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高中数学高考高三理科一轮复习资料第6章 6.4 基本不等式及其应用


高中数学 6.4 基本不等式及其应用 考纲点击 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 说基础 课前预习读教材 考点梳理 a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:①__________. (2)等号成立的条件:当且仅当②__________时取等号. a+b (3)两个平均数: 2 称为正数 a,b 的③____

__, ab称 为正数 a,b 的④__________. 2.几个重要不等式 (1)a2+b2≥⑤______(a,b∈R). (2)ab≤⑥__________(a,b∈R). ?a+b? ?2 (3)? ? 2 ? ≤⑦__________(a,b∈R). ? ? b a (4)a+b≥⑧______(a· b>0). a+b a2+b2 2 (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a>0,b>0). a+b 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当⑨__________时,x +y 有最小值是⑩______(简记:“积定和最小”). (2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当?__________时, xy 有最大值是?__________(简记:“和定积最大”). 答案:①a>0,b>0 ②a=b ③算术平均数 ④几何平 均数 ⑤2ab ?a+b? ?2 ⑥? ? 2 ? ? ? s2 ?x=y ? 4 a2+b2 ⑦ 2 ⑧2 ⑨x=y ⑩2 p 考点自测 1.已知 ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( b a b a A.a+b≥2 B.a+b≥-2 b a b a C.a+b≤-2 D.|a+b|≥2 ) b a 解析:选项 A、B、C 中不能保证a、b为正. 答案:D a2+b2 2.“a>b>0”是“ab< 2 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 a2+b2 解析:a>b>0? >ab. 2 ∵a2+b2≥2ab(a,b∈R), a2+b2 ∴由 >ab?a,b∈R 且 a≠b/?a>b>0. 2 答案:A 1 3.当 x>1 时,关于函数 f(x)=x+ ,下列叙述正确的 x-1 是( ) A.函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值 2 C.函数 f(x)有最小值 3 D.函数 f(x)有最大值 3 解析:∵x>1,∴x-1>0, 1 1 x+ =(x-1)+ +1≥2 x-1 x-1 答案:C ? 1 ? ? ? ?x-1?· ?x-1?+1=3. ? ? 4.设 ? π? x ∈ ?0,2? , 则 函 数 ? ? 2sin2x+1 y= 的最小值为 sin2x __________. 2sin2x+1 解析:y= sin2x 2sin2x+sin2x+cos2x = 2sinxcosx 3 1 =2tanx+2tanx. ? π? ∵x∈?0,2?,∴tanx>0, ? ? 3 1 3 1 ∴2tanx+2tanx≥2 2tanx· 2tanx= 3, 3 当且仅当 tanx= 3 时“=”成立,故最小值为 3. 答案: 3 5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据 市场分析,每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年 数 x(x ∈ N + ) 为 二 次 函 数 的 关 系 ( 如 图 ) , 则 每 辆 客 车 营

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