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2013届高考一轮数学复习理科课时作业 2-3


课时作业(六)
1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.-3 1 C.2 答案 B ) 1 B.3 1 D.-2

解析

?a= ? ?a-1=-2a 依题意得? ,∴? 3 ?b=0 ? ?b=0

1 ,

1 1 ∴a+b

=3+0=3. 2.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是 ( ) A.奇函数 C.非奇非偶函数 答案 A B.偶函数 D.既奇又偶函数

解析 由 f(x)是偶函数知 b=0,∴g(x)=ax3+cx 是奇函数. 3. (2011· 广东理)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是( A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数 答案 D )

解析 设 F(x)=f(x)+|g(x)|, f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和 由

奇函数,得 F(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x),∴f(x)+|g(x)| 是偶函数,又可判断其他选项不恒成立. 4.(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x) =2x2-x,则 f(1)=( A.-3 C.1 答案 A ) B.-1 D.3

解析 解法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选 A. 解法二:设 x>0,则-x<0, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x, 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x, ∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. 5.已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3) 等于( 1 A.2 3 C.2 答案 C ) B.1 D.2

解析 令 x=-1,则 f(-1+2)=f(-1)+f(2), 1 即 f(1)=-f(1)+f(2),∴f(1)=2.

1 3 ∴f(3)=f(1)+f(2)=2+1=2. 6.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方 程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 C.3 答案 B B.4 D.2 )

解析 由 f(2)=0,得 f(5)=0,∴f(-2)=0,f(-5)=0. ∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0, 故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个解. 点评 本题的易错点是,易忽略条件 f(x)是偶函数,而且还易出 现漏根的情况. 7.(2011· 湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x) +g(x)=ex,则 g(x)=( A.ex-e-x 1 C.2(e-x-ex) 答案 D ) 1 B.2(ex+e-x) 1 D.2(ex-e-x)

解析 由 f(x)+g(x)=ex 可得 f(-x)+g(-x)=e-x,又 f(x)为偶函 ex-e-x 数, g(x)为奇函数, 可得 f(x)-g(x)=e , 则两式相减可得 g(x)= 2 ,
-x

选 D. 8.(2012· 济南模拟)函数 f(x)在定义域 R 上不是常数函数,且 f(x) 满足条件:对任意 x∈R,都有 f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),则 f(x)是( )

A.奇函数但非偶函数 B.偶函数但非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 答案 B

解析 依题意得,f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数 f(x)是以 2 为 周期的函数, 所以 f(-x+2)=f(-x). f(2+x)=f(2-x), 又 因此有 f(- x)=f(x), f(x)是偶函数; f(x)是奇函数, 即 若 则有 f(-x)=-f(x)=f(x), 得 f(x)=0, 这与“f(x)不是常数函数”相矛盾, 因此 f(x)是偶函数但不 是奇函数,选 B. 9. f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中 a, c 为常数, 设 b, x∈R), f(- 若 2011)=-17,则 f(2011)=________. 答案 31 解析 f(2011)=a· 5+b· 3+c· 2011 2011 2011+7, f(-2011)=a(-2011)5+b(-2011)3+c(-2011)+7, ∴f(2011)+f(-2011)=14,∴f(2011)=14+17=31. 10.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图像关于________点对称. 答案(0,1) 解析 f(x)的图像是由 y=x3+sin x 的图像向上平移一个单位得 到的. 11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+5)=-f(x)+2,且当 x ∈(0,5)时,f(x)=x,则 f(2012)的值为________. 答案 2 解析 ∵f(x+10)=f[(x+5)+5] =-f(x+5)+2=-[-f(x)+2]+2=f(x).

∴f(x)的一个周期为 10. ∴f(2012)=f(10×201+2)=f(2)=2. 12.(2011· 上海文)设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若 函数 f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则 f(x)在区间[0,3] 上的值域为________. 答案 [-2,7]

13.(2012· 山东潍坊)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=- f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________. 答案 ①②⑤

解析 由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确, f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f(2)=f(0).因此③、 ④错误,⑤正确.综上,①②⑤正确. -2x+b 14.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k

