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全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编


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全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 热 1 第 16 届预赛题
如图预 16-3 所示,两个截面相同的圆柱形容器,右边容器高为 H ,上端封闭,左边容器 上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通,容器、 活塞和细管都是绝热的。开始时,阀门关闭,左边容器中装有热力学温度为 T0

的单原子理 想气体,平衡时活塞到容器底的距离为 H ,右边容器内为真空。现将阀门缓慢打开,活塞 便缓慢下降,直至系统达到平衡。求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示:一摩尔单原子理想气体的内能为 力学温度。



3 RT ,其中 R 为摩尔气体常量, T 为气体的热 2

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2 第 17 届预赛题
(20 分)绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 的容积大得很多的绝热容器 B 相连。开始时 阀门关闭,两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30℃, B 中气体的压强为 A 中的 2 倍。 现将阀门缓慢打开, 直至压强相等时关闭。 问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打开 到关闭阀门的过程中处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换.已知每摩尔该气体 的内能为 U ?

5 RT ,式中 R 为普适气体恒量, T 是热力学温度. 2

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3 第 18 届预赛
( 24 分)物理小组的同学在寒冷的冬天做了一个这样的实验:他们把一个实心的大铝球加 热到某温度 t ,然后把它放在结冰的湖面上(冰层足够厚),铝球便逐渐陷入冰内.当铝球 不再下陷时,测出球的最低点陷入冰中的深度 h .将铝球加热到不同的温度,重复上述实验 8 次,最终得到如下数据:

实验顺序数 热铝球的温度 t /℃ 陷入深度 h /cm

1 55 9.0

2 70 12.9

3 85 14.8

4 92 16.0

5 104 17.0

6 110 18.0

7 120 17.0

8 140 16.8

已知铝的密度约为水的密度的 3 倍, 设实验时的环境温度及湖面冰的温度均为 0℃. 已 知此情况下,冰的熔解热 ? ? 3.34 ? 105 J/kg . 1.试采用以上某些数据估算铝的比热 c . 2.对未被你采用的实验数据,试说明不采用的原因,并作出解释.

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4 第 19 届预赛
(20 分)如图预 19-4 所示,三个绝热的、容积相同的球状容器 A、B、C,用带有阀门 K1、 K2 的绝热细管连通,相邻两球球心的高度差 h ? 1.00 m .初始时,阀门是关闭的,A 中装有 1mol 的氦(He),B 中装有 1mol 的氪(Kr),C 中装有 lmol 的氙(Xe) ,三者的温度和压强都 相同.气体均可视为理想气体.现打开阀门 K1、K2,三种气体相互混合,最终每一种气体在 整个容器中均匀分布,三个容器中气体的温度相同.求气体温度的改变量.已知三种气体的 摩尔质量分别为

?He ? 4.003 ?10?3 kg ? mol?1
?Kr ? 83.8 ?10?3 kg ? mol?1

?Xe ? 131.3 ?10?3 kg ? mol?1
在体积不变时,这三种气体任何一种每摩尔温度升高 1K,所吸收的热量均为 3R / 2 , R 为 普适气体常量.

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5 第 20 届预赛
(20 分)在野外施工中,需要使质量 m=4.20 kg 的铝合金构件升温。除了保温瓶中尚存有温 度 t= 90.0℃的 1.200 kg 的热水外,无其他热源.试提出一个操作方案,能利用这些热水使 构件从温度 t0=10℃升温到 66.0℃以上(含 66.0℃) ,并通过计算验证你的方案.已知铝合 金的比热容 c=0.880×l03J·(Kg·℃)-1,水的比热容 c0 =4.20×103J·(Kg·℃)-1,不计向周围 环境散失的热量。

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6 第 22 届预赛
如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁场方向与导 轨所在平面垂直.一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨无 摩擦地滑动,细杆与导轨的电阻均可忽略不计.导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相连, 电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计.容器与一水平放置的开口细管相通,细管 内有一截面为 S 的小液柱 (质量不计)液柱将 1mol 气体 , (可视为理想气体) 封闭在容器中. 已 知温度升高 1K 时,该气体的内能的增加量为 5R 2 (R 为普适气体常量) ,大气压强为 p0, 现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移.

