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《走向高考》2013高三数学(北师大版)一轮总复习 教师备课平台3 52


走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章

导 及 应 数 其 用

第三章

导数及其应用

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大版 ·数学

第三章
教 备 平 师 课 台

第三章

导数及其应用

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导数复习的关键问题 导数是高中数学的重要内容之一, 又是高中数学的重要工 具在 考 占 举 轻 的 位可 说 部 内 掌 的 ,高 中 有 足 重 地 ,以 这 分 容 握 好 ,接 定 高 中 学 能 能 得 分在 答 此 坏直 决 着 考 数 科 不 取 高 .解 与 知识点相关的问题时,要注意以下几个关键点:

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一、切记函数的定义域 研究函数问题要树立定义域优先的意识, 否则解题中极易 出错. [例 1] [分析] 讨函 论数 f(x)=l( x+3)+x2 的单调性. n 2

求出 f(x)的导数后,解不等式即可.

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[解析]

? 3 ? f(x)的定义域为?-2,+∞?. ? ?

4x2+6x+2 2 f′(x)= +2x= 2x+3 2x+3 2?2x+1??x+1? = . 2x+3 3 当-2<x<-1 时,f′(x)0 ; > 1 当-1<x<-2时,f′(x)0 ; < 1 当 x>-2时,f′(x)0 >.
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? 3 ? ? 1 ? ? 从而, f(x)分别在区间?-2,-1?,-2,+∞?上单调递增, ? ? ? ? ? 1? 在区间?-1,-2?上单调递减. ? ?

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[点评]

本题如果没有定义域优先的意识,单从 f′(x)=
? 3? ?-∞,- ? 和 2? ?

2?2x+1??x+1? 来 , 易 单 减 间 成 看 极 把 调 区 写 2x+3
? 1? ?-1,- ?. 2? ?

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二、清晰理解导数的定义 从三个方面理解导数的定义: 1.函数 f(x)在某一点 x0 处的导数: f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)=lim . Δx Δx→0

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2.函数 f(x)在开区间(a,b)内的导数:如果函数 f(x)在开 区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个 x0,都对应 着一个导数 f′(x0),这样 f(x)在开区间(a,b)内构成一个新的 函数,这一新的函数叫作 f(x)在开区间(a,b)内的导函数. f?x+Δx?-f?x? Δy 记作 f′(x)=y′=lim Δx=lim ,函 也 导数 Δx Δx→0 Δx→0 简称为导数.

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3.导数的定义的等价形式. f?x0+Δx?-f?x0? f′(x0)=lim 的几种等价形式: Δx Δx→0 f?x?-f?x0? f?x0+h?-f?x0? f′(x0)= lim =lim h x→x0 x-x0 h →0 f?x0?-f?x0-h? =lim 等. h h→0

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[例 2]

已函 知数

f(x)中,f′() =2,求 1

f?1-2Δx?-f?1? lim . Δx Δx→0 [分析] 当 Δx→0 时,-2Δx→0,

f?1-2Δx?-f?1? 只需将lim 变形为 Δx Δx→0 f?1-2Δx?-f?1? -2lim ,即可用导数的定义解决. ?-2Δx? Δx→0

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[解析]

f?1-2Δx?-f?1? lim Δx Δx→0 f?1+?-2Δx??-f?1? =-2f′() =-4. 1 ?-2Δx?

=-2 lim

?-2Δx?→0

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[点评]

函在一 数某点

x0 处 导 , 的 数就

是函数在这一点的

函 值 增 与 变 的 量 比 在 变 的 量 近 数 的 量 自 量 增 的 值 自 量 增 趋 于 零时的极限,分子分母中的自变量的增量 Δx 必须保持对应一 1 致,它是非零的变量,它可以是-2Δx, Δx 等. 2

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三、准确掌握 f(x)取 极 的 要 件 得值充条 定义域 D 上的可导函数 f(x)在 x0 处取得极值的充要条件是 f′(x0)=0,并且 f′(x)在 x0 两侧异号. [例 3] 函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极小值 10,

求 a+b 的值. [分析] 先由 f() =10,f′() =0,列式求出 a、b,再验 1 1

证在 x=1 两侧的导数是不是异号.

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[解析]

f′(x)=3x2+2ax+b, 10,

由于函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处 极 值 有小
?f′?1?=2a+b+3=0 ? 所以? ?f?1?=a+b+a2+1=10 ? ?a=-3 ? 解得? ?b=3 ?



?a=4 ? 或? ?b=-11 ?

.

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?a=-3 ? 当? ?b=3 ?

