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数学竞赛历年试题2007


2007 年大学数学竞赛试题参考答案 (理工类)
一、填空: (本题 15 分,每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ) 1. 设函数 f ? x ? ? 3 。

?

sinx

?0

sin at 2 dt , g ?x ? ? x 3 ? x 4 ,且当 x→0 时, f

?x ? 与 g ?x ? 为等价无穷

? ?

小,则 a = 2.

设函数 y ? x2 x 在 x ? x0 点处取得极小值,则 x0 ? ?
??

1 。 ln2

3.

?

1

dx ? 1 ? ln2 。 x ? x ? 1?
2

4.

?3x 2 ? 2 y 2 -2 z-1 ? 0 x ?1 y ?1 z ? 2 ? ? ? 曲线 L : ? 2 在点(1,1,2)处的切线方程为 。 2 2 1 ?4 ?5 ? x ? y ? z -4 y-2 z ? 2 ? 0 ?

5.

?

1

0

dx ? 2
x

1

xy 1? y3

dy ?

1 3

?

2 ?1 。

?

二、选择题: (本题 15 分,每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确 选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。 ) 1. 设函数 f ?x ? 连续,则下列函数中必为偶函数的是( (A) (C) A
x



? t? f ?t ? ? f ?? t ??dt ;
x ?0

(B) (D)

? t? f ?t ? ? f ?? t ??dt ;
?0

?

x

0

f t 2 dt ;

? ?

? ? f ?t ??
x 0

2

dt 。

2. 设函数 f ?x ? 具有一阶导数,下述结论中正确的是(

D



(A)若 f ?x ? 只有一个零点,则 f ?? x ? 必至少有两个零点; (B)若 f ?? x ? 至少有一个零点,则 f ?x ? 必至少有两个零点; (C)若 f ?x ? 没有零点,则 f ?? x ? 至少有一个零点; (D)若 f ?? x ? 没有零点,则 f ?x ? 至多有一个零点。 3. 设函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 内具有二阶导数,满足 f ?0? ? 0 , f ???x ? ? 0 ,又 0 ? a ? b ,则当

a ? x ? b 时恒有(

B

) (B) bf ?x ? ? xf ?b? ;

(A) af ?x ? ? xf ?a ? ;

1

(C) xf ?x ? ? bf ?b? ;

(D) xf ?x ? ? af ?a ? 。

4.考虑二元函数 f ?x,y? 在点 ?x0 ,y0 ? 处的下面四条性质: ①连续; ③ f x??x0 ,y0 ? 与 f y? ?x0 ,y0 ? 存在; 若用“P ? Q”表示可由性质 P 推出性质 Q,则有( (A)② ? ③ ? ①; (C)② ? ④ ? ①; B ②可微; ④ f x??x,y? 与 f y? ?x,y? 连续。 ) (B)④ ? ② ? ①; (D)④ ? ③ ? ②。

5.设二元函数 f ?x,y? 具有一阶连续偏导数,曲线 L: f ?x,y? ? 1 过第二象限内的点 M 和第四象限内的 点 N,Γ 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧,则下列积分值为负的是( (A) (C) C )

? f ?x,y ?ds ;
??

(B) (D)

? f ?x,y ?dx ;
??

? f ?x,y ?dy ;
??

?

??

f x?? x,y ?dx ? f y? ? x,y ?dy 。

三、已知曲线 y ? f ?x ? 与曲线 y ? 求极限 lim n ? f ?
n ??

?

arctan x 0

e ?t dt 在点(0,0)处具有相同的切线,写出该切线方程,并
2

?2? (本题 6 分) ?。 ?n?