的取值范围. 答案 解析 (1)a=2,b=1 1 (2)k<-3

(1)因为 f(x)是奇函数, b-1 =0?b=1, a+2

∴f(0)=0,即

1-2x ∴f(x)= , a+2x+1 1 1-2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ?a=2. a+4 a+1 1-2x (2)解法一 由(1)知 f(x)= ,易知 f(x)在(-∞,+∞)上为 2+2x+1 减函数.又因 f(x)是奇函数,从而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因 f(x)为减函数,由上式 推得: t2-2t>k-2t2.即对一切 t∈R 有:3t2-2t-k>0, 1 从而判别式 Δ=4+12k<0?k<-3. 1-2x 解法二 由(1)知 f(x)= .又由题设条件得: 2+2x+1 1-2t -2t 1-22 t -k 2 2 + <0, 2+2 t -2t+1 2+22 t -k+1 即:(22t -k+1+2)(1-2 t -2t)+(2 t -2t+1+2)(1-22 t -k)<0, 整理得 23t -2t-k>1,因底数 2>1,故:3t2-2t-k>0 1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0?k<-3. 15.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+ 2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
2 2 2 2 2 2 2

(1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011). 思路 (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数;

(2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式,进而求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2008)+ f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011)=0.

1.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( A.y=ex-e-x

)

1+x B.y=lg 1-x

C.y=cos2x 答案 D

D.y=sinx+cosx

2.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f(x)=x(1+x),那么 x<0,f(x)等 于( ) A.-x(1-x) C.-x(1+x) 答案 B B.x(1-x) D.x(1+x)

解析 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又 f(-x)= -f(x),∴f(x)=x(1-x). 3.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2, 则 f(3)-f(4)等于( A.-1 C.-2 答案 A ) B.1 D.2

解析 ∵函数周期 T=5,且为奇函数, ∴f(1)=f(1-5)=f(-4)=-f(4)=1. ∴f(4)=-1. 又∵f(2)=f(2-5)=f(-3)=-f(3)=2, ∴f(3)=-2. ∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1. 4. 若函数 f(x)为奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, f(3)-2f(- 又 f?x?-f?-x? 3)=0,则 <0 的解集为( 2x A.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,3) 答案 C ) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

解析 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(-3) =-f(3),由 f(3)-2f(-3)=0,得 3f(3)=0,f(3)=0.又因为 f(x)在(0, +∞)内是增函数, 所以当 x>3 或-3<x<0 时, f(x)>0; x<-3 或 0<x<3 当 时,f(x)<0.由 C. 5.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 α、β∈R,总有 f(α+β) -[f(α)+f(β)]=2011,则下列说法正确的是( A.f(x)-1 是奇函数 C.f(x)-2011 是偶函数 答案 D ) f?x?-f?-x? f?x? <0,即 x <0,可知-3<x<0 或 0<x<3,故选 2x

B.f(x)+1 是偶函数 D.f(x)+2011 是奇函数

解析 令 α=β=0,则得 f(0+0)-[f(0)+f(0)]=2011, 解得 f(0)=-2011,显然 f(0)+2011=0. 又令 α=x,β=-x,则有 f(0)-[f(x)+f(-x)]=2011, 所以-[f(x)+2011]=f(-x)+2011. 设 g(x)=f(x)+2011,故有 g(-x)=-g(x),所以函数 f(x)+2011 是奇函数.故选 D. 6.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x +2)=-f(x)成立,则 f(19)=________. 答案 0 解析 依题意得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), f(x)是以 4 为周期的 即 函数,因此有 f(19)=f(4×5-1)=f(-1)=f(1),且 f(-1+2)=-f(- 1),即 f(1)=-f(1),f(1)=0,因此 f(19)=0.

1.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在 区间[1,2]上是减函数,则 f(x)( )

A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 思路 根据函数是偶函数和关系式 f(x)=f(2-x),可得函数图像 的两条对称轴,只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图 像,结合图像对问题作出结论. 答案 B

解析 解法一:由函数是偶函数,知函数的图像关于 y 轴对称, 函数在区间[-2,-1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反,为 增函数; 由 f(x)=f(2-x)知函数的图像关于直线 x=1 对称,故函数 在区间[3,4]上的单调性与在区间[-2,-1]上的单调性相反,为减函 数.故选 B. 解法二:求解本题的难点在于函数的抽象性,化解难点的基本思 想是充分利用函数的性质进行推理,如根据函数是偶函数可得 f(-x) =f(x),再根据 f(x)=f(2-x),把其中的 x 换成-x 可得 f(-x)=f(2+ x),即 f(x)=f(x+2),即函数是周期为 2 的偶函数,再根据 f(x)=f(2 -x)推知函数图像关于直线 x=1 对称. 2. (2012· 广东六校联合体第二次联考)已知定义域为 R 的函数 f(x) 3 既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=sinπx, 3 f(2)=0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( )

