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7.示范教案(1.2.3 解决有关测量角度的问题)


1.2.3 解决有关测量角度的问题?? 从容说课 本课时是一个有关测量角度的问题, 即课本上的例 6.在这里, 能否灵活求解问题的关键 是正弦定理和余弦定理的选用, 有些题目只选用其一, 或两者混用, 这当中有很大的灵活性, 需要对原来所学知识进行深入的整理、加工,鼓励一题多解,训练发散思维.借助计算机等 媒体工具来进行演示,利用动态效果,能使学生更好地明辨是非、掌握方法.? 教

学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系.? 教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.? 教具准备 三角板、投影仪(多媒体教室)?? 三维目标 一、知识与技能? 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.?? 二、过程与方法? 本节课是在学习了相关内容后的第三节课, 学生已经对解法有了基本的了解, 这节课应 通过综合训练强化学生的相应能力.除了安排课本上的例 6,还针对性地选择了既具典型性 又具有启发性的 1~2 道例题,强调知识的传授更重能力的渗透.课堂中要充分体现学生的 主体地位,重过程,重讨论,教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问 题的过程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三.? ? 三、情感态度与价值观? 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在教学过程中激发学生的 探索精神.?? 教学过程 导入新课 设置情境设问? 师 前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角 求其余边的问题.然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解 三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?? 生 像航海,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向. ? 生 飞机在天上飞行时,如何确定地面上的目标.? 师 实际生活当中像这样的例子很多,今天我们接着来探讨这方面的测量问题.?? 推进新课 【例 1】 (幻灯片放映)如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75° ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32° 的方向航行 54.0 n mile 后 到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距 离?(角度精确到 0.1° ,距离精确到 0.01 n mile) [合作探究]? 学生看图思考.?

师 要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东 75° 的方向”.? 生 这是方位角.? 生 这实际上就是解斜三角形, 由方位角的概念可知, 首先根据三角形的内角和定理求出 AC

边所对的角∠ ABC,即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ∠ CAB,就可以知道 AC 的方向和路程.? 师 根据大家的回答,我们已经很清楚解题思路.下面请同学写一下解题过程.? 生解:在△ ABC 中,∠ ABC=180° - 75° + 32° =137° ,根据余弦定理,

AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ? 67.5 2 ? 54.0 2 ? 2 ? 67.5 ? 54.0 ? cos 137 ?,
≈113.15.? 根据正弦定理,

BC AC ? , ,? sin ?CAB sin ?ABC BC sin ?ABC 54.0 sin 137 ? sin ?CAB ? ? ≈0.325 5,? AC 113 .15

所以∠ CAB≈19.0°,75°-∠ CAB=56.0° .? 答:此船应该沿北偏东 56.0° 的方向航行,需要航行 113.15 n mile.?? 师 这道题综合运用了正、余弦定理,体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位. 【例 2】某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45° 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船,正沿南偏东 75° 的方向以 10 海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以 14 海里/时的速度沿着直线方向追 去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多少时间才追赶上该走私船? [合作探究]? 师 你能否根据题意画出方位图?(在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面 示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面)? 生甲 如右图.?

师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边,还需要什么呢?? 生 引入时间这个参变量,可以设 x 小时后追上走私船.? 生 如 图 , 设 该 巡 逻 艇 沿 AB 方 向 经 过 x 小 时 后 在 B 处 追 上 走 私 船 , 则 CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ ACB=75° +45° =120° ,则由余弦定理,可得? (14x)2=92+(10x)2-2× 9× 10xcos120° ,∴ 化简得 32x2-30x-27=0,即 x= 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21.? 又因为 sin∠ BAC =

3 9 或 x=(舍去). 2 16

BC sin 120? 15 3 5 3 ? ? ? ,∴ ∠ BAC=38°13′,或∠ BAC=141°47′(钝角 AB 21 2 14

不合题意,舍去).? ∴ 38°13′+45°=83°13′.? 答:巡逻艇应该沿北偏东 83°13′方向去追,经过 1.4 小时才追赶上该走私船.? 师 这位同学是用正、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?? 生 同上解得 BC=15,AB=21,? 在△ ABC 中,由余弦定理,得?

cos?CAB ?