时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2 在 x=1 的

左右两侧不变号,所以 x=1 不是函数 f(x)的 小 点 极值;
?a=4 ? 当? ?b=-11 ?

时,

f′(x)=3x2+8x-11=(x-1 x+1) , ) ( 3 1 在 x=1 的 侧 负 右 为 , 左为、侧正故 小值点,所以 a+b=-7. x=1 是 数 f(x)的极 函

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[点评]

f′(x0)=0 只 可 函 是导数

f(x)在 x0 处 得 值 必 取极的

要 件 即 须 这 条 , 只 这 条 还 够 还 条 , 必 有 个 件 但 有 个 件 不 , 得 f′(x)在 x0 两侧异号.

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四、全面把握函数单调性 1. 某 区 在个间 (a,b)上 若 f′(x)0 , > ,则 f(x)在这个区间

上单调递增;若 f′(x)0 ,则 f(x)在 个 间 单 递 ; < 这区上调减若 f′(x)=0 恒成立,则 f(x)在这个区间上为常数函数;若 f′(x) 的符号不确定,则 f(x)不是单调函数.

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2. 函 若数

y=f(x)在 间 (a,b)上 调 增 则 区 单递,

f′(x)≥0,

反之等号不成立.因为 f′(x)≥0 即 f′(x)0 或 f′(x)=0,当 > f′(x)0 > 时,函数 y=f(x)在区间(a,b)上 调 增 当 单递, f′(x)

=0 时,f(x)在 个 间 为 这区内常

数函数;同理,若函数 y=f(x)

在区间(a,b)上单调递减,则 f′(x)≤0, 之 号 成 . 反等不立 3. f′(x)=0 的 散 点 影 函 的 调 . 使 离 的 不 响 数 单 性如 +cs x. o y=x

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[例 4]

已函 知数

a f(x)=x + (x≠0, a∈R)在区间[2, +∞) x
2

上是增函数,求实数 a 的取值范围. [分析] 只要 f′(x)≥0 在[2,+∞)上恒成立,而只在一

些离散的点处为 0 即可.

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[解析]

a f′(x)=2x- 2,要使 f(x)在区间[2,+∞)上是增 x

函数,只需当 x≥2 时,f′(x)≥0 恒成立, a 即 2x- 2≥0,则 a≤2x3∈[6 ,+∞)恒成立, 1 x 故当 a≤16 时,f(x)在 间 [2,+∞)上 增 数 区 是函.

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[点评]

本仅 题在

3 a x= 2处 f′(x)=0.

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五、充分注意函数的不可导点 有些函数存在不可导点,如果不注意,将会发生错误. [例 5] [分析] 已知 a∈R,求函数 f(x)=x2|x-a|的 值 . 极点 这函有个可点 个数一不导 x=a, 且 个 也 而这点是

函数 f(x)的 值 , 讨 函 的 值 时 它 起 论 其 极点在论数极点把一讨, 余的极值点用导数去处理.

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[解析]

(1)当 a≠0 时, ?x≥a? , 出 草 如 , 作 其 图 下 ?x<a?

?x3-ax2 ? 2 f(x)=x |x-a|=? 2 3 ?ax -x ?

易知 f(x)有两个(常规)极值点

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2a x1=0,x2= , 一 不 导 有个可点 3 函数 f(x)的 值 , 助 图 可 极 点借 于 像 知 2a 值点,x= 是函数的极大值点. 3

x=a, 且 个 也 而这点是 x=0, x=a 是函数的极小

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() 当 a=0 2

?x3 ? 2 时,f(x)=x |x|=? 3 ?-x ?

?x≥0? , ?x<0? [0,+∞)

此时 f(x)在 间 (-∞,0)上 调 减 在 间 区 单 递 , 区

上单调递增,x=0 为函数 f(x)的极小值点,此时函数 f(x)无极 大值点.

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[点评]

函在点有义,要在点右侧 数某处定时只它该左两

有相反的单调性,这点就是该函数的极值点.

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六求 线 切 方 时千 记 是 线 某 处 切 、曲 的 线 程 ,万 住 曲 上 点 的 线(仅有一条),还是过某点的切线(可能不只一条) [例 6] 已函 知数 2 3 2 f(x)=-3x +x +4x,过 求 点 (0 0) , 的曲线

y=f(x)的切线方程. [分析] 先求线某处线程方,出线 用曲上点切方的法写曲 (0 0) , ,确 再定 x0,y0

上点(x0,y0)处 切 方 , 条 线 点 的线程这切过 的值即可.