A.3 C.7 答案 D

B.5 D.9

解析 对 R 上的奇函数 f(x),有 f(0)=0; 又 f(1)=sinπ=0;再由 T=3, ∴f(3)=f(0+3)=f(0)=0; f(6)=f(3+3)=f(3)=0; f(4)=f(1+3)=f(1)=0; f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, f(2)=-f(-2)=0; f(5)=f(2+3)=f(2)=0. 3 9 3 3 因为 f(2)=0,所以 f(2)=f(2+3)=f(2)=0. 3 9 综上可知 f(x)在区间[0,6]上的零点为 0,1,2,2,3,4,2,5,6 共 9 个,故选 D. 1+x 3.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,?, 1-x 则 f2011(x)=( 1 A.-x x-1 C. x+1 答案 解析 C 由题得 f2(x)=f( 1+x 1 1 x-1 )=- x ,f3(x)=f(- x )= ,f (x)= 1-x x+1 4 ) B.x 1+x D. 1-x

x-1 1+x x-1 f( )=x,f5(x)= =f1(x),其周期为 4,所以 f2011(x)=f3(x)= . x+1 1-x x+1

4.(2010· 新课标全国卷)设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则 {x|f(x-2)>0}=( ) B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<-2 或 x>2}

A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} 答案 B

解析 当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8, 又 f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=-x3-8,
? 3 ?x -8,x≥0 ∴f(x)=? 3 . ?-x -8,x<0 ? ??x-2?3-8,x≥2 ? ∴f(x-2)=? , 3 ? ?-?x-2? -8,x<2 ?x≥0 ?x<0 ? ? 或? , 3 3 ??x-2? -8>0 ?-?x-2? -8>0 ?

解得 x>4 或 x<0.故选 B. 5.(2009· 湖南示范性高中一模)函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定 义域,且都不是常数函数,对定义域中任意 x,有 f(x)+f(-x)=0, 2f?x? g(x)g(-x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= +f(x)( g?x?-1 A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 答案 B )

1 解析 由条件知 f(-x)=-f(x),g(-x)= , g?x? ∴F(-x)= 2f?-x? -2f?x? +f(-x)= 1 -f(x) g?-x?-1 -1 g?x?



-f?x?· g?x?-f?x? f?x?g?x?+f?x? = =F(x). 1-g?x? g?x?-1

6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2
-x

1 ,则不等式 f(x)<-2的解集是( A.(-∞,-1) C.(1,+∞) 答案 A

) B.(-∞,-1] D.[1,+∞)

1 解析 当 x>0 时,1-2-x=1-2x>0 与题意不符, 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=1-2x, 又∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=1-2x, ∴f(x)=2x-1, 1 ∴f(x)=2x-1<-2, 1 ∴2x<2,∴x<-1, 1 ∴不等式 f(x)<-2的解集是(-∞,-1). 7.(2011· 《高考调研》原创题)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则 f(π)+f(-2)与 0 的大小关系是( A.f(π)+f(-2)>0 B.f(π)+f(-2)=0 )

C.f(π)+f(-2)<0 答案 C

D.不确定

解析 由已知得 f(π)<0,f(-2)=-f(2)<0,因此 f(π)+f(-2)< 0. 8.定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数, 1 且函数 y=f(x+2)为偶函数,则 f(-1),f(4),f(5 2 )的大小关系是 __________. 1 答案 f(52)<f(-1)<f(4) 解析 ∵y=f(x+2)为偶函数, ∴y=f(x)关于 x=2 对称, 又 y=f(x)在(-∞,2)上为增函数, ∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而 f(-1)=f(5), 1 ∴f(52)<f(-1)<f(4). 9.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时,f(x)是单调函数,则满 x+3 足 f(x)=f( )的所有 x 之和为________. x+4 思路 由函数联想图像,若 x, x+3 都在 y 轴一侧,则这两个式 x+4

子相等,在 y 轴两侧,则其互为相反数,直接求解. 答案 -8

x+3 解析 依题意,当满足 f(x)=f( )时, x+4 x+3 有 x= 时,得 x2+3x-3=0, x+4 此时 x1+x2=-3.又 f(x)是连续的偶函数,

∴f(-x)=f(x). x+3 ∴另一种情形是 f(-x)=f( ), x+4 有-x= x+3 ,得 x2+5x+3=0. x+4

∴x3+x4=-5. x+3 ∴满足 f(x)=f( )的所有 x 之和为-3+(-5)=-8. x+4


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