AC 2 ? AB2 ? BC 2 81? 441? 225 11 ? ? ≈0.785 7,? 2 AC ? AB 2 ? 9 ? 21 14

∴ ∠ CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.? ∴ 巡逻艇应沿北偏东 83°13′的方向追赶,经过 1.4 小时追赶上该走私船.?? 课堂练习 课本第 18 页练习.? 答案:运用余弦定理求得倾斜角 α 约为 116.23?°?.? [方法引导]? 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角 形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之. (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这 时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. [知识拓展]?

1.如图,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船正向南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏 东 30° ,航行 30 海里到 C 处,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45° ,如果此船不改变航向, 继续向南航行,有无触礁的危险?? 解:在△ ABC 中,BC=30,B=30° ,? ∠ ACB=180° -45° =135° , ∴ A=15° .?

BC AC 30 AC ? ? ,∴ . sin A sin B sin 15? sin 30? 30 sin 30? ? 60 cos 15? ? 15 6 ? 15 2 .∴ ∴ AC ? A 到 BC 所在直线的距离为 sin 15?
由正弦定理知 AC· sin45° =(15 6 +15 2 )·

2 =15( 3 +1)≈40.98>38(海里) , 2

∴ 不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.? 答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.? 2.如图,有两条相交成 60° 角的直线 XX′、YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY 上,起 初甲在离 O 点 3 千米的 A 点,乙在离 O 点 1 千米的 B 点,后来两人同时以每小时 4 千米的 速度,甲沿 XX′方向,乙沿 Y′Y 方向步行,?

(1)起初,两人的距离是多少?? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离;? (3)什么时候两人的距离最短?? 解: (1)因甲、乙两人起初的位置是 A、B,

则 AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos60° =32+12-2× 3× 1× =7,? ∴ 起初,两人的距离是 7 千米.? (2)设甲、乙两人 t 小时后的位置分别是 P、Q, 则 AP=4t,BQ=4t,? 当 0≤t≤ 当 t>

1 2

3 时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60° =48t2-24t+7;? 4

3 时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120° =48t2-24t+7, 4 1 2 ) +4,? 4

所以,PQ =48t2-24t+7.? (3)PQ2=48t2-24t+7=48(t∴ 当 t=

1 时,即在第 15 分钟末,PQ 最短.? 4

答:在第 15 分钟末,两人的距离最短.?? 课堂小结? 在实际问题(航海、测量等)的解决过程中,解题的一般步骤和方法,及正弦、余弦定 理相关知识点的熟练运用. 应用解三角形知识解决实际问题时, 要分析和研究问题中涉及的 三角形, 及其中哪些是已知量, 哪些是未知量, 应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解. 应 用解三角形知识解决实际问题的解题步骤:① 根据题意作出示意图;② 所涉及的三角形,搞 清已知和未知;③ 选用合适的定理进行求解;④ 给出答案.?? 布置作业? 课本第 22 页习题 1.2 第 9、10、11 题.?? 板书设计 例1 解决有关测量角度的问题? 例2 课堂练习? 布置作业 备课资料 一、备用例题?

1.如图所示,已知 A、B 两点的距离为 100 海里,B 在 A 的北偏东 30° 处,甲船自 A 以 50 海 里/时的速度向 B 航行,同时乙船自 B 以 30 海里/时的速度沿方位角 150° 方向航行.问航行 几小时,两船之间的距离最短? ? 解: 设航行 x 小时后甲船到达 C 点, 乙船到达 D 点, 在△ BCD 中, BC =(100-50x)海里, BD=30x 海里(0≤x≤2) ,∠ CBD=60° ,由余弦定理得? 2 2 2 CD =(100-50x) +(30x) -2· (100-50x)· 30x· cos60° =4 900x2-13 000x+10 000. ∴ 当x?

