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[中学联盟]江苏省徐州市邳州市第四中学高三数学复习学讲稿:直线和圆的位置关系(高二部分)


课 题

直线和圆的位置关系

课 型

新 授

高考要求 教学重难点

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系;熟练运用圆的有关 性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题

直线和圆的方程

课前练习
1、若直线 4x-3y-

2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围是______ 2、直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于__________ 3、过点 P(2,1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为____________ 4、设集合 M ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? 25? , N ?

?? x, y ? | ? x ? a ?

2

? y 2 ? 9 ,若 M∪N=M,则实数 a 的取值范

?

围是_____________ 5、若点 P(a、b)在圆 x2+y2=1 内,则直线 ax+by=1 与圆的位置关系是_________ 6、若直线 y=x+b 与 曲线 x= 1 ? y 2 恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围是_________

通过这些小练习,总结直线和圆的知识点:
1、直线与圆的位置关系 (1)位置关系有三种:_ ____________、_____________、______________ (2)判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: ①代数法 ②几何法
[来源:Z.xx.k.Com] [来源:Z_xx_k.Com]

2、计算直线被圆截得的弦长的常用方法: ①代数法:|AB|= 1 ? k 2 | x A ? xB | ②几何法:运用弦心距、半弦长及圆的半径构成直角 三角形计算

新课讲解
例 1、已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

例 2、 自点 A (-3, 3) 出发 的光线 l 射到 x 轴, 被 x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程。

例 3、已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP ? OQ , 求实数 m 的值。

例 4、已知⊙ O : x2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P(a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切点为 Q , 且满足 | PQ |?| PA | . (1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

课后练习
1、圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为____________ 2、直线 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为____________
( ? 2, 0) 3、 已知直线 l 过点 , 当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时, 其斜率 k 的取值范围是______

4、设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为______ ____ 5、圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为________ 2? 6、点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为______ 3
1 ? 0 与直线 y ? ?1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧,则 m 的值为__ _____ 4 8、已知 P(3,0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是___________, 过点 P 的最长弦所在直线方程是____________

7、若圆 x 2 ? y 2 ? mx ?

9、设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为________ 10、 已知与曲 线 C: x2+y2-2x-2y+ 1=0 相切的直线 L 交 x 轴、y 轴于 A、 B 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2) (1)求证曲线 C 与直线 L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求Δ AOB 面积 的最小值.
[来源:学科网][ 来源:学科网 ZXXK]

11、已知平面区域 ? ?y ? 0 部所覆盖.

?x ? 0

恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?

(1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

12、 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆,其左焦 2

点为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系? 若是,请证明;若不是,请说明理由.
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Q

y P

A

F

O

B

x

本节小结

课后一练
如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC 1 1 ?B 1D 1 , E , F 分别是 AB, BC 的中点. (Ⅰ)求证: EF // 平面 A1BC1 ; (Ⅱ)求证:平面 D1DBB1 ? 平面 A1BC1 .
A1 D1 C1

B1 D A E B F C


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