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二倍角的正弦余弦正切公式


3.1.3二倍角的正弦、余弦、 正切公式

复习
? 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是什么? ?
sin(? ? ? ) ? sin?cos? ? cos?cos?

cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?

tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1

? tan? ? tan ?
是特殊角,4 与 8 是倍半关系,利用上述公式可以 求 ? 的三角函数值.如果能推导一组反映倍半关系的三 8 角函数公式那么在以后的运用当中会很方便.
? 4 ?

?

问?如何去推导出Sin2a cos2a tan 2a的公式呢?

令? ? ?

1.二倍角的基本公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ?

sin(? ? ?) ? sin ? cos? ? sin ? cos?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos? ? sin ? cos?

cos(? ? ?) ? cos? cos? ? sin ? sin ?
cos(? ? ?) ? cos? cos? ? sin ? sin ?
t an? ? t an? t an(? ? ?) ? 1 ? t an? t an?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

公式理解:
1、对“二倍角”定义的理解:不仅2α 是α ,而且α 是 3? 的二 倍角,4α 是2α 的二倍角, 3α 是 2 的二倍角。
?
2

S 2? 、 C 2? 在任何条件下均成立 2、公式成立条件: T2? 成立,则需 1 ? tan2 ? ? 0且 tan ? ? 0


? ? k?

k? ? 且 ? (k ? Z ) ? ? ? 2 4 2

?



2.二倍角的余弦公式的变形
cos2? ? cos ? ? sin ?
2 2

cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ?
? 1 ? 2 sin ?
2

?
?

cos2? ? 1 ? 2 sin ?
2

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ?
2 2

? cos ? ? (1 ? cos ?) ? 2 cos2 ? ? 1

cos2? ? 2 cos ? ? 1
2

3.倍半角的转换

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )
1 ? cos2? ? 2 cos ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?
2

2

? ?

升幂缩角公式

1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? 2 sin ? ? 2
2

降幂扩角公式

5.练习巩固:求值 (1).sin22?30`cos22?30`

? (2).    2 cos ? 1 8 2 ? 2 ? (3).   sin ? cos 8 8 ? ? ?
2

2 4

2 2

2 ? 2 ? (4).   8 sin cos cos cos 48 48 24 12

1 2

5 ? ? 例 1 已知 sin 2? ? , ? ? ( , ),求 sin 4?, cos 4? ,tan 4?的值。 13 4 2 ? ? ? 由 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? 解:
2 2 12 5 2 由 sin 2? ? , 得 cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13 13 4

∴sin4 ? = 2sin2?cos2? =
2

?

120 169

119 cos4? = 1 ? 2sin 2? ? 169
sin 4? 120 169 120 ?(? )? ?? tan4? = co s 4? 169 119 119

4 例2.在△ABC中 cos A ? , tan B ? 2 求 tan(2 A ? 2B )的值。 5
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系?

提示: 思路一:cosA ? tanA? tan 2A tanB ? tan2B

? tan (2A ? 2B)

思路二:cosA ? tanA ? tan (A ? B)? tan[2( A ? B)] tanB

5 ? ? ( , ), 例1、已知sin 2? ? ,? ? 13 4 2 求 sin 4? , cos 4? , tan 4? 的值。 ? ? 解: ? sin 2? ? 5 ,? ? ( , ), 13 4 2

?

? sin 4? ? sin(2 ? 2? ) ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 ? 5 ? (? 12 ) ? ? 120
13 13 169

12 2? ? ( , ? ), cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 2 13
2

?

5 2 119 cos 4? ? 1 ? 2 sin 2? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 13 169 sin 4? 120 169 120 tan 4? ? ? (? )? ?? cos 4? 169 119 119
2

4.1 tanα与sin2α,cos2α之间是否存在 某种关系?
1 - cos 2a t an a = 1 + cos 2a
2

sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2?

4.2 sin2α,cos2α能否分别用tanα表示?
1 - t an 2 a cos 2a = 1 + t an 2 a
sin 2a = 2 t an a 1 + t an 2 a

谢谢

证明
sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ?
3

cos3? ? 4 cos ? ? 3 cos?
3


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