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高考数学新课标全国卷 数列


2010 年 (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 a

n ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

1

2011 年(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 设数列 {an } 满足 a1 ? 0 且 (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 1 ? ? 1。 1 ? an ? 1 1 ? an

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 。

2

2013 年 17. (2013 大纲全国, 理 17)(本小题满分 10 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3= a2 2 , 且 S1,S2,S4 成等比数列,求{an}的通项公式。

3

2014 年 18.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 Sn ? S4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

4

广东 2012

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N * ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成 等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . a1 a2 an 2

5

广东 2012

(2012 年高考广东卷第 12 小题)(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a 2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

6

2010 年答案

7

2011 年答案 20.(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 命题意图 本题主要考查等差数列的定义及其通项公式 ,裂项相消法求和,不等式的 证明,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解析 (Ⅰ)由题设

1 1 ? ? 1, 1 ? a n ?1 1 ? a n

即 {

1 是公差为 1 的等差数列. } 1? a n



1 1 =1 ,故 =n . 1? a1 1? a n
1 n
……………………………5 分#

所以 an ? 1 ?

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得

bn ?
?

1 ? an?1 n
n ?1 ? n n ? 1g n
?
n

1 1 ? , n n ?1
n

Sn ? ? bk ? ? (
k ?1 k ?1

1 1 1 ? ) ? 1? ? 1 …………………………12 分 k k ?1 n ?1

点评 2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的将数列结
8

合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知 识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求 变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、 递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. 2013 年答案 17.解:设{an}的公差为 d. 由 S3= a2 2 得 3a2= a2 2 ,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2 2 =S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 2 故(2a2-d) =(a2-d)(4a2+2d). 2 2 若 a2=0,则 d =-2d ,所以 d=0,此时 Sn=0,不合题意; 2 若 a2=3,则(6-d) =(3-d)(12+2d),解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1. 2014 年

9

广东 2012

解: (1)在 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 中
2S2 ? a3 ? 23 ? 1

令 n ? 1 得: 2S1 ? a2 ? 22 ? 1

令 n ? 2 得:

解得: a2 ? 2a1 ? 3 , a3 ? 6a1 ? 13 又 2 ? a2 ? 5? ? a1 ? a3 (2)由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 解得 a1 ? 1
2Sn?1 ? an?2 ? 2n?2 ? 1得 an?2 ? 3an?1 ? 2n?1

又 a1 ? 1, a2 ? 5 也满足 a2 ? 3a1 ? 21 所以 an?1 ? 3an ? 2n 对n ? N ? 成立 ∴ an ?1 +2 n ?1 ? 3 ? an ? 2 n ? ∴ an ? 2n ? 3n ∴ ∴
an ? 3n ? 2n
1 1 1 ? ? an ?1 2 an

(3)∵ an?1 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? 2n?1 ? 2an
1 1 1 ? ? a3 2 a2
n?2

当 n ? 2 时,

1 1 1 ? ? a4 2 a3

1 1 1 1 1 1 ……… ? ? ? ? a5 2 a4 an 2 an ?1

累乘得: ∴

1 ? 1? ?? ? an ? 2 ?

?

1 a2
n?2

1 1 1 1 1 1 1 ?1? ? ? ? ... ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? a1 a2 a3 an 5 2 5 ?2?

1 7 3 ? ? ? 5 5 2

广东 2013

1 2 【解析】(Ⅰ) 依题意, 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3 1 2 (Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n , 3 3 1 2 3 2 2S n ?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3 1 2 两式相减得 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3 3 a a a a 整理得 ? n ?1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 n ?1 ? n ? 1 ,又 2 ? 1 ? 1 n ?1 n 2 1
a ?a ? 故数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 1的等差数列, 1 ?n?

10

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n 1 7 1 1 1 5 7 (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? ? 1 ? ? ? ; a1 4 a1 a2 4 4 4

所以

当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
? 1? 1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

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