13000 65 16 ? ? 1 (小时)时,CD2 最小,从而得 CD 最小.? 2 ? 4900 49 49

∴ 航行 1

16 小时,两船之间距离最近.? 49

2.我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 DC=6 000 米, ∠ ACD=45° ,∠ ADC=75° ,目标出现于地面点 B 处时,测得∠ BCD=30° ,∠ BDC=15° .求炮兵阵地 到目标的距离(结果保留根号) .? 解:在△ ACD 中,∠ CAD=180° -∠ ACD-ADC=60° ,CD=6 000,∠ ACD=45° ,?

根据正弦定理,有 AD ?

CD sin 45? 2 CD .? sin 60? 3

同理,在△ BCD 中,∠ CBD=180° -∠ BCD-∠ BDC=135° , CD=6 000,∠ BCD=30° .? 根据正弦定理,有 BD ?

CD sin 30? 2 ? CD .? sin 135? 2

又在△ ABD 中,∠ ADB=∠ ADC+∠ BDC=90° . 根据勾股定理,有 AB ?

AD2 ? BD2 ?

2 1 42 ? CD ? CD ? 1000 42 .? 3 2 6

所以炮兵阵地到目标的距离为 1 000 42 米.?? 二、常用术语与相关概念? (1)坡度(亦叫坡角) :坡与水平面的夹角的度数.? (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即坡角的正切值.? (3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线 在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.? (4)方向角:从指定方向线到目标方向线的水平角.? (5)方位角:从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 1.2.4 解决有关三角形计算的问题? 从容说课 本节的例 7 和例 8 说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法, 即在不同已知 条件下求三角形面积的问题,与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出 需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的 问题.在西方有海伦公式 ,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式 ”,教科书在阅读与思考 中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明.例 9 是关于三角形边角关系恒等式的证明问 题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦 定理可以证明的问题. ? 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了

计算三角形的高的公式? hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.? 这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到, 教科书证明了已知三角形的两 边及其夹角时的面积公式? S=

1 1 1 absinC,S= bcsinA,S= casinB.? 2 2 2

教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.? 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.? 教具准备 三角板、投影仪等?? 三维目标 一、知识与技能? 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;? 2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.?? 二、过程与方法? 1.本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的 特点,循序渐进地具体运用于相关的题型;? 2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让学生摸索,使学生在 具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,能不拘一格,一题多解.只要学生自行 掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进一步突破难点.?? 三、情感态度与价值观? 1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;? 2.进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验成功的愉悦. 教学过程 导入新课 [设置情境]? 师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式.在 △ ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 hA、hB、hC,那么它们如何用已知边和角表示? ? 生 hA=bsinC=csinB,? hB=csinA=asinC,? hC=asinB=BsinA.?

1 ah ,应用以上求出的高的公式如 hA=bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式: S ? ab sin C ,大家能推出其他的几个公式吗?? 2 1 1 生 同理,可得 S ? bc sin A , S ? ac sin B .? 2 2
师 根据以前学过的三角形面积公式 S ? 师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的 面积呢?? 生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.?? 推进新课 【例 1】 在△ ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1 cm2).? (1)已知 A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5° ;? (2)已知 B=62.7° ,C =65.8° ,B =3.16 cm;?

(3)已知三边的长分别为 A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.? 师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我 们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么,求出需要的元素,就可以求出 三角形的面积.? 〔生口答,师书写过程〕?

1 1 ac sin B ,得 S= ×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).? 2 2 b c b sin C ? ,c ? (2)根据正弦定理, ,? sin B sin C sin B 1 1 sin C sin A S ? bc sin A ? b 2 .? 2 2 sin B
解: (1)应用 S ? A = 180° -(B + C)= 180° -(62.7° + 65.8° )=51.5° ,?

1 sin 65.8? sin 51.5? S ? ? 3.16 2 ? ≈4.0(cm2).? 2 sin 62.7?
(3)根据余弦定理的推论,得 cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 38.7 2 ? 41.4 2 ? 27.32 ? ≈0.769 7,? 2ca 2 ? 38.7 ? 41.4

sinB ? 1 ? cos2 B ? 1 ? 0.76972 ≈0.638 4,?
应用 S ?