R0

v0

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全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编 热 1 参考解答
设容器的截面积为 A ,封闭在容器中的气体为? 摩尔,阀门打开前,气体的压强为 p0 。 由理想气体状态方程有

学参考答案

p0 AH ? ? RT0

(1)

打开阀门后,气体通过细管进入右边容器,活塞缓慢向下移动,气体作用于活塞的压强 仍为 p0 。活塞对气体的压强也是 p0 。设达到平衡时活塞的高度为 x ,气体的温度为 T ,则 有

p0 ( H ? x) A ? ? RT
根据热力学第一定律,活塞对气体所做的功等于气体内能的增量,即

(2)

3 p0 ( H ? x) A ? ? R(T ? T0 ) 2
由(1)、(2)、(3)式解得

(3)

2 H 5 7 T ? T0 5 x?

(4) (5)

2参考解答
设气体的摩尔质量为 ? ,容器 A 的体积为 V ,阀门打开前,其中气体的质量为 M 。压 强为 p ,温度为 T 。由

pV ?


M

?

RT

M?

? pV
RT

(1)

因为容器 B 很大,所以在题中所述的过程中,容器 B 中气体的压强和温度皆可视为不变。 根据题意,打开阀门又关闭后, A 中气体的压强变为 2 p ,若其温度为 T ? ,质量为 M ? ,则 有
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M? ?

2? pV RT ?

(2)

进入容器 A 中的气体的质量为

?M ? M ? ? M ?

? pV ? 2

1? ? ?? ? R ?T T ?

(3)

设这些气体处在容器 B 中时所占的体积为 ?V ,则

?V ?

?M RT 2? p

(4)

因为 B 中气体的压强和温度皆可视为不变,为把这些气体压入容器 A ,容器 B 中其他气体 对这些气体做的功为

W ? 2 p?V
由(3)、(4)、(5)式得

(5)

? 2T ? W ? pV ? ? 1? ? ?T ?
容器 A 中气体内能的变化为

(6)

?U ?

M?

?

? 2.5R(T ? ? T )

(7)

因为与外界没有热交换,根据热力学第一定律有

W ? ?U
由(2)、(6)、(7)和(8)式得

(8)

T ? ? 2T ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? 2.5 ?1 ? ? ? ?T ? ? T ?
结果为

(9)

T ? ? 353.5 K

3参考解答
铝球放热,使冰熔化.设当铝球的温度为 t 0 时, 能熔化冰的最大体积恰与半个铝球的体积相等,即 铝球的最低点下陷的深度 h 与球的半径 R 相等.当 热 铝 球 的 温 度 t ? t0 时 , 铝 球最 低 点 下 陷 的 深度 熔化的冰的体积等于一个圆柱体的体积与半 h?R,
图预解 18-6-1

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个铝球的体积之和,如图预解18-6-1所示. 设铝的密度为 ? Al ,比热为 c ,冰的密度为 ? ,熔解热为 ? ,则铝球的温度从 t ℃降到0℃的 过程中,放出的热量

4 Q1 ? ? R3 ?Al ct 3
熔化的冰吸收的热量

(1)

1 4 ? ? Q2 ? ? ?? R 2 (h ? R) ? ? ? R3 ? ? 2 3 ? ?
假设不计铝球使冰熔化过程中向外界散失的热量,则有

(2)

Q1 ? Q2
解得

(3)

h?

