析】 16 ? 2 ? 7 ? 39 ,故选 B.

考点3 频率分布直方图
【例 3】 (2012 朝阳一模)某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分 组:第 1 组[25,30),第 2 组[30,35),第 3 组[35,40),第 4 组[40,45),第 5 组 [45,50],得到的频率分布直方图如图所示.
频率 组距
0.08 0.06 0.04 0.02

O

25

30

35

40

45

50

年龄

(1)下表是年龄的频数分布表,求正整数 a , b 的值; 区间 人数 [25, 30) 50 [30, 35) 50 [35, 40) [40, 45) 150 [45, 50]

a

b

(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人, 年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动, 求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.

【解析】 (1)由题设可知, a ? 0.08 ? 5 ? 500 ? 200 , b ? 0.02 ? 5 ? 500 ? 50 . (2)∵第 1,2,3 组共有 50+50+200=300 人, 利用分层抽样在 300 名学生中抽取 6 名学生, 每组抽取的人数分别为:

50 ? 1, 300 50 ? 1, 第 2 组的人数为 6 ? 300 200 ?4, 第 3 组的人数为 6 ? 300
第 1 组的人数为 6 ? ∴第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人.

(3)设第 1 组的 1 位同学为 A ,第 2 组的 1 位 同学为 B ,第 3 组的 4 位同学为

C1, C2 , C3 , C4 ,
则从六位同学中抽两位同学有:

( A, B),( A, C1 ),( A, C2 ),( A, C3 ),( A, C4 ), ( B, C1 ),( B, C2 ),( B, C3 ),( B, C4 ), (C1 , C2 ),

(C1 , C3 ), (C1, C4 ),(C2 , C3 ),(C2 , C4 ), (C3 , C4 ), 共 15 种可能.
其中 2 人年龄都不在第 3 组的有: ( A, B), 共 1 种可能, ∴至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 1 ?

1 14 ? . 15 15

【变式】 (2012 安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1mm 时,则视为 ... 合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机 抽取 5000 件进行检测, 结果发现有 50 件不合格品. 计算这 50 件不合格品的直径长与标准值 的差(单位: mm ), 将所得数据分组,得到如下频率分布表: 分组 频数 频率

[?3, ?2)
[?2, ?1) (1, 2] (2,3] (3, 4]
8

0.10

0.50 10

50 1.00 合计 (1)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置; ...

(2) 估计该厂生产的此种产品中, 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 (1,3] 内的概率; (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批产 品中的合格品的件数.

【解析】 (1) 分组 频数 频率

[?3, ?2) [?2, ?1) (1, 2] (2,3] (3, 4] 合计

5
8 25 10 2 50

0.10

0.16 0.50 0.20 0.40 1.00

(2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间 (1,3] 内的概率为 0.5 ? 0.2 ? 0.7 . (3)合格品的件数为 20 ?

5000 ? 20 ? 1980 (件) . 50

归纳反思
1.解题过程中,要注意分析总体特征,选择合理的抽样方法. 2.在频率分布直方图中,要正确理解横坐标和纵坐标表示的意义.


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