解:由已知,显然有 f ?0? ? 0 ,且在点(0,0)处

e ? ?arctanx ? f ??x ? ? , 故 f ??0? ? 1 1? x2
2

因此,所求切线方程为 y = x。

?2? f ? ? ? f ?0? n ?2? lim n ? f ? ? ? lim 2 ? ? ? 2 f ??0? ? 2 。 n ?? n ?? 2 ?n? n
四、证明:当 x > 2 时, ?x ? 2?e 证明:设 ? ?x ? ? ?x ? 2?e
x ?2 2 x ?2 2

(本题 7 分) ? xe x ? 2e?2 ? 0 。

? xe x ? 2e?2 ,

?x ? ?2? ,

? ?? 2? ? ?? 2 ? 2?e
? ??x ? ? e
x ?2 2

?2?2 2

? ?? 2?e ?2 ? 2e?2 ? ?4e?2 ? 2e?2 ? 2e?2 ? 0 ,
? e x ? xe x 。 ? x ?2? ? ? f ?x ? 。 ? 2 ?
2

x?2 ? e 2
u

x ?2 2

?

?

又设: f ?u ? ? e ? ue ,则 ? ??x ? ? f ?
u

由拉格朗日中值定理知,存在 ? ? ?

?x ? ? 2,x ? ,使 ?2 ?

? ??x ? ? f ??? ??

x?2 ?x?2 ? , ? x ? ? ? f ??? ? 2 ? 2 ?
x?2 x?2 ?2? ? 0 ,故 f ??? ? ? 0 。从而,当 x > 2 时, 2 2 x?2 ? ??x ? ? ? f ??? ? ? 0, 2

而 f ??? ? ? e? ?2 ? ? ? ,又 2 ? ? ?

即 ? ?x ? 单调减少,从而 ? ?x ? ? 0 。命题得证。 五、设 f ?x ? ? x 2 sin2x ,求 f ?n ? ?0? 解:利用牛顿—莱布尼兹公式: (本题 7 分) ?n ? 3?。

?uv??n? ? u ?n?v ? Cn1u ?n?1?v? ? ?? Ck u ?n?k ?v?k ? ? ?? uv?n? 。 n
设 u ? x ,v ? sin2x ,
2

注意到: u ? ? 2x,u ?? ? 2,u ? j ? ? 0

? j ? 3? ;

v ?n ? ? ?sin2x ?

?n ?

nπ ? ? ? 2 n sin? 2 x ? ?, 2 ? ?

v ?n?1? ? ?sin2x ?

?n ?1?

?n ? 1?π ? , ? ? 2 n?1 sin? 2 x ? ? 2 ? ? ?n ? 2?π ? 。 ? ? 2 n?2 sin ? 2 x ? ? 2 ? ?

v ?n ?2 ? ? ?sin2x ?


?n ?2 ?

?x sin2x?? ? ? 2
2 n

n

?n ? 1?π ? ? n?n ? 1? 2 n?2 ? 2 ? sin? 2 x ? ?n ? 2?π ? , nπ ? ? ? n x 2 sin? 2 x ? ? ? n2 xsin? 2 x ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?
2 ? ?n?n ? 1?2 n ? 2 sin n? 2

于是有 f

?n ?

?0? ? n?n ? 1?2 n?2 sin ?n ? 2??

?n ? 3? 。

2 六、设当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? x 1 ? x ,且 f ?x ?1? ? af ?x ? ,试确定常数 a 的值,使 f ?x ? 在 x = 0

?

?

点处可导,并求此导数。 (本题 7 分) 解:首先写出 f ?x ? 在 x < 0 附近的表达式:当 ? 1 ? x ? 0 时, 0 ? x ? 1 ? 1 。由 f ?x ?1? ? af ?x ? 知,

f ?x ? ?
故有

1 1 1 2 f ?x ? 1? ? ?x ? 1? 1 ? ?x ? 1? ? ? x?x ? 1??x ? 2? , a a a

?

?

3

? 1 ?? x?x ? 1??x ? 2? , ? 1 ? x ? 0 , f ?x ? ? ? a ? x?1 ? x ??1 ? x ? , 0 ? x ? 1. ?
显然, f ?x ? 在点 x = 0 处连续,且 f ?0? ? 0 ,

1 x?x ? 1??x ? 2? ? 0 2 ? ?0? ? lim a f? ?? , ? x ?0 x a x?1 ? x ??1 ? x ? ? 0 f ?? ?0? ? lim ? 1。 x ?0 ? x ?
? ? 因 f ?x ? 在 x = 0 点处可导的充要条件为: f ? ?0? ? f ? ?0? ,即
?
且 f ??0? ? 1 。 七、设函数 f ?t ? 在区间 ?? ? ,???内连续,且满足 ⑴ 求 f ?t ? ; ⑵ 计算 I ?