4 Rc

1 t? R ? 3

(4)

即 h 与 t 成线形关系.此式只对 t ? t0 时成立。将表中数据画在 h ? t 图中,得第1,2,…,8 次实验对应的点 A 、 B 、…、 H 。数据点 B 、 C 、 D 、 E 、 F 五点可拟合成一直线,如图 预解18-6-2所示。此直线应与(4)式一致.这样,在此直线上任取两点的数据,代人(4) 式,再解联立方程,即可求出比热 c 的值.例如,在直线上取相距较远的横坐标为8和100

图预解 18-6-2
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的两点 X 1 和 X 2 ,它们的坐标由图预解18-6-2可读得为

X1 (8.0,5.0)

X2( 1 0 0 , 1 6 . 7 )

将此数据及 ? 的值代入(4)式,消去 R ,得

c ? 8.6 ?102 J/kg ? ?C

(5)

2. 在本题作的图预解18-6-2中,第1,7,8次实验的数据对应的点偏离直线较远,未被 采用.这三个实验数据在 h ? t 图上的点即 A 、 G 、 H .

A 点为什么偏离直线较远?因为当 h ? R 时,从(4)式得对应的温度 t0 ? 65 ℃,(4)
式在 t ? t0 的条件才成立。但第一次实验时铝球的温度 t1 ? 55 ℃< t 0 ,熔解的冰的体积小于 半个球的体积,故(4)式不成立.

G 、 H 为什么偏离直线较远?因为铝球的温度过高(120℃、140℃),使得一部分冰
升华成蒸气,且因铝球与环境的温度相差较大而损失的热量较多,(2)、(3)式不成立, 因而(4)式不成立. 评分标准:本题24分,第1问17分;第二问7分。第一问中,(1)、(2)式各3分;(4) 式4分。正确画出图线4分;解出(5)式再得3分。第二问中,说明 A 、 G 、 H 点不采用的 原因给1分;对 A 和 G 、 H 偏离直线的原因解释正确,各得3分。

4 参考解答
根据题设的条件,可知:开始时 A 中氦气的质量 mHe ? 4.003 ? 10?3 kg ,B 中氪气的质 量 mKr ? 83.8 ?10?3 kg ,C 中氙气的质量 mXe ? 131.3 ?10?3 kg 。三种气体均匀混合后,A 中

1 1 mol 降入 B 中,有 mol 降入 C 中。He 的重力势能增量为 3 3 1 1 ?EHe ? mHe g (?h) ? mHe g (?2h) ? ?mHe gh 3 3 1 1 B 中的 Kr 有 mol 升入 A 中,有 mol 降入 C 中。Kr 的重力势能增量为 3 3 1 1 ?EKr ? mKr gh ? mKr g (?h) ? 0 3 3 1 1 C 中的 Xe 有 mol 升入 A 中,有 mol 升入 B 中。Xe 的重力势能增量为 3 3 1 1 ?EXe ? mXe gh ? mXe g 2h ? mXe gh 3 3
的 He 有 混合后,三种气体的重力势能共增加







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?EP ? ?EHe ? ?EKr ? ?EXe ? (mXe ? mHe ) gh



因球与外界绝热,也没有外力对气体做功,故重力势能的增加必然引起内能的减少。 在体积不变时,气体不做功。由热力学第一定律可知,此时传给气体的热量应等于气体内能 的增量,但因理想气体的内能只由温度决定,与体积无关,故只要温度改变量相同,则体积 不变条件下内能的增量也就是任何过程中理想气体内能的增量。 根据题给的已知条件, 注意 到本题中所考察的理想气体共有 3 摩尔,故有

3 ?EP ? ?3 ? R?T 2
上式中右方为气体内能减少量, ?T 表示气体温度的增量,由④、⑤两式得



?T ? ?