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[解析] f′(x)=-2x2+2x+4, 切 坐 为 设点标
2 切线的斜率为-2x0+2x0+4,

(x0,y0),则

? 2 ? 3 2 切线方程为 y-?-3x0+x0+4x0?=(-2x2+2x0+4 ) ( 0 ? ?

x-x0),

切线过点(0 0) ,

,所以 -x0)

? 2 ? 3 2 2 -?-3x0+x0+4x0?=(-2x0+2x0+4 ) ( ? ?

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3 ?4x0-3x2=0?x0=0 0

3 或 . 4 3 y=4x,当 x0=4时 切 方 为 ,线 程

当 x0=0 时 切 方 为 ,线 程 35 y= x. 8

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[点评]

点(, 0)虽 也 曲 上 但 不 求 在 点 0 然在线,并是仅这处

的切线方程.

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七用数决正数 、导解与整 求导 [例 7] 成立. [分析] 由于 n 是 整 , 正 数故 证对意正数 明任的整

n有 的 题 ,能 接 关问时不直对

n

n,等 不式

?1 ? 1 1 ln?n+1?>n2-n3都 ? ?

1 0] , n∈(1

,证 不 式 所的等即

1 n3

1 1 -n2+l( +n)0 , 造 数 n 1 > 构函 它在(1 0] , 上大于 0 即 . 可

f(x)=x3-x2+l( x+1), 需 明 n 只证

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[解析]

令 f(x)=x3-x2+l( x+1), n 上正 恒, x∈(1 0] , 时恒 ,有 f(x)>f() =0, 0

3x3+?x-1?2 则 f′(x)= 在(1 0] , x+1 ∴f(x)在(1 0] , 即当 x∈(1 0] , 上 调 增当 单递,

时,有 x3-x2+l( x+10 ,即 n x+1 x2-x3. n ) > l( ) > ,

1 对任意正整数 n,取 x=n∈(1 0] , 得
?1 ? 1 1 ? +1?> 2- 3. ln n n ? ? n

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[点评]

? 1? 1 1 若令 f(n)= 3- 2+ln?1+n?,则这个函数图像是 n n ? ?

离 的 ,每 处 不 导就 法 导 去 决 个 题 散 点在 一 都 可 ,无 用 数 解 这 问 .

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八、树立导数在解决函数问题时的应用意识 [例 8] (02 21· 淄 模 博 拟 )已知定义在 R 上 函 的 数 f(x)=

x2(ax-3),其中 a 为 数 常. () 若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; 1 () 若函数 f(x)在区间(-1,0)上 增 数求 2 是函, () 若函数 g(x)=f(x)+f′(x),x∈[2 3 0] , 大值,求正数 a 的取值范围. a的 值 围 取范;

,在 x=0 处取得最

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[解析]

() f(x)=ax3-3x2, 1

f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). ∵x=1 是 f(x)的 个 值 , 一极点 () ①当 a=0 时,f(x)=-3x2 2 在区间(-1,0)上是增函数, ∴a=0 符合题意; 2 a≠0 时,f′(x)=3ax(x-a),令 f′(x)=0 得: 2 x1=0,x2= ; a
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∴f′() =0,∴a=2. 1

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②当 a>0 时,对任意 x∈(-1,0),f′(x)0 , > ∴a>0 符合题意; 2 2 当 a<0 时,当 x∈(3,0)时,f′(x)0 ,∴a≤-1, > ∴-2≤a<0 符合题意; 综上所述,a≥-2.

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() a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[2 3 0] ,



g′(x)=3ax2+2 a-3)x-6=3[ax2+2(a-1)x-2], ( 3 令 g′(x)=0,即 ax2+2(a-1)x-2=0) ( * . 显然有 Δ=4a2+40 , > 设方程() 的两个根为 x1,x2,由() 式得 * * 2 x1x2=-a<0,不妨设 x1<< x2. 0 当 0<x2<2 时,g(x2)为 小 , 极值

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所以 g(x)在[2 0] ,

上最值能 的大只为

g() 或 g() ; 0 2

当 x2≥2 时,由于 g(x)在[2 0] , 所以最大值为 g() , 0 ∴在[2 0] , 上最值能 的大只为

上单递函, 是调减数

g() 或 g() . 0 2

又已知 g(x)在 x=0 处 得 大 , 取最值 所以 g() ≥g() , 0 2 6 即 0≥20a-24 解得 a≤5. 6 又∵a>0,∴a∈(0, ]. 5
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九、导数在解决实际问题中的应用 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. [例 9] 某建座,端桥已好这端墩 地一桥两的墩建,两桥

相距 mm, 下 工 只 建 端 墩 间 桥 和 墩 经 余的程需两桥之的面桥. 测,个墩工费为 算一桥的程用 墩间 桥 工费 为 之的 面 程 用 256 万 , 离 元距为 xm 的相邻两

(2+ x)x 万 . 设 墩 距 分 元 假 桥等 离

布所 桥 都 为 ,不 虑 他 素记 下 程 费 ,有 墩 视 点且 考 其 因 .余 工 的 用为 y 万元.