2 ? 1, a ? ?2 , a

?

2 x?3 y ?1 0

f ?t ?dt ? 4 x 2 ? 9 y 2 ? 12xy ? 2 ,

? f ?2 x ? 3 y ? 1??2dx ? 3dy ? ,其中 L 是从原点 O 到点 M(1,3)的任意一条光滑弧。
?L

(本题 7 分) 解:⑴ 将原等式两边对 x 求导,得到

2 f ?2 x ? 3 y ? 1? ? 8x ? 12y ,
所以 f ?2 x ? 3 y ? 1? ? 2?2 x ? 3 y ? 。 命: 2 x ? 3 y ? 1 ? t ,于是有 f ?t ? ? 2?t ? 1? 。 ⑵ 因为 P?x,y? ? 2 f ?2 x ? 3 y ? 1?,Q?x,y? ? 3 f ?2 x ? 3 y ? 1? , 所以

?P ?Q ? 6 f ??2 x ? 3 y ? 1? ? 。 ?y ?x

于是可知 I 与积分路径无关,从而

I ? ? f ?2 x ? 3 y ? 1??2dx ? 3dy ? ? ?
L

?1,3?

?0 ,0 ?

f ?2 x ? 3 y ? 1??2dx ? 3dy ? ,

命: 2 x ? 3 y ? 1 ? t ,当 x = 0,y = 0 时,t = 1;x = 1,y = 3 时,t = 12。



I ?

?

12

1

f ?t ?dt ?

?

12

1

2?t ? 1?dt ? t 2 ? 2t

?

?12 ? 121。 1

4

八、求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面,使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。 (本题 8 分) 解:设所求平面的截距式方程为

x y z ? ? ?1 ξ η ?
因平面过点(a,b,c),故有

?? ? 0,? ? 0,?

? 0? 。

a b c ? ? ? 1。 ξ η ?

四面体体积 V ?

1 ??? 。 6

应用拉格朗日乘数法,设

?a b c ? 1 F ?? ,? ,? ,? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 1? , ?ξ η ? ? 6 ? ?
λa ? ?F 1 ? ?ξ ? 6 η? ? ξ 2 ? 0 , ? λb ? ?F 1 ? ?? ? 6 ?? ? ? 2 ? 0 , ? ? ? ?F ? 1 ?η ? λ c ? 0 , ? ?? 6 ?2 ? ? a ? b ? c ? 1 ? 0. ?ξ η ? ?

命:

得到

a 1 b 1 c 1 ? ξη?, ? ξη?, ? ξη? 。 ξ 6λ ? 6λ ? 6λ

显然 ? ? 0 ,否则 ξη? ? 0 ,这与题意不符。代入上述第四个方程,得到

ξη? ? 2? ,
从而 ξ ? 3a,η ? 3b,? ? 3c 是唯一驻点,也是唯一最小值点。故所求平面为

2 九、设 f ? x,y ? ? Max ?x,y?,D ? ? x,y ? 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,计算 I ? ?? f ?x,y? y ? x dσ 。 (本题 7 分) D D

?

x y z ? ? ? 1。 3a 3b 3c

?

解:将区域 D 分成三块:

D1 ? ?? x,y? 0 ? x ? 1,x ? y ? 1?

D 2 ? ? x,y? 0 ? x ? 1,x 2 ? y ? x D3
于是
2

? ? ? ? ? x,y? 0 ? x ? 1,0 ? y ? x ?

5

I ? ?

?? y ?y ? x ?d? ? ?? x?y ? x ?d? ? ?? x?x
2 2 D1 D2 1 D3 1 x x

2

? y d?
1 x2

?

?

1

0 1

dx ? y ? yx dy ? ? xdx ? 2 y ? x dy ? ? xdx ?
2 2 2 0 x 0

?

?

?

?

0

?x

2

? y dy

?