1 1 ac sin B 得 S= ×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).? 2 2

生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧 以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.? 【例 2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 这个三角形区域的三条边长分别为 68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1 cm2)?? 师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?? 生 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解.? 〔由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕? 解:设 A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论,?

cos B ?

c 2 ? a 2 ? b 2 1272 ? 682 ? 882 ? ≈0.753 2,? 2ca 2 ?127? 68

sin B ? 1 ? 0.75322 ≈0.657 8,?
应用 S=

1 1 acsinB,S= ×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2).? 2 2

答:这个区域的面积是 2 840.38 m2.? 【例 3】在△ ABC 中,求证:?

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? (1) ;? c2 sin 2 C
(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).? [合作探究]?

师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边有什么样的特点?? 生 等式左边是三边的平方关系, 而等式的右边是三个角的正弦的平方关系, 可以联想到用正弦 定理来证明.? 师 等式两边分别是边和角,所以我们可以选正弦定理来证明,这样我们可以把一边的边或 角都转化成两边一样的边或角,即“化边为角”或“化角为边”,这也是我们在证明三角恒等式 时经常用的方法.? 证明: (1)根据正弦定理,可设?

a b c ? ? ? k ,? sin A sin B sin C
显然 k≠0,所以? 左边=

a 2 ? b 2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? ? =右边.? c2 k 2 sin 2 C sin 2 C

师 那对于第二小题又该怎么化呢?? 生 等式左边仍然是三边的平方关系,而等式的右边既有角又有边,而且是两边和两边夹角 的余弦的积的关系,所以联想到用余弦定理来证明.? 师 很好,哪位来板演一下?? 生 证明: (2)根据余弦定理的推论,?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ? ca ? ab )? 右边= 2(bc 2bc 2ca 2ab
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.? 1.已知在△ ABC 中,∠ B=30° ,B=6,C=6 3 ,求 A 及△ ABC 的面积 S.? 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三角 形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯,但应用余 弦定理会免去讨论.? 答案:A=6,S=9 3 ;A=12,S=18 3 .? 2.判断满足下列条件的三角形形状,? (1)acosA = bcosB;? (2)sinC =

sin A ? sin B .? cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或“化角为边”,正弦定理和余弦定理的运用除 了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.? (1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明.? 生(余弦定理)得 a ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 ? b? ,? 2bc 2ca

∴ c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).? ∴ a2=b2 或 c2=a2+b2.? ∴ 根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.? 生(正弦定理)得?

sinAcosA=sinBcosB.∴ sin2A=sin2B.∴ 2A=2B.∴ A=B.? ∴ 根据角的关系易得是等腰三角形.? 师 根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考, 谁的正确呢?? 生 第一位同学的正确.第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180° ,A+B=90° .? (2)(解略)直角三角形.? [知识拓展]? 如图,在四边形 ABCD 中,∠ ADB=∠ BCD=75° ,∠ ACB=∠ BDC=45° ,DC = 3 ,求:?

(1)AB 的长;? (2)四边形 ABCD 的面积.? 略解: (1)因为∠ BCD=75° ,∠ ACB=45° , 所以∠ ACD=30° .? 又因为∠ BDC=45° ,? 所以∠ DAC=180° -(75° + 45° + 30° )=30° .所以 AD=DC = 3 .? 在△ BCD 中,∠ CBD=180° -(75° + 45° )=60° ,所以?

BD DC 3 sin 75? 6? 2 .? ? , BD ? ? sin 75? sin 60? sin 60? 2
在△ ABD 中,AB2=AD2+ BD2-2× AD× BD× cos75° = 5,所以,得 AB= 5 .?

(2)S△ ABD=

1 3? 2 3 3? 3 × AD× BD× sin75° = .同理,S△ BCD= .? 2 4 4

所以四边形 ABCD 的面积 S ?

6?3 3 .?? 4

课堂练习? 课本第 21 页练习第 1、2 题. 课堂小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式, 然后 化简并考察边或角的关系, 从而确定三角形的形状. 特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用. 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外, 贵在活 用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.解 有关已知两边和其中一边对角的问题, 注重分情况讨论解的个数. 同时解有关三角形的题目 还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.?? 布置作业

课本第 22 页习题 1.2 第 12、14、15 题.?? 板书设计 例1 补充练习: 例2 解决有关三角形计算的问题? 例3 变题 1? 变题 2


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