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() 试写出 y 关于 x 的 数 系 ; 1 函关式 () 当 m=640m 时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 2

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[解析]

() 设需新建 n(n∈N+)个桥墩,则(n+1)x=m, 1

m 即 n= x -1, 所以 y=f(x)=256n+(n+1 + x)x ) ( 2
?m ? m =256? x -1?+ (2+ x ? ?

x)x

256m = x +m x+2m-256(x>) . 0

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256m 1 () 由() 知,f′(x)=- 2 + mx 2 1 x 2
3 2



1 2

m = 2(x -512). 2x
3 2

令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 当 0<x<4 60 当 64<x<4 60 时,f′(x)0 ,f(x)在区间(6) < 04 , 内减数 为函; 内增数所 为函,

时,f′(x)0 ,f(x)在区间(44) > 660 ,

以 f(x)在 x=64 处 得 小 , 时 取最值此 需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.

m 640 n= x -1= 64 -1=9.故

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十、定积分的计算(理) 1.求函数 f(x)在 个 间 的 积 , 键 求 函 某区上定分关是出数 f(x)的一个原函 , 正 运 求 运 与 原 数 算 为 数要确用导算求函运互 逆运算的关系. 2.求复杂函数的定积分要依据定积分的性质.

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() 有 个 数 数 的 分 于 个 数 分 代 1 限 函 代 和 积 等 各 函 积 的 数 和,即?b[f1(x)± 2(x)± fn(x) x ? f …± ] d ?
?

a

? =?bf1(x)dx± bf2(x)dx± ?bfn(x)dx. ? ? …± ? ? ? ? ?

a

?

a

?

a

() 常数因子可提到积分符号外面,即 2
?b ? ? ?a

kf(x)dx=k?bf(x)dx. ? ?
?a

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() 当 分 限 下 交 时 积 值 定 反 , 3 积 上 与 限 换 , 分 一 要 号 即 f(x)dx=-?af(x)dx. ? ?
?b

?b ? ? ?a

() 积分的可加性,若 c∈[a,b], 有 4 则
?b ? ? ?a

f(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx. ? ? ? ?
?a ?c

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[例 10]

()02 1 1· ( 2

陕一 西 测 )设 f(x)=

?x2,x∈[0,1] ? ?1 (e 为自然对数的底数), ?e f(x)dx 的值为 则? ? ?0 ?x ,x∈?1,e] ? ________.

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[解析] 4 . 3
4 [答案] 3

依意, 题得

?e ? ? ?0

1 1 31 f(x)dx= x dx+ dx= x |0+lnx|e = 1 x 3
?1 ? ? ?0

2

?e ? ? ?1

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()02 2 1· ( 2

宁冈一模)已 函 知数

f(x)=ex-1,直线 l1:x=1,

l2:y=et-1(t 为 数 且 常,

0≤t≤1),直线 l1,l2 与函数 f(x)的

图像围成的封闭图形,以及直线 l2,y 轴与函数 f(x)的图像围 成的封闭图形如图中阴影部分所示.当 t 变 时 求 影 分 化 ,阴 部 的面积的最小值.

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[解析]
?t ? ? ?0

S1+S2=?t (et-1-ex+1 x+?1(ex-1-et+1 x= ? ) d ? ) d ? ?
?0 ?t

(et-ex)dx+?1(ex-et)dx=(xet-ex)|t0+(ex-xet)|1=(2t-3 t+e ? ) e t ?
?t

+1,令 g(t)=(2t-3 t+e+1 ≤t≤1),则 g′(t)=2et+(2t- ) e ( 0 1 1 3 =(2t-1 , g′(t)=0, t=2, ) e ) 令 e 得 ∴当 t∈[0,)时, g′(t)0 , < 2
t t

1 g(t)是减函数,当 t∈( ,1]时,g′(t)0 ,g(t)是增函数,因此 > 2

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g(t)的 小 为 最值:

1 g( )=e+1-2e =( e-1)2.故 影 分 面 阴部的 2
1 2

积的最小值为( e-1)2.

[答案] ( e-1)2

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