3 5 1? x 1 x ?1 x2 x3 x4 ? x5 ? 4 ? ? ?dx ? ? ? ?dx ? ? ?? ? ? ? ?x ? dx 0 0? 2 0 2 2 3 2 ? 2 ? ?3 ? ? ? 11 ? 40

十、设函数 f ?x,y? ? x ? y ? ?x,y? ,其中 ? ?x,y? 在点(0,0)的一个邻域内连续,证明: f ?x,y? 在点(0,0) 处可微的充要条件是 ? ?0,0? ? 0 。 (本题 8 分) 证明:充分性 已知 ? ?0,0? ? 0 ,欲证 f ?x,y? 在点(0,0)处可微,只需证

lim
x ?0 y ?0

x ? y ? ?x,y? x2 ? y2 ?

?0。

注意到:

x? y x2 ? y2

x? y x2 ? y2

? 2,

所以

x ? y ? ? x,y? x2 ? y2

? 2 ? ? x,y? 。

又 lim ? ? x,y ? ? 0 ,由夹逼定理知 lim
x ?0 y ?0

x ? y ? ?x,y? x2 ? y2

x ?0 y ?0

?0。

从而 f ?x,y? 在点(0,0)处可微,并且 df ?x,y? ? 0 。 必要性 已知 f ?x,y? 在点(0,0)处可微,故 f x? ?0,0? 与 f y? ?0,0? 都存在。而

f x??0,0? ? lim
x ?0
?

x ? 0 ? ?x,0? ? 0? ?0,0? x
?

? ?? ?0,0? ,

其中当 x ? 0 时, f x??0,0? ? ? ?0,0? ;当 x ? 0 时, f x??0,0? ? ?? ?0,0? 。由于 f x? ?0,0? 存在,故

? ?0,0? ? 0 。
十一、计算 I ?

?? ? f ?x,y,z? ? x?dydz ? ?2 f ?x,y,z? ? y?dzdx ? ? f ?x,y,z? ? z?dxdy ,其中 f ?x,y,z? 为一
Σ

连续函数,Σ 是平面 x ? y ? z ? 1 在第四卦限部分的上侧。 (本题 7 分)

6

解:化为第一类曲面积分求解。设Σ 的单位法向量 n 0 ? ?cos? ,cos? ,cos? ? ?

?

1 3

?1,?1,1? ,则

I ? ?? ?? f ? x,y,z? ? x ?cos? ? ?2 f ? x,y,z? ? y ?cos? ? ? f ? x,y,z? ? z ?cos? ?dS
Σ

? 1 ? ? x 2 1 y z ? ? ?? ? f ? x,y,z? ? f ? x,y,z? ? f ? x,y,z?? dS ? ?? ? ? ? ?dS ? ? 3 3 3 3? ? Σ ? 3 Σ ? 3 1 ?x ? y ? 1 ? x ? y ? ? 1 ? 1 ? 1dσ ? ?? 3 Dxy
其中 Dxy ? ?x,y? 0 ? x ? 1,x ? 1 ? y ? 0 。 故I ?

?

?

Dxy

?? dxdy ? 2 。
?
2

1

十二、设函数 f ?x ? 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有

?

?0

e f ? x ?arct an dx ? x

1 , 2

(本题 6 分) f ?1? ? 0 ,则至少存在一点 ? ? ?0,1? ,使得 1 ? ? 2 arctan ? f ??? ? ? ?1 。 ? 证明:由积分中值定理知,存在? ? ? 0,

?

?

? 2? ? ,使 ? ??
1 1 ? ? ? 。 2 2 4

e f ?? ?arctan ? ?

?
又e
f ?1?

arctan1 ?

?
4

,故若设 ? ?x? ? e

f ?x?

arctan , x ? ?? ,1? ? ?0,1?,显然 ? ?x ? 满足罗尔定理的各个 x

条件,从而至少存在一点 ? ? ?? , ? ? ?0, ? 使 ? ??? ? ? 0 。而 1 1

? ??? ? ? e f ?? ? f ??? ?arctan ? ?
从而有
2

e f ?? ? , 1? ? 2

?1 ? ? ?arctan? ? f ??? ? ? ?1。

7


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