2(mXe ? mHe ) gh 9R



将已知数据代入,注意到 R ? 8.31 J ? K-1 ? mol-1 ,可得

?T ? ?3.3 ? 10-2 K
即混合后气体温度降低 3.3 ? 10-2 K



(如果学生没记住 R 的数值, R 的值可用标准状态的压强 p0 ? 1.013 ? 105 N ? m-2 ,温度

T0 ? 273.13 K和 1mol 理想气体在标准状态下的体积 V0 ? 2.24 ? 10-2 m3 求得, R ? 即
评分标准:本题共 20 分。

p0V0 ) T0

说明经扩散使三种气体均匀混合,并导致气体重力势能改变求得④式,得 8 分。说明能量转 换过程,由重力势能增加而内能减少,列出⑤式,得 8 分。得出正确结果,算出⑦式,得 4 分。

5 参考解答
1. 操作方案:将保温瓶中 t ? 90.0 ℃的热水分若干次倒出来。第一次先倒出一部分,与 温度为 t0 ? 10.0 ℃的构件充分接触,并达到热平衡,构件温度已升高到 t1 ,将这部分温度为 再从保温瓶倒出一部分热水, 再次与温度为 t1 的构件充分接触, 并达到热平衡, t1 的水倒掉。 此时构件温度已升高到 t 2 ,再将这些温度为 t 2 的水倒掉。然后再从保温瓶中倒出一部分热水 来使温度为 t 2 的构件升温……直到最后一次, 将剩余的热水全部倒出来与构件接触, 达到热 平衡。只要每部分水的质量足够小,最终就可使构件的温度达到所要求的值。
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2. 验证计算:例如,将 1.200kg 热水分 5 次倒出来,每次倒出 m0 =0.240kg,在第一次 使热水与构件达到热平衡的过程中,水放热为

Q1 ? c0 m0 (t ? t1 )
构件吸热为

(1)

Q1? ? cm(t1 ? t0 )
由 Q1 ? Q1? 及题给的数据,可得

(2)

t1 =27.1℃
同理,第二次倒出 0.240kg 热水后,可使构件升温到

(3)

t 2 =40.6℃
依次计算出 t1 ~ t5 的数值,分别列在下表中。 倒水次数/次 平衡温度/℃ 可见 t5 =66.0℃时,符合要求。 1 27.1 2 40.6 3 51.2 4 59.5 5 66.0

(4)

附: 若将 1.200kg 热水分 4 次倒, 每次倒出 0.300kg, 依次算出 t1 ~ t 4 的值, 如下表中的数据: 倒水次数/次 平衡温度/℃ 1 30.3 2 45.50 3 56.8 4 65.2

由于 t 4 =65.2℃<66.0℃,所以如果将热水等分后倒到构件上,则倒出次数不能少于 5 次。 评分标准:本题 20 分。 设计操作方案 10 分。操作方案应包含两个要点:①将保温瓶中的水分若干次倒到构件上。 ②倒在构件上的水与构件达到热平衡后,把与构件接触的水倒掉。 验证方案 10 分。使用的验证计算方案可以与参考解答不同,但必需满足两条:①通过计算 求出的构件的最终温度不低于 66.0℃。②使用的热水总量不超过 1.200kg。这两条中任一条 不满足都不给这 10 分。例如,把 1.200kg 热水分 4 次倒,每次倒出 0.300kg,尽管验算过程 中的计算正确,但因构件最终温度低于 66.0℃,不能得分。

6 参考解答:
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导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到 安培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应 电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失.在运动过程中,电阻丝上产生的 焦耳热,全部被容器中的气体吸收. 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应等 于杆的初动能,即

1 2 Q ? mv0 2

(1)

容器中的气体吸收此热量后,设其温度升高?T,则内能的增加量为

ΔU ?

5 RΔT 2

(2)

在温度升高?T 的同时, 气体体积膨胀, 推动液柱克服大气压力做功. 设液柱的位移为 Δl , 则气体对外做功

A ? p0 SΔl

(3)

SΔl 就是气体体积的膨胀量

ΔV ? SΔl

(4)

由理想气体状态方程 pV ? RT ,注意到气体的压强始终等于大气压 p 0 ,故有

p0 ΔV ? RΔT
由热力学第一定律 由以上各式可解得

(5)

Q ? A ? ΔU
Δl ?
2 mv 0 7 p0 S

(6) (7)

评分标准:本题 25 分. (1)式 6 分, (2)式 4 分, 、 、 (3)(4)(